Номер 713, страница 200 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

713 От куба отрезали угол (рис. 11.4).

1) Сколько граней у получившегося многогранника? Какую форму они имеют? Сколько у него вершин? Сколько рёбер? Сколько граней на этом рисунке не видно? А сколько вершин?

2) Начертите пятиугольную грань многогранника, если ребро куба $4$ см, а разрез проходит через середины рёбер куба.

3) Как вы думаете, сколько граней будет у этого многогранника, если отрезать ещё один угол?

11.4

1)

Проанализируем изменения, которые происходят с кубом после отрезания одного угла (вершины). Исходный куб имеет 6 граней, 8 вершин и 12 рёбер.

Сколько граней у получившегося многогранника?
Когда от куба отрезают угол, одна вершина заменяется новой гранью. Ни одна из старых граней не исчезает, хотя три из них (те, что сходились в срезанной вершине) меняют свою форму. Таким образом, общее количество граней увеличивается на 1. У получившегося многогранника будет $6 + 1 = 7$ граней.

Какую форму они имеют?
Три грани куба, которые не примыкали к срезанной вершине, остаются квадратами. Три грани, которые сходились в этой вершине, из квадратов превращаются в пятиугольники. Новая грань, образовавшаяся на месте среза, является треугольником. Итак, многогранник имеет 3 квадратные грани, 3 пятиугольные грани и 1 треугольную грань.

Сколько у него вершин?
При срезании угла одна вершина куба удаляется, но на её месте на трёх рёбрах, которые в ней сходились, образуются три новые вершины. Следовательно, общее число вершин становится $8 - 1 + 3 = 10$.

Сколько рёбер?
Исходные рёбра не удаляются (три из них лишь укорачиваются). Плоскость среза образует 3 новых ребра, которые являются сторонами новой треугольной грани. Таким образом, общее число рёбер становится $12 + 3 = 15$.

Для проверки можно использовать формулу Эйлера для выпуклых многогранников: $В - Р + Г = 2$, где $В$ — число вершин, $Р$ — число рёбер, $Г$ — число граней. Подставим наши значения: $10 - 15 + 7 = 2$. Равенство верно.

Сколько граней на этом рисунке не видно? А сколько вершин?
На рисунке мы видим вид спереди-справа-сверху. Видны три грани, ставшие пятиугольниками, и одна новая треугольная грань. Не видны три грани, оставшиеся квадратами (задняя, левая и нижняя). Таким образом, не видно 3 грани. Всего у многогранника 10 вершин. На рисунке видны 7 из них (3 новые, образованные срезом, и 4 изначальные вершины куба). Не видны 3 вершины, расположенные сзади и снизу.

Ответ: У получившегося многогранника 7 граней (3 квадрата, 3 пятиугольника, 1 треугольник), 10 вершин и 15 рёбер. На рисунке не видно 3 грани и 3 вершины.

2)

Пятиугольная грань — это бывшая квадратная грань куба, у которой отрезали один угол. По условию, ребро куба равно 4 см, а разрез проходит через середины рёбер, выходящих из одной вершины.

Рассмотрим одну из таких граней. Изначально это был квадрат со стороной 4 см. Срез отсекает от одного из его углов прямоугольный равнобедренный треугольник. Катеты этого треугольника равны половине ребра куба, то есть $4 / 2 = 2$ см.

В результате образуется пятиугольник со следующими характеристиками:

• Две стороны, которые были сторонами квадрата и не были затронуты срезом, имеют длину по 4 см.
• Две стороны, образовавшиеся из частей разрезанных сторон квадрата, имеют длину по 2 см.
• Пятая сторона — это линия среза. Она является гипотенузой отсечённого прямоугольного треугольника с катетами по 2 см. Её длину можно найти по теореме Пифагора: $c = \sqrt{a^2 + b^2} = \sqrt{2^2 + 2^2} = \sqrt{4+4} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}$ см.
• Три угла пятиугольника, унаследованные от квадрата, остаются прямыми (по 90°). Два угла при линии среза равны $180° - 45° = 135°$ каждый (так как углы в отсечённом равнобедренном прямоугольном треугольнике равны 45°).

Чертёж пятиугольной грани с указанием размеров:

Ответ: Чертёж представлен выше. Пятиугольная грань имеет стороны длиной 4 см, 4 см, 2 см, $2\sqrt{2}$ см и 2 см. Три угла по 90°, два угла по 135°.

3)

Операция "отрезать угол" от выпуклого многогранника по своей сути является усечением одной из его вершин. При усечении вершины эта вершина заменяется новой гранью.

Многогранник, который у нас есть, был получен из куба (6 граней) путём отрезания одного угла, и у него стало 7 граней. Если мы отрежем ещё один угол, то мы снова проведём операцию усечения вершины. Одна из существующих вершин будет заменена новой гранью. При этом ни одна из 7 имеющихся граней не исчезнет, а лишь некоторые из них (сходящиеся в отрезаемой вершине) изменят свою форму.

Таким образом, каждое отрезание угла увеличивает общее количество граней многогранника на единицу.

Поскольку у нашего многогранника 7 граней, после отрезания ещё одного угла у него станет $7 + 1 = 8$ граней.

Ответ: Если отрезать ещё один угол, у многогранника будет 8 граней.