Страница 200 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

712 Возьмите куб и определите, сколько у него граней, вершин, рёбер. Определите число рёбер и число граней куба, сходящихся в каждой его вершине. Поставьте куб на стол. Сколько граней куба имеет общие рёбра с нижней гранью? Сколько граней куба не имеет общих рёбер с нижней гранью?

Сколько у куба граней, вершин, рёбер

Куб — это правильный многогранник, каждая грань которого представляет собой квадрат. У куба 6 граней (верхняя, нижняя, передняя, задняя, левая и правая). Вершина — это точка, в которой сходятся рёбра. У куба 4 вершины на верхнем основании и 4 на нижнем, итого 8 вершин. Ребро — это отрезок, соединяющий две вершины. У куба 4 ребра на верхнем основании, 4 на нижнем и 4 боковых ребра, итого 12 рёбер. Эти числа можно проверить с помощью теоремы Эйлера для многогранников: $В - Р + Г = 2$, где $В$ — число вершин, $Р$ — число рёбер, $Г$ — число граней. Для куба: $8 - 12 + 6 = 2$.
Ответ: 6 граней, 8 вершин, 12 рёбер.

Число рёбер и число граней, сходящихся в каждой вершине

Рассмотрим любую вершину куба. В каждой вершине сходятся три грани. Например, если представить угол комнаты как вершину куба, то в ней сходятся пол и две стены. Эти три грани, пересекаясь попарно, образуют три ребра, которые также сходятся в этой вершине. Это справедливо для любой из 8 вершин куба.
Ответ: в каждой вершине куба сходятся 3 ребра и 3 грани.

Сколько граней куба имеет общие рёбра с нижней гранью

Поставим куб на стол. Грань, которая соприкасается со столом, будем называть нижней. Нижняя грань является квадратом и имеет 4 ребра. Каждое из этих рёбер также принадлежит одной из боковых граней куба. Таким образом, четыре боковые грани (передняя, задняя, левая и правая) имеют общие рёбра с нижней гранью.
Ответ: 4 грани.

Сколько граней куба не имеет общих рёбер с нижней гранью

Всего у куба 6 граней. Одна из них — это сама нижняя грань. Как мы выяснили, 4 боковые грани имеют общие рёбра с нижней. Остаётся последняя, шестая грань — верхняя. Верхняя грань параллельна нижней и не имеет с ней общих рёбер.
Ответ: 1 грань.

713 От куба отрезали угол (рис. 11.4).

1) Сколько граней у получившегося многогранника? Какую форму они имеют? Сколько у него вершин? Сколько рёбер? Сколько граней на этом рисунке не видно? А сколько вершин?

2) Начертите пятиугольную грань многогранника, если ребро куба $4$ см, а разрез проходит через середины рёбер куба.

3) Как вы думаете, сколько граней будет у этого многогранника, если отрезать ещё один угол?

11.4

1)

Проанализируем изменения, которые происходят с кубом после отрезания одного угла (вершины). Исходный куб имеет 6 граней, 8 вершин и 12 рёбер.

Сколько граней у получившегося многогранника?
Когда от куба отрезают угол, одна вершина заменяется новой гранью. Ни одна из старых граней не исчезает, хотя три из них (те, что сходились в срезанной вершине) меняют свою форму. Таким образом, общее количество граней увеличивается на 1. У получившегося многогранника будет $6 + 1 = 7$ граней.

Какую форму они имеют?
Три грани куба, которые не примыкали к срезанной вершине, остаются квадратами. Три грани, которые сходились в этой вершине, из квадратов превращаются в пятиугольники. Новая грань, образовавшаяся на месте среза, является треугольником. Итак, многогранник имеет 3 квадратные грани, 3 пятиугольные грани и 1 треугольную грань.

Сколько у него вершин?
При срезании угла одна вершина куба удаляется, но на её месте на трёх рёбрах, которые в ней сходились, образуются три новые вершины. Следовательно, общее число вершин становится $8 - 1 + 3 = 10$.

Сколько рёбер?
Исходные рёбра не удаляются (три из них лишь укорачиваются). Плоскость среза образует 3 новых ребра, которые являются сторонами новой треугольной грани. Таким образом, общее число рёбер становится $12 + 3 = 15$.

Для проверки можно использовать формулу Эйлера для выпуклых многогранников: $В - Р + Г = 2$, где $В$ — число вершин, $Р$ — число рёбер, $Г$ — число граней. Подставим наши значения: $10 - 15 + 7 = 2$. Равенство верно.

Сколько граней на этом рисунке не видно? А сколько вершин?
На рисунке мы видим вид спереди-справа-сверху. Видны три грани, ставшие пятиугольниками, и одна новая треугольная грань. Не видны три грани, оставшиеся квадратами (задняя, левая и нижняя). Таким образом, не видно 3 грани. Всего у многогранника 10 вершин. На рисунке видны 7 из них (3 новые, образованные срезом, и 4 изначальные вершины куба). Не видны 3 вершины, расположенные сзади и снизу.

Ответ: У получившегося многогранника 7 граней (3 квадрата, 3 пятиугольника, 1 треугольник), 10 вершин и 15 рёбер. На рисунке не видно 3 грани и 3 вершины.

2)

Пятиугольная грань — это бывшая квадратная грань куба, у которой отрезали один угол. По условию, ребро куба равно 4 см, а разрез проходит через середины рёбер, выходящих из одной вершины.

Рассмотрим одну из таких граней. Изначально это был квадрат со стороной 4 см. Срез отсекает от одного из его углов прямоугольный равнобедренный треугольник. Катеты этого треугольника равны половине ребра куба, то есть $4 / 2 = 2$ см.

В результате образуется пятиугольник со следующими характеристиками:

• Две стороны, которые были сторонами квадрата и не были затронуты срезом, имеют длину по 4 см.
• Две стороны, образовавшиеся из частей разрезанных сторон квадрата, имеют длину по 2 см.
• Пятая сторона — это линия среза. Она является гипотенузой отсечённого прямоугольного треугольника с катетами по 2 см. Её длину можно найти по теореме Пифагора: $c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ см.
• Три угла пятиугольника, унаследованные от квадрата, остаются прямыми (по 90°). Два угла при линии среза равны $180° - 45° = 135°$ каждый (так как углы в отсечённом равнобедренном прямоугольном треугольнике равны 45°).

Чертёж пятиугольной грани с указанием размеров:

Ответ: Чертёж представлен выше. Пятиугольная грань имеет стороны длиной 4 см, 4 см, 2 см, $2\sqrt{2}$ см и 2 см. Три угла по 90°, два угла по 135°.

3)

Операция "отрезать угол" от выпуклого многогранника по своей сути является усечением одной из его вершин. При усечении вершины эта вершина заменяется новой гранью.

Многогранник, который у нас есть, был получен из куба (6 граней) путём отрезания одного угла, и у него стало 7 граней. Если мы отрежем ещё один угол, то мы снова проведём операцию усечения вершины. Одна из существующих вершин будет заменена новой гранью. При этом ни одна из 7 имеющихся граней не исчезнет, а лишь некоторые из них (сходящиеся в отрезаемой вершине) изменят свою форму.

Таким образом, каждое отрезание угла увеличивает общее количество граней многогранника на единицу.

Поскольку у нашего многогранника 7 граней, после отрезания ещё одного угла у него станет $7 + 1 = 8$ граней.

Ответ: Если отрезать ещё один угол, у многогранника будет 8 граней.

714 Как пройти по всем рёбрам многогранника, изображённого на рисунке 11.5, проходя каждое ребро только один раз?

Выпишите последовательность вершин при таком обходе.

Подсказка. Надо правильно выбрать начало обхода.

11.5

Как пройти по всем рёбрам многогранника, изображённого на рисунке 11.5, проходя каждое ребро только один раз?

Данная задача сводится к нахождению Эйлерова пути в графе, который представляет собой "каркас" из рёбер и вершин многогранника. Эйлеров путь — это путь, проходящий по всем рёбрам графа ровно один раз.

Согласно теореме, Эйлеров путь в связном графе существует тогда и только тогда, когда в нём не более двух вершин нечётной степени (т.е. вершин, из которых выходит нечётное число рёбер). Если таких вершин ровно две, то Эйлеров путь должен начинаться в одной из них, а заканчиваться в другой.

Изображённый многогранник — это треугольная бипирамида. Определим степени его вершин (количество рёбер, сходящихся в каждой вершине):
- Степень вершины A: $deg(A)=4$ (рёбра AB, AC, AD, AE) — чётная.
- Степень вершины B: $deg(B)=3$ (рёбра BA, BC, BD) — нечётная.
- Степень вершины C: $deg(C)=4$ (рёбра CA, CB, CD, CE) — чётная.
- Степень вершины D: $deg(D)=4$ (рёбра DA, DB, DC, DE) — чётная.
- Степень вершины E: $deg(E)=3$ (рёбра EA, EC, ED) — нечётная.

В графе ровно две вершины нечётной степени: B и E. Следовательно, Эйлеров путь существует, и он должен начинаться в одной из этих вершин и заканчиваться в другой. Это и есть ответ на вопрос, как можно осуществить такой обход.

Ответ: Необходимо начать обход из вершины B и закончить в вершине E, либо начать в E и закончить в B.

Выпишите последовательность вершин при таком обходе.

Существует несколько правильных последовательностей. Выберем в качестве начальной вершины B. Тогда конечной вершиной должна быть E. Один из возможных вариантов обхода:
B → A → C → D → A → E → C → B → D → E
В этом пути последовательно проходятся рёбра: BA, AC, CD, DA, AE, EC, CB, BD, DE. Всего 9 рёбер, и каждое пройдено ровно один раз.
Другой возможный вариант:
B → C → A → D → B → A → E → D → C → E

Ответ: B-A-C-D-A-E-C-B-D-E.

ЧИТАЕМ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ИЗОБРАЖЕНИЯ

715

Какая фигура на рисунке 11.6, а-б сверху: треугольник или квадрат? Перенесите рисунок в тетрадь и раскрасьте верхнюю фигуру.

Для определения фигуры, видимой сверху, необходимо представить проекцию объемной фигуры на плоскость, параллельную ее основанию. Это называется видом сверху или планом.

a

На рисунке а изображена пространственная фигура — пирамида. Её основанием является треугольник, так как мы видим три вершины, соединенные ребрами в нижней части фигуры (одно из ребер основания показано пунктиром, так как оно невидимо с выбранного ракурса). Вид на пирамиду сверху совпадает с формой её основания. Следовательно, сверху виден треугольник. Согласно заданию, нужно перенести в тетрадь изображение пирамиды, а затем нарисовать и раскрасить фигуру, видимую сверху, то есть треугольник.

Ответ: треугольник.

б

На рисунке б также изображена пирамида. Её основанием является четырехугольник (в данном случае, судя по проекции, — квадрат). Два ребра основания показаны пунктиром, так как они скрыты от наблюдателя. Вид на эту пирамиду сверху будет представлять собой её квадратное основание. Согласно заданию, нужно перенести в тетрадь изображение пирамиды, а затем нарисовать и раскрасить фигуру, видимую сверху, то есть квадрат.

Ответ: квадрат.

716 Сверните лист бумаги пополам и расположите его так, как показано на рисунке 11.7, а; на рисунке 11.7, б.

Данное задание является практической инструкцией. Решение состоит в описании геометрических фигур, которые получаются в результате выполнения указанных действий.

Сначала, согласно инструкции, необходимо взять лист бумаги и сложить его пополам. Если предположить, что исходный лист имеет форму прямоугольника или, в более общем случае, параллелограмма (как это изображено на рисунках), то после сгибания пополам вдоль линии, соединяющей середины противоположных сторон, мы получим фигуру вдвое меньшей площади, также являющуюся прямоугольником или параллелограммом соответственно. На рисунках а и б показаны различные способы расположения двух таких одинаковых сложенных листов.

На рисунке 11.7, а показаны два одинаковых сложенных листа бумаги (два одинаковых параллелограмма), которые частично наложены друг на друга со сдвигом. В результате такого расположения:

• Фигура, образованная внешними контурами двух листов, представляет собой невыпуклый многоугольник (восьмиугольник).
• Область, где листы перекрывают друг друга (их пересечение), также является параллелограммом, подобным исходным сложенным листам.

Ответ: В результате расположения, показанного на рисунке «а», образуется невыпуклый многоугольник. Область пересечения двух сложенных листов представляет собой параллелограмм.

На рисунке 11.7, б показаны те же два одинаковых сложенных листа бумаги (параллелограмма), но расположенные под углом друг к другу. В этом случае:

• Внешний контур образованной фигуры также является невыпуклым многоугольником (шестиугольником).
• Область пересечения двух листов представляет собой выпуклый четырехугольник (в общем случае — не параллелограмм).

Ответ: В результате расположения, показанного на рисунке «б», образуется невыпуклый многоугольник. Область пересечения двух сложенных листов представляет собой выпуклый четырехугольник.

717 На рисунке 11.8 изображён многогранник.

1) Назовите его невидимые рёбра. Назовите грани, у которых:

а) все рёбра видимые;

б) есть видимые и невидимые рёбра;

в) все рёбра невидимые. В каких случаях грань будет видимой, а в каких нет?

2) Сколько рёбер сходится в вершине A? Какие из них видимые, а какие невидимые? Назовите вершины, в которых сходятся:

а) и видимые, и невидимые рёбра;

б) только видимые рёбра;

в) только невидимые рёбра.

В каких случаях вершина видима, а в каких нет?

11.8

1)

Невидимые рёбра многогранника (те, что изображены штриховой линией) — это $TA$, $TE$, $TD$, $AE$ и $ED$.

Назовём грани в соответствии с условиями:

а) все рёбра видимые:

Такая грань одна — $TBC$, так как все её рёбра ($TB$, $BC$ и $TC$) являются видимыми (изображены сплошными линиями).

Ответ: $TBC$.

б) есть видимые и невидимые рёбра:

Такими гранями являются:

• Грань $TAB$ (рёбра $TB$, $AB$ — видимые, ребро $TA$ — невидимое).
• Грань $TCD$ (рёбра $TC$, $CD$ — видимые, ребро $TD$ — невидимое).
• Основание $ABCDE$ (рёбра $AB$, $BC$, $CD$ — видимые, рёбра $DE$, $EA$ — невидимые).

Ответ: $TAB$, $TCD$, $ABCDE$.

в) все рёбра невидимые:

Такими гранями являются:

• Грань $TDE$ (все её рёбра $TD$, $DE$, $TE$ — невидимые).
• Грань $TEA$ (все её рёбра $TE$, $EA$, $TA$ — невидимые).

Ответ: $TDE$, $TEA$.

Грань будет видимой, если она обращена к наблюдателю и не заслоняется телом многогранника. В противном случае (если она находится на «обратной» стороне или скрыта другими гранями) грань невидима.

2)

В вершине $A$ сходятся 3 ребра: $AB$, $AE$ и $TA$. Ребро $AB$ — видимое, а рёбра $AE$ и $TA$ — невидимые.

Ответ: 3 ребра: видимое $AB$ и невидимые $AE$, $TA$.

Назовём вершины в соответствии с условиями:

а) и видимые, и невидимые рёбра:

Это вершины $A$, $D$ и $T$.

• В вершине $A$ сходится видимое ребро $AB$ и невидимые $AE$, $TA$.
• В вершине $D$ сходится видимое ребро $CD$ и невидимые $DE$, $TD$.
• В вершине $T$ сходятся видимые рёбра $TB$, $TC$ и невидимые $TA$, $TD$, $TE$.

Ответ: $A$, $D$, $T$.

б) только видимые рёбра:

Это вершины $B$ и $C$.

• В вершине $B$ все сходящиеся рёбра $AB$, $BC$, $TB$ — видимые.
• В вершине $C$ все сходящиеся рёбра $BC$, $CD$, $TC$ — видимые.

Ответ: $B$, $C$.

в) только невидимые рёбра:

Это вершина $E$. В ней сходятся только невидимые рёбра: $AE$, $ED$, $TE$.

Ответ: $E$.

Вершина видима, если она не скрыта от наблюдателя телом многогранника (т.е. находится спереди). Вершина невидима, если она находится на «обратной», скрытой от наблюдателя стороне. В данном случае видимыми являются вершины $T$, $B$, $C$, $D$, а невидимыми — $A$ и $E$.