Номер 714, страница 200 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

714 Как пройти по всем рёбрам многогранника, изображённого на рисунке 11.5, проходя каждое ребро только один раз?

Выпишите последовательность вершин при таком обходе.

Подсказка. Надо правильно выбрать начало обхода.

11.5

Как пройти по всем рёбрам многогранника, изображённого на рисунке 11.5, проходя каждое ребро только один раз?

Данная задача сводится к нахождению Эйлерова пути в графе, который представляет собой "каркас" из рёбер и вершин многогранника. Эйлеров путь — это путь, проходящий по всем рёбрам графа ровно один раз.

Согласно теореме, Эйлеров путь в связном графе существует тогда и только тогда, когда в нём не более двух вершин нечётной степени (т.е. вершин, из которых выходит нечётное число рёбер). Если таких вершин ровно две, то Эйлеров путь должен начинаться в одной из них, а заканчиваться в другой.

Изображённый многогранник — это треугольная бипирамида. Определим степени его вершин (количество рёбер, сходящихся в каждой вершине):
- Степень вершины A: $deg(A)=4$ (рёбра AB, AC, AD, AE) — чётная.
- Степень вершины B: $deg(B)=3$ (рёбра BA, BC, BD) — нечётная.
- Степень вершины C: $deg(C)=4$ (рёбра CA, CB, CD, CE) — чётная.
- Степень вершины D: $deg(D)=4$ (рёбра DA, DB, DC, DE) — чётная.
- Степень вершины E: $deg(E)=3$ (рёбра EA, EC, ED) — нечётная.

В графе ровно две вершины нечётной степени: B и E. Следовательно, Эйлеров путь существует, и он должен начинаться в одной из этих вершин и заканчиваться в другой. Это и есть ответ на вопрос, как можно осуществить такой обход.

Ответ: Необходимо начать обход из вершины B и закончить в вершине E, либо начать в E и закончить в B.

Выпишите последовательность вершин при таком обходе.

Существует несколько правильных последовательностей. Выберем в качестве начальной вершины B. Тогда конечной вершиной должна быть E. Один из возможных вариантов обхода:
B → A → C → D → A → E → C → B → D → E
В этом пути последовательно проходятся рёбра: BA, AC, CD, DA, AE, EC, CB, BD, DE. Всего 9 рёбер, и каждое пройдено ровно один раз.
Другой возможный вариант:
B → C → A → D → B → A → E → D → C → E

Ответ: B-A-C-D-A-E-C-B-D-E.