Страница 195 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

704 a) На упаковке товара указаны его стоимость и масса. Сколько стоит 1 кг этого товара, если 1,5 кг стоят 540 р.; 0,4 кг стоят 250 р.?

б) Цена некоторого товара 98 р. за 1 кг. Сколько купили этого товара, если за покупку заплатили 343 р.; 441 р.?

а)

Чтобы найти стоимость 1 кг товара, необходимо его общую стоимость разделить на массу. Эта величина называется удельной стоимостью или ценой.

1. Если 1,5 кг товара стоят 540 р., то цена за 1 кг составляет:

$C_1 = \frac{540 \text{ р.}}{1,5 \text{ кг}} = 360 \text{ р./кг}$

2. Если 0,4 кг товара стоят 250 р., то цена за 1 кг составляет:

$C_2 = \frac{250 \text{ р.}}{0,4 \text{ кг}} = 625 \text{ р./кг}$

Ответ: 360 р.; 625 р.

б)

Чтобы найти массу купленного товара, необходимо общую сумму, уплаченную за покупку, разделить на цену товара за 1 кг.

1. Если цена товара 98 р. за 1 кг, а за покупку заплатили 343 р., то масса купленного товара равна:

$m_1 = \frac{343 \text{ р.}}{98 \text{ р./кг}} = 3,5 \text{ кг}$

2. Если цена товара 98 р. за 1 кг, а за покупку заплатили 441 р., то масса купленного товара равна:

$m_2 = \frac{441 \text{ р.}}{98 \text{ р./кг}} = 4,5 \text{ кг}$

Ответ: 3,5 кг; 4,5 кг.

705 а) Сколько кусков ленты по $2.5$ м каждый получится из мотка длиной $23$ м?

б) В бидоне $4.6$ л молока. Есть бутылки ёмкостью $0.5$ л. Сколько потребуется таких бутылок, чтобы разлить в них всё молоко из бидона?

а) Чтобы узнать, сколько кусков ленты получится, необходимо общую длину ленты в мотке разделить на длину одного куска.

Общая длина ленты: $23$ м.

Длина одного куска: $2,5$ м.

Выполним деление:

$23 / 2,5 = 230 / 25 = 9,2$

Результат деления $9,2$ означает, что можно вырезать 9 полных кусков ленты, и еще останется часть ленты. Так как вопрос стоит о количестве целых кусков, мы берем целую часть от результата.

Проверка: $9 \cdot 2,5 = 22,5$ м. Остаток ленты будет $23 - 22,5 = 0,5$ м. Из этого остатка нельзя сделать еще один кусок длиной $2,5$ м.

Ответ: 9 кусков.

б) Чтобы определить, сколько бутылок потребуется для всего молока, нужно общий объем молока разделить на емкость одной бутылки.

Объем молока в бидоне: $4,6$ л.

Емкость одной бутылки: $0,5$ л.

Выполним деление:

$4,6 / 0,5 = 46 / 5 = 9,2$

Результат $9,2$ означает, что 9 бутылок будут заполнены полностью, но останется еще часть молока, которую тоже нужно куда-то разлить. Девять бутылок вместят $9 \cdot 0,5 = 4,5$ литра молока. Останется еще $4,6 - 4,5 = 0,1$ литра. Для этого остатка потребуется еще одна, десятая бутылка. Поэтому, чтобы разлить всё молоко, нужно 10 бутылок.

Ответ: 10 бутылок.

706 Чтобы приготовить подарки к детскому празднику, купили шоколадные конфеты и карамель. Шоколадных конфет взяли 4,2 кг, а карамели — на 2,4 кг больше. Масса шоколадных конфет в одном подарке составляет 0,175 кг. А сколько карамели в каждом подарке? (Все подарки одинаковы.)

Для решения задачи нужно последовательно выполнить три действия: сначала найти общее количество подарков, затем — общую массу карамели, и в конце — массу карамели в одном подарке.

1. Найдём количество приготовленных подарков.
Общая масса купленных шоколадных конфет составляет 4,2 кг. В каждый подарок положили по 0,175 кг таких конфет. Чтобы узнать, сколько всего было подарков, разделим общую массу шоколадных конфет на массу конфет в одном подарке:
$4,2 \div 0,175 = 24$ (подарка).

2. Найдём общую массу карамели.
По условию, карамели купили на 2,4 кг больше, чем шоколадных конфет. Масса шоколадных конфет — 4,2 кг. Следовательно, масса карамели равна:
$4,2 + 2,4 = 6,6$ (кг).

3. Найдём, сколько карамели в каждом подарке.
Мы знаем, что всего было 6,6 кг карамели и 24 одинаковых подарка. Чтобы найти массу карамели в одном подарке, разделим общую массу карамели на количество подарков:
$6,6 \div 24 = 0,275$ (кг).

Ответ: в каждом подарке 0,275 кг карамели.

707 Найдите значение выражения:

а) $0.4 \cdot 2.55 \cdot 1.6$;

б) $40 \cdot (7.85 - 3.9)$;

в) $17 - 3.44 \cdot 3.5$;

г) $(8.4 + 1.92) \cdot (1.7 - 1.5)$;

д) $17.5 - 3 \cdot 4.5 - 1.725$;

е) $20.3 - 5 \cdot (2.4 + 0.43).$

а) $0,4 \cdot 2,55 \cdot 1,6$
Решим по действиям. Сначала выполним первое умножение:
$0,4 \cdot 2,55 = 1,02$
Теперь результат умножим на третье число:
$1,02 \cdot 1,6 = 1,632$
Ответ: 1,632

б) $40 \cdot (7,85 - 3,9)$
Первым действием выполним вычитание в скобках:
$7,85 - 3,9 = 3,95$
Затем выполним умножение:
$40 \cdot 3,95 = 158$
Ответ: 158

в) $17 - 3,44 \cdot 3,5$
Согласно порядку действий, сначала выполняем умножение:
$3,44 \cdot 3,5 = 12,04$
Теперь выполняем вычитание:
$17 - 12,04 = 4,96$
Ответ: 4,96

г) $(8,4 + 1,92) \cdot (1,7 - 1,5)$
Сначала выполним действия в каждой из скобок:
1) $8,4 + 1,92 = 10,32$
2) $1,7 - 1,5 = 0,2$
Теперь перемножим полученные результаты:
$10,32 \cdot 0,2 = 2,064$
Ответ: 2,064

д) $17,5 - 3 \cdot 4,5 - 1,725$
Первым действием выполняем умножение:
$3 \cdot 4,5 = 13,5$
Теперь выполняем вычитание по порядку слева направо:
$17,5 - 13,5 = 4$
$4 - 1,725 = 2,275$
Ответ: 2,275

е) $20,3 - 5 \cdot (2,4 + 0,43)$
Сначала выполним действие в скобках:
$2,4 + 0,43 = 2,83$
Затем выполним умножение:
$5 \cdot 2,83 = 14,15$
И в конце выполним вычитание:
$20,3 - 14,15 = 6,15$
Ответ: 6,15

708 Вычислите:

а) $2,1^2 - 2,1;$

б) $0,9 - 0,9^2;$

в) $2 \cdot 0,8^2;$

г) $(2 \cdot 0,8)^2;$

д) $2,5^2 - 0,5^2;$

е) $(2,5 - 0,5)^2.$

а) $2,1^2 - 2,1$

Для решения вынесем общий множитель $2,1$ за скобки. Это упростит вычисление.

$2,1^2 - 2,1 = 2,1 \cdot (2,1 - 1)$

Сначала выполним вычитание в скобках:

$2,1 - 1 = 1,1$

Теперь умножим результат на $2,1$:

$2,1 \cdot 1,1 = 2,31$

Ответ: $2,31$

б) $0,9 - 0,9^2$

Вынесем общий множитель $0,9$ за скобки:

$0,9 - 0,9^2 = 0,9 \cdot (1 - 0,9)$

Выполним вычитание в скобках:

$1 - 0,9 = 0,1$

Теперь умножим:

$0,9 \cdot 0,1 = 0,09$

Ответ: $0,09$

в) $2 \cdot 0,8^2$

Согласно порядку действий, сначала выполняем возведение в степень, а затем умножение.

Возведем $0,8$ в квадрат:

$0,8^2 = 0,8 \cdot 0,8 = 0,64$

Теперь умножим результат на $2$:

$2 \cdot 0,64 = 1,28$

Ответ: $1,28$

г) $(2 \cdot 0,8)^2$

В этом примере сначала нужно выполнить действие в скобках, а затем возвести результат в степень.

Умножим числа в скобках:

$2 \cdot 0,8 = 1,6$

Теперь возведем результат в квадрат:

$(1,6)^2 = 1,6 \cdot 1,6 = 2,56$

Ответ: $2,56$

д) $2,5^2 - 0,5^2$

Это выражение является разностью квадратов, поэтому можно применить формулу сокращенного умножения: $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Подставим наши значения $a = 2,5$ и $b = 0,5$:

$2,5^2 - 0,5^2 = (2,5 - 0,5) \cdot (2,5 + 0,5)$

Вычислим значения в каждой скобке:

$2,5 - 0,5 = 2$

$2,5 + 0,5 = 3$

Перемножим полученные результаты:

$2 \cdot 3 = 6$

Ответ: $6$

е) $(2,5 - 0,5)^2$

Сначала выполним вычитание в скобках, а затем возведем результат в квадрат.

Вычитаем в скобках:

$2,5 - 0,5 = 2$

Возводим в квадрат:

$2^2 = 4$

Ответ: $4$

709 Найдите значение выражения:

а) $1,64 + 6,144 : 12;$

б) $2,08 \cdot (4,25 - 2,17);$

в) $2,25 : (0,015 \cdot 0,4);$

г) $9 : 0,012 : 300;$

д) $15,3 : (1 + 0,25 \cdot 16);$

е) $1,6 \cdot 1,1 - 1,8 : 4.$

а) $1,64 + 6,144 : 12$
Согласно порядку действий, сначала выполняем деление, а затем сложение.
1. Деление: $6,144 : 12 = 0,512$
2. Сложение: $1,64 + 0,512 = 1,640 + 0,512 = 2,152$
Ответ: $2,152$.

б) $2,08 \cdot (4,25 - 2,17)$
Сначала выполняем действие в скобках, затем умножение.
1. Вычитание в скобках: $4,25 - 2,17 = 2,08$
2. Умножение: $2,08 \cdot 2,08 = 4,3264$
Ответ: $4,3264$.

в) $2,25 : (0,015 \cdot 0,4)$
Сначала выполняем действие в скобках, затем деление.
1. Умножение в скобках: $0,015 \cdot 0,4 = 0,006$
2. Деление: $2,25 : 0,006 = 2250 : 6 = 375$
Ответ: $375$.

г) $9 : 0,012 : 300$
Действия выполняются по порядку слева направо.
1. Первое деление: $9 : 0,012 = 9000 : 12 = 750$
2. Второе деление: $750 : 300 = 2,5$
Ответ: $2,5$.

д) $15,3 : (1 + 0,25 \cdot 16)$
Сначала выполняем умножение в скобках, затем сложение в скобках, и в конце деление.
1. Умножение в скобках: $0,25 \cdot 16 = 4$
2. Сложение в скобках: $1 + 4 = 5$
3. Деление: $15,3 : 5 = 3,06$
Ответ: $3,06$.

е) $1,6 \cdot 1,1 - 1,8 : 4$
Сначала выполняем умножение и деление, затем вычитание.
1. Умножение: $1,6 \cdot 1,1 = 1,76$
2. Деление: $1,8 : 4 = 0,45$
3. Вычитание: $1,76 - 0,45 = 1,31$
Ответ: $1,31$.

710 Два катера одновременно отправились от одной пристани в одном направлении. Их скорости соответственно равны $20 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$ и $30 \frac{\text{км}}{\text{ч}}$.

1) Какое расстояние будет между ними через 1 ч; через 1,5 ч?

2) Через сколько часов расстояние между ними будет равно 25 км?

1) Какое расстояние будет между ними через 1 ч; через 1,5 ч?

Для решения этой задачи сперва найдем скорость удаления катеров. Так как катера движутся в одном направлении от одной пристани, скорость, с которой они удаляются друг от друга, равна разности их скоростей.

Скорость первого катера $v_1 = 20$ км/ч.

Скорость второго катера $v_2 = 30$ км/ч.

Скорость удаления $v_{уд}$ рассчитывается как:

$v_{уд} = v_2 - v_1 = 30 \text{ км/ч} - 20 \text{ км/ч} = 10 \text{ км/ч}$.

Это означает, что за каждый час расстояние между катерами увеличивается на 10 км.

Теперь мы можем найти расстояние $S$ между ними через заданное время $t$ по формуле $S = v_{уд} \times t$.

Расстояние через 1 час:

$S_1 = 10 \text{ км/ч} \times 1 \text{ ч} = 10 \text{ км}$.

Расстояние через 1,5 часа:

$S_{1.5} = 10 \text{ км/ч} \times 1,5 \text{ ч} = 15 \text{ км}$.

Ответ: через 1 час расстояние между катерами будет 10 км, а через 1,5 часа — 15 км.

2) Через сколько часов расстояние между ними будет равно 25 км?

Для ответа на этот вопрос воспользуемся той же формулой $S = v_{уд} \times t$, где нам известно расстояние $S = 25$ км и скорость удаления $v_{уд} = 10$ км/ч. Нам нужно найти время $t$.

Выразим время из формулы:

$t = \frac{S}{v_{уд}}$

Подставим известные значения:

$t = \frac{25 \text{ км}}{10 \text{ км/ч}} = 2,5 \text{ ч}$.

Ответ: расстояние между катерами будет равно 25 км через 2,5 часа.

711 Выполните умножение, следуя приведённому образцу:

a) $116 \cdot 0,5;$

б) $84 \cdot 0,25;$

в) $64 \cdot 0,25;$

г) $284 \cdot 0,5;$

д) $158 \cdot 0,5;$

е) $1008 \cdot 0,25.$

Образец. $48 \cdot 0,5 = 48 \cdot \frac{1}{2} = 48 : 2 = 24;$ $48 \cdot 0,25 = 48 \cdot \frac{1}{4} = 48 : 4 = 12.$

а) Чтобы умножить число на 0,5, нужно разделить это число на 2. Следуя образцу, представляем 0,5 в виде обыкновенной дроби $\frac{1}{2}$:

$116 \cdot 0,5 = 116 \cdot \frac{1}{2} = 116 : 2 = 58$.

Ответ: 58.

б) Чтобы умножить число на 0,25, нужно разделить это число на 4. Следуя образцу, представляем 0,25 в виде обыкновенной дроби $\frac{1}{4}$:

$84 \cdot 0,25 = 84 \cdot \frac{1}{4} = 84 : 4 = 21$.

Ответ: 21.

в) Умножение на 0,25 эквивалентно делению на 4. Представляем 0,25 в виде дроби $\frac{1}{4}$:

$64 \cdot 0,25 = 64 \cdot \frac{1}{4} = 64 : 4 = 16$.

Ответ: 16.

г) Умножение на 0,5 эквивалентно делению на 2. Представляем 0,5 в виде дроби $\frac{1}{2}$:

$284 \cdot 0,5 = 284 \cdot \frac{1}{2} = 284 : 2 = 142$.

Ответ: 142.

д) Умножаем на 0,5, что равносильно делению на 2. Заменяем 0,5 на $\frac{1}{2}$:

$158 \cdot 0,5 = 158 \cdot \frac{1}{2} = 158 : 2 = 79$.

Ответ: 79.

е) Умножаем на 0,25, что равносильно делению на 4. Заменяем 0,25 на $\frac{1}{4}$:

$1008 \cdot 0,25 = 1008 \cdot \frac{1}{4} = 1008 : 4 = 252$.

Ответ: 252.