Страница 189 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

670 Выполните действие:

а) $24,85 \cdot 100$;

б) $13,76 : 10$;

в) $0,346 \cdot 10$;

г) $124,34 : 1000$;

д) $0,48 \cdot 10$;

е) $4,75 \cdot 1000$;

ж) $3,8 : 100$;

з) $0,5 \cdot 100$;

и) $0,67 \cdot 10$;

к) $1,8 : 1000$;

л) $25,76 \cdot 10\,000$;

м) $100,72 : 100$.

а) Чтобы умножить десятичную дробь на 100, необходимо перенести запятую в этой дроби вправо на 2 знака, так как в числе 100 два нуля.
$24,85 \cdot 100 = 2485$.
Ответ: 2485.

б) Чтобы разделить десятичную дробь на 10, необходимо перенести запятую в этой дроби влево на 1 знак, так как в числе 10 один ноль.
$13,76 : 10 = 1,376$.
Ответ: 1,376.

в) Чтобы умножить десятичную дробь на 10, необходимо перенести запятую в этой дроби вправо на 1 знак.
$0,346 \cdot 10 = 3,46$.
Ответ: 3,46.

г) Чтобы разделить десятичную дробь на 1000, необходимо перенести запятую в этой дроби влево на 3 знака.
$124,34 : 1000 = 0,12434$.
Ответ: 0,12434.

д) Чтобы умножить десятичную дробь на 10, необходимо перенести запятую в этой дроби вправо на 1 знак.
$0,48 \cdot 10 = 4,8$.
Ответ: 4,8.

е) Чтобы умножить десятичную дробь на 1000, необходимо перенести запятую в этой дроби вправо на 3 знака. Так как после запятой только две цифры, недостающие знаки заменяем нулями.
$4,75 \cdot 1000 = 4750$.
Ответ: 4750.

ж) Чтобы разделить десятичную дробь на 100, необходимо перенести запятую в этой дроби влево на 2 знака. Так как перед запятой только одна цифра, недостающие знаки заменяем нулями.
$3,8 : 100 = 0,038$.
Ответ: 0,038.

з) Чтобы умножить десятичную дробь на 100, необходимо перенести запятую в этой дроби вправо на 2 знака. Недостающий знак заменяем нулем.
$0,5 \cdot 100 = 50$.
Ответ: 50.

и) Чтобы умножить десятичную дробь на 10, необходимо перенести запятую в этой дроби вправо на 1 знак.
$0,67 \cdot 10 = 6,7$.
Ответ: 6,7.

к) Чтобы разделить десятичную дробь на 1000, необходимо перенести запятую в этой дроби влево на 3 знака. Недостающие знаки заменяем нулями.
$1,8 : 1000 = 0,0018$.
Ответ: 0,0018.

л) Чтобы умножить десятичную дробь на 10 000, необходимо перенести запятую в этой дроби вправо на 4 знака. Недостающие знаки заменяем нулями.
$25,76 \cdot 10000 = 257600$.
Ответ: 257600.

м) Чтобы разделить десятичную дробь на 100, необходимо перенести запятую в этой дроби влево на 2 знака.
$100,72 : 100 = 1,0072$.
Ответ: 1,0072.

671 На какое число нужно умножить или разделить число $25,6$, чтобы в результате получилось:

а) $256$;

б) $25\,600$;

в) $2,56$;

г) $0,0256$?

а) Чтобы получить из числа 25,6 число 256, необходимо переместить запятую на один знак вправо. Перемещение запятой на один знак вправо равносильно умножению на 10.
Проверка: $25,6 \times 10 = 256$.
Ответ: нужно умножить на 10.

б) Чтобы получить из числа 25,6 число 25 600, необходимо переместить запятую на три знака вправо. Перемещение запятой на три знака вправо равносильно умножению на 1000.
Проверка: $25,6 \times 1000 = 25600$.
Ответ: нужно умножить на 1000.

в) Чтобы получить из числа 25,6 число 2,56, необходимо переместить запятую на один знак влево. Перемещение запятой на один знак влево равносильно делению на 10.
Проверка: $25,6 : 10 = 2,56$.
Ответ: нужно разделить на 10.

г) Чтобы получить из числа 25,6 число 0,0256, необходимо переместить запятую на три знака влево. Перемещение запятой на три знака влево равносильно делению на 1000.
Проверка: $25,6 : 1000 = 0,0256$.
Ответ: нужно разделить на 1000.

672 a) За 20 компьютеров заплатили 484,5 тыс. р. Сколько надо заплатить за 200 таких же компьютеров?

б) За 100 стиральных машин заплатили 1,26 млн р. Сколько надо заплатить за 10 таких же стиральных машин?

а)

Для решения этой задачи можно использовать два способа: найти цену одного компьютера или использовать пропорцию.

Способ 1: Через нахождение цены за единицу товара.
1. Сначала найдем стоимость одного компьютера. Для этого разделим общую уплаченную сумму на количество компьютеров:
$484,5 \text{ тыс. р.} \div 20 = 24,225 \text{ тыс. р.}$
2. Теперь, зная цену одного компьютера, найдем стоимость 200 таких же компьютеров, умножив цену на новое количество:
$24,225 \text{ тыс. р.} \times 200 = 4845 \text{ тыс. р.}$

Способ 2: Через пропорцию.
1. Узнаем, во сколько раз изменилось количество компьютеров:
$200 \div 20 = 10$ (раз)
2. Поскольку количество компьютеров увеличилось в 10 раз, то и общая стоимость покупки увеличится в 10 раз:
$484,5 \text{ тыс. р.} \times 10 = 4845 \text{ тыс. р.}$

Ответ: 4845 тыс. р.

б)

Эта задача решается аналогично предыдущей.

Способ 1: Через нахождение цены за единицу товара.
1. Сначала найдем стоимость одной стиральной машины, разделив общую сумму на их количество:
$1,26 \text{ млн р.} \div 100 = 0,0126 \text{ млн р.}$
2. Теперь вычислим стоимость 10 таких машин:
$0,0126 \text{ млн р.} \times 10 = 0,126 \text{ млн р.}$

Способ 2: Через пропорцию.
1. Узнаем, во сколько раз изменилось количество стиральных машин:
$100 \div 10 = 10$ (раз)
2. Так как количество машин уменьшилось в 10 раз, то и общая стоимость уменьшится в 10 раз:
$1,26 \text{ млн р.} \div 10 = 0,126 \text{ млн р.}$

Ответ: 0,126 млн р.

673 Продолжите последовательность, записав ещё три числа. Какое действие вы при этом будете выполнять?

a) 110; 11; 1,1; ...;

б) 0,000001234; 0,0001234; 0,01234; ... .

а)

Рассмотрим последовательность: 110; 11; 1,1; ...
Чтобы определить закономерность, найдем отношение второго члена к первому, а затем третьего ко второму:

$11 \div 110 = 0,1$

$1,1 \div 11 = 0,1$

Видно, что каждый следующий член последовательности получается путем деления предыдущего на 10. Следовательно, чтобы продолжить последовательность, мы будем выполнять действие деление на 10.

Найдем следующие три числа:

Четвертый член: $1,1 \div 10 = 0,11$

Пятый член: $0,11 \div 10 = 0,011$

Шестой член: $0,011 \div 10 = 0,0011$

Ответ: 0,11; 0,011; 0,0011. Выполняемое действие — деление на 10.

б)

Рассмотрим последовательность: 0,000001234; 0,0001234; 0,01234; ...
Чтобы определить закономерность, найдем отношение соседних членов:

$0,0001234 \div 0,000001234 = 100$

$0,01234 \div 0,0001234 = 100$

Видно, что каждый следующий член последовательности получается путем умножения предыдущего на 100 (что соответствует переносу запятой на два знака вправо). Следовательно, чтобы продолжить последовательность, мы будем выполнять действие умножение на 100.

Найдем следующие три числа:

Четвертый член: $0,01234 \times 100 = 1,234$

Пятый член: $1,234 \times 100 = 123,4$

Шестой член: $123,4 \times 100 = 12340$

Ответ: 1,234; 123,4; 12340. Выполняемое действие — умножение на 100.

674 Как изменится положение запятой в десятичной дроби, если:

а) эту дробь уменьшить в 100 раз и ещё в 10 раз;

б) эту дробь уменьшить в 10 раз, а затем увеличить в 1000 раз?

а) эту дробь уменьшить в 100 раз и ещё в 10 раз;

Уменьшить десятичную дробь в 100 раз означает разделить её на 100. При делении на 100 запятая в десятичной дроби переносится на 2 знака влево, так как в числе 100 два нуля ($100 = 10^2$).

Затем полученную дробь нужно уменьшить ещё в 10 раз, то есть разделить на 10. При делении на 10 запятая переносится ещё на 1 знак влево.

Общее уменьшение дроби составляет $100 \times 10 = 1000$ раз. Это означает, что запятую нужно перенести влево на общее количество знаков, равное сумме нулей в множителях: $2 + 1 = 3$ знака.

Таким образом, запятая в десятичной дроби сместится на 3 знака влево.

Пример: Возьмём число 1234,5. Уменьшаем в 100 раз: $1234,5 / 100 = 12,345$. Затем уменьшаем ещё в 10 раз: $12,345 / 10 = 1,2345$. Запятая переместилась на 3 знака влево.

Ответ: запятая сместится на 3 знака влево.

б) эту дробь уменьшить в 10 раз, а затем увеличить в 1000 раз;

Уменьшить десятичную дробь в 10 раз — это разделить её на 10. При этом запятая переносится на 1 знак влево.

Увеличить десятичную дробь в 1000 раз — это умножить её на 1000. При этом запятая переносится на 3 знака вправо.

Чтобы найти итоговое изменение, можно рассмотреть общее действие. Уменьшение в 10 раз и последующее увеличение в 1000 раз эквивалентно увеличению в $\frac{1000}{10} = 100$ раз.

Увеличение числа в 100 раз означает, что запятую нужно перенести на 2 знака вправо.

Также можно посчитать итоговое смещение запятой: 1 знак влево (действие $-1$) и 3 знака вправо (действие $+3$). Суммарное смещение: $-1 + 3 = +2$. Положительный результат означает смещение вправо на 2 знака.

Пример: Возьмём число 12,34. Уменьшаем в 10 раз: $12,34 / 10 = 1,234$. Затем увеличиваем в 1000 раз: $1,234 \times 1000 = 1234$. Запятая переместилась на 2 знака вправо.

Ответ: запятая сместится на 2 знака вправо.

675 Не выполняя вычислений, сравните значения выражений:

а) $563,2 \cdot 70,4$ и $56,32 \cdot 704$;

б) $563,2 \cdot 70,4$ и $5,632 \cdot 704$;

в) $563,2 : 70,4$ и $56,32 : 7,04$;

г) $0,5632 : 0,704$ и $563,2 : 70,4$.

а) Сравним выражения $563,2 \cdot 70,4$ и $56,32 \cdot 704$.

Преобразуем второй сомножитель во втором выражении, чтобы он стал таким же, как во втором сомножителе первого выражения: $704 = 70,4 \cdot 10$.

Теперь преобразуем первый сомножитель во втором выражении: $56,32 = 563,2 : 10$.

Подставим эти значения во второе выражение:
$56,32 \cdot 704 = (563,2 : 10) \cdot (70,4 \cdot 10)$.

Поскольку от перестановки множителей произведение не меняется, мы можем сгруппировать числа:
$(563,2 \cdot 70,4) \cdot (10 : 10) = (563,2 \cdot 70,4) \cdot 1 = 563,2 \cdot 70,4$.

Один сомножитель был уменьшен в 10 раз, а другой увеличен в 10 раз, поэтому их произведение не изменилось. Значения выражений равны.

Ответ: $563,2 \cdot 70,4 = 56,32 \cdot 704$.

б) Сравним выражения $563,2 \cdot 70,4$ и $5,632 \cdot 704$.

Аналогично предыдущему пункту, преобразуем множители второго выражения.
$5,632 = 563,2 : 100$
$704 = 70,4 \cdot 10$

Подставим эти значения во второе выражение:
$5,632 \cdot 704 = (563,2 : 100) \cdot (70,4 \cdot 10) = (563,2 \cdot 70,4) \cdot (10 : 100) = (563,2 \cdot 70,4) \cdot 0,1$.

Второе выражение равно произведению $563,2 \cdot 70,4$, умноженному на $0,1$. Так как $0,1 < 1$, второе выражение меньше первого.

Ответ: $563,2 \cdot 70,4 > 5,632 \cdot 704$.

в) Сравним выражения $563,2 : 70,4$ и $56,32 : 7,04$.

Воспользуемся основным свойством частного: значение частного не изменится, если делимое и делитель умножить на одно и то же число, не равное нулю.

Рассмотрим второе выражение $56,32 : 7,04$. Умножим и делимое ($56,32$), и делитель ($7,04$) на $10$:
$(56,32 \cdot 10) : (7,04 \cdot 10) = 563,2 : 70,4$.

Полученное выражение в точности совпадает с первым выражением. Следовательно, значения выражений равны.

Ответ: $563,2 : 70,4 = 56,32 : 7,04$.

г) Сравним выражения $0,5632 : 0,704$ и $563,2 : 70,4$.

Сначала преобразуем первое выражение $0,5632 : 0,704$, используя основное свойство частного. Умножим делимое и делитель на $1000$:
$(0,5632 \cdot 1000) : (0,704 \cdot 1000) = 563,2 : 704$.

Теперь задача сводится к сравнению двух выражений: $563,2 : 704$ и $563,2 : 70,4$.

В этих выражениях делимые одинаковы ($563,2$), а делители различны. Сравним делители: $704 > 70,4$.

При делении одного и того же положительного числа на разные числа, больше то частное, у которого делитель меньше.
Так как $704 > 70,4$, то частное от деления на $704$ будет меньше, чем частное от деления на $70,4$.
$563,2 : 704 < 563,2 : 70,4$.

Следовательно, $0,5632 : 0,704 < 563,2 : 70,4$.

Ответ: $0,5632 : 0,704 < 563,2 : 70,4$.

676 Выразите:

а) в граммах: 1,4 кг; 0,125 кг; 0,4 кг; 2,05 кг;

б) в килограммах: 3,7 ц; 0,5 ц; 6,8 т; 0,75 т.

а) в граммах: 1,4 кг; 0,125 кг; 0,4 кг; 2,05 кг;

Для того чтобы выразить массу в граммах, зная ее значение в килограммах, необходимо использовать соотношение между этими единицами измерения. В одном килограмме содержится 1000 граммов:
$1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$.
Чтобы выполнить перевод, нужно умножить значение в килограммах на 1000.

$1,4 \text{ кг} = 1,4 \cdot 1000 = 1400 \text{ г}$
$0,125 \text{ кг} = 0,125 \cdot 1000 = 125 \text{ г}$
$0,4 \text{ кг} = 0,4 \cdot 1000 = 400 \text{ г}$
$2,05 \text{ кг} = 2,05 \cdot 1000 = 2050 \text{ г}$

Ответ: 1400 г; 125 г; 400 г; 2050 г.

б) в килограммах: 3,7 ц; 0,5 ц; 6,8 т; 0,75 т.

Для того чтобы выразить массу в килограммах, зная ее значение в центнерах (ц) или тоннах (т), необходимо использовать следующие соотношения:
1 центнер равен 100 килограммам: $1 \text{ ц} = 100 \text{ кг}$.
1 тонна равна 1000 килограммам: $1 \text{ т} = 1000 \text{ кг}$.

Переведем центнеры в килограммы, умножив значения на 100:
$3,7 \text{ ц} = 3,7 \cdot 100 = 370 \text{ кг}$
$0,5 \text{ ц} = 0,5 \cdot 100 = 50 \text{ кг}$

Переведем тонны в килограммы, умножив значения на 1000:
$6,8 \text{ т} = 6,8 \cdot 1000 = 6800 \text{ кг}$
$0,75 \text{ т} = 0,75 \cdot 1000 = 750 \text{ кг}$

Ответ: 370 кг; 50 кг; 6800 кг; 750 кг.

677 Выразите:

а) в килограммах: 1270 г; 350 г; 2075 г;

б) в центнерах: 240 кг; 90 кг; 1425 кг.

а) в килограммах: 1270 г; 350 г; 2075 г;

Чтобы выразить граммы (г) в килограммах (кг), нужно знать, что в одном килограмме содержится 1000 граммов.
$1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$
Следовательно, чтобы перевести граммы в килограммы, необходимо разделить количество граммов на 1000.

• 1270 г
$1270 \text{ г} = \frac{1270}{1000} \text{ кг} = 1,27 \text{ кг}$

• 350 г
$350 \text{ г} = \frac{350}{1000} \text{ кг} = 0,35 \text{ кг}$

• 2075 г
$2075 \text{ г} = \frac{2075}{1000} \text{ кг} = 2,075 \text{ кг}$

Ответ: 1,27 кг; 0,35 кг; 2,075 кг.

б) в центнерах: 240 кг; 90 кг; 1425 кг.

Чтобы выразить килограммы (кг) в центнерах (ц), нужно знать, что в одном центнере содержится 100 килограммов.
$1 \text{ ц} = 100 \text{ кг}$
Следовательно, чтобы перевести килограммы в центнеры, необходимо разделить количество килограммов на 100.

• 240 кг
$240 \text{ кг} = \frac{240}{100} \text{ ц} = 2,4 \text{ ц}$

• 90 кг
$90 \text{ кг} = \frac{90}{100} \text{ ц} = 0,9 \text{ ц}$

• 1425 кг
$1425 \text{ кг} = \frac{1425}{100} \text{ ц} = 14,25 \text{ ц}$

Ответ: 2,4 ц; 0,9 ц; 14,25 ц.

678 Выразите:

а) в метрах: $23 \text{ км}$; $5,127 \text{ км}$; $0,027 \text{ км}$; $0,35 \text{ км}$; $0,4 \text{ км}$;

б) в миллиметрах: $16 \text{ см}$; $10,5 \text{ см}$; $0,3 \text{ см}$; $1,7 \text{ см}$; $0,4 \text{ см}$.

а)

Чтобы выразить километры в метрах, необходимо использовать соотношение $1 \text{ км} = 1000 \text{ м}$. Для этого нужно умножить значение в километрах на 1000.

$23 \text{ км} = 23 \times 1000 \text{ м} = 23000 \text{ м}$
$5,127 \text{ км} = 5,127 \times 1000 \text{ м} = 5127 \text{ м}$
$0,027 \text{ км} = 0,027 \times 1000 \text{ м} = 27 \text{ м}$
$0,35 \text{ км} = 0,35 \times 1000 \text{ м} = 350 \text{ м}$
$0,4 \text{ км} = 0,4 \times 1000 \text{ м} = 400 \text{ м}$

Ответ: 23000 м; 5127 м; 27 м; 350 м; 400 м.

б)

Чтобы выразить сантиметры в миллиметрах, необходимо использовать соотношение $1 \text{ см} = 10 \text{ мм}$. Для этого нужно умножить значение в сантиметрах на 10.

$16 \text{ см} = 16 \times 10 \text{ мм} = 160 \text{ мм}$
$10,5 \text{ см} = 10,5 \times 10 \text{ мм} = 105 \text{ мм}$
$0,3 \text{ см} = 0,3 \times 10 \text{ мм} = 3 \text{ мм}$
$1,7 \text{ см} = 1,7 \times 10 \text{ мм} = 17 \text{ мм}$
$0,4 \text{ см} = 0,4 \times 10 \text{ мм} = 4 \text{ мм}$

Ответ: 160 мм; 105 мм; 3 мм; 17 мм; 4 мм.

679 Выразите:

а) в метрах: 526 см; 48 см; 20 см; 7,6 см; 5 см;

б) в граммах: 3000 мг; 25,6 мг; 15 мг; 4 мг.

а) в метрах:

Чтобы выразить сантиметры (см) в метрах (м), необходимо помнить, что в одном метре 100 сантиметров. Следовательно, для перевода нужно разделить значение в сантиметрах на 100.

$526 \text{ см} = 526 : 100 = 5,26 \text{ м}$

$48 \text{ см} = 48 : 100 = 0,48 \text{ м}$

$20 \text{ см} = 20 : 100 = 0,2 \text{ м}$

$7,6 \text{ см} = 7,6 : 100 = 0,076 \text{ м}$

$5 \text{ см} = 5 : 100 = 0,05 \text{ м}$

Ответ: $5,26 \text{ м}; 0,48 \text{ м}; 0,2 \text{ м}; 0,076 \text{ м}; 0,05 \text{ м}$.

б) в граммах:

Чтобы выразить миллиграммы (мг) в граммах (г), необходимо помнить, что в одном грамме 1000 миллиграммов. Следовательно, для перевода нужно разделить значение в миллиграммах на 1000.

$3000 \text{ мг} = 3000 : 1000 = 3 \text{ г}$

$25,6 \text{ мг} = 25,6 : 1000 = 0,0256 \text{ г}$

$15 \text{ мг} = 15 : 1000 = 0,015 \text{ г}$

$4 \text{ мг} = 4 : 1000 = 0,004 \text{ г}$

Ответ: $3 \text{ г}; 0,0256 \text{ г}; 0,015 \text{ г}; 0,004 \text{ г}$.