Номер 719, страница 201 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

719 Взяли три одинаковых проволочных квадрата и спаяли их в вершинах так, что получилась каркасная модель многогранника, изображённая на рисунке 11.10. Найдите исходные квадраты на рисунке и назовите их. Возьмите три таких проволочных квадрата и попробуйте сложить из них многогранник, изображённый на рисунке.

11.10

Изображённая каркасная модель многогранника является правильным октаэдром. У правильного октаэдра все 12 рёбер имеют одинаковую длину. Обозначим эту длину как $a$. Три исходных квадрата можно найти, выделив на рисунке замкнутые четырёхугольники, состоящие из рёбер октаэдра.

Исходными квадратами являются три взаимно перпендикулярных сечения октаэдра:

1. Квадрат `ABCD`. Он образован рёбрами `AB`, `BC`, `CD` и `DA`. Так как все эти рёбра имеют длину $a$, фигура `ABCD` является ромбом. В геометрии правильного октаэдра такое сечение, проходящее через 4 вершины, является квадратом.

2. Квадрат `EAKC`. Он образован рёбрами `EA`, `AK`, `KC` и `CE`. Все эти рёбра также имеют длину $a$, поэтому `EAKC` — ромб. Его диагоналями являются отрезки `AC` и `EK`. Отрезок `AC` — это диагональ квадрата `ABCD`, и его длина равна $a\sqrt{2}$. Отрезок `EK` соединяет две самые удалённые (противоположные) вершины октаэдра, и его длина также равна $a\sqrt{2}$. Так как диагонали ромба `EAKC` равны, он является квадратом.

3. Квадрат `EBKD`. Он образован рёбрами `EB`, `BK`, `KD` и `DE`. Длины этих рёбер равны $a$, следовательно, `EBKD` — ромб. Его диагонали — `BD` и `EK`. Длина диагонали `BD` квадрата `ABCD` равна $a\sqrt{2}$. Длина диагонали `EK`, как мы уже выяснили, также равна $a\sqrt{2}$. Поскольку диагонали ромба `EBKD` равны, он является квадратом.

Все три квадрата (`ABCD`, `EAKC`, `EBKD`) имеют одинаковую длину стороны $a$, следовательно, они являются идентичными.

Ответ: Исходные квадраты на рисунке — это `ABCD`, `EAKC` и `EBKD`.

Чтобы собрать из трёх проволочных квадратов (`ABCD`, `EAKC`, `EBKD`) каркас октаэдра, их необходимо соединить (спаять) в вершинах. Каждая из шести вершин октаэдра (`A`, `B`, `C`, `D`, `E`, `K`) является точкой соединения вершин двух из трёх квадратов.

• Вершины `A` и `C` являются общими для квадратов `ABCD` и `EAKC`.
• Вершины `B` и `D` являются общими для квадратов `ABCD` и `EBKD`.
• Вершины `E` и `K` являются общими для квадратов `EAKC` и `EBKD`.

При такой сборке три квадрата располагаются в пространстве так, что они взаимно перпендикулярны и пересекаются в общем центре. Рёбра этих трёх квадратов и образуют 12 рёбер октаэдра.

Ответ: Для сборки многогранника нужно соединить вершины трёх одинаковых проволочных квадратов попарно так, чтобы каждая из шести вершин итоговой фигуры стала общей для двух исходных квадратов. В результате квадраты окажутся расположенными в трёх взаимно перпендикулярных плоскостях.