Вопросы и задания, страница 203 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

Глава 11. Многогранники. 45. Параллелепипед и пирамида - страница 203.

Условие.

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Назовите три предмета, имеющие форму прямоугольного параллелепипеда.

Возьмите шесть одинаковых кубиков и сложите из них разные прямоугольные параллелепипеды. Сколько всего параллелепипедов можно сложить? Для каждого из них найдите длину, ширину и высоту.

В качестве прямоугольного параллелепипеда возьмите спичечный коробок. Обведите одним и тем же цветом его равные рёбра. Сколько разных цветов для этого потребуется? Сколько рёбер параллелепипеда выходит из каждой его вершины? Как они окрашены на коробке? Сколько равных граней у параллелепипеда? Как они расположены? Сколько граней параллелепипеда сходится в каждой вершине? Как окрашены рёбра этих граней на спичечном коробке?

Назовите пирамиды на рисунке 11.15.

Сколько у пятиугольной пирамиды рёбер основания; боковых рёбер; всего рёбер? Сколько у неё боковых граней; всего граней; вершин? Ответьте на те же вопросы для семиугольной пирамиды.

Решение 2.

Назовите три предмета, имеющие форму прямоугольного параллелепипеда.
Примерами предметов, имеющих форму прямоугольного параллелепипеда, могут служить: кирпич, книга, спичечный коробок.
Ответ: Кирпич, книга, спичечный коробок.

Возьмите шесть одинаковых кубиков и сложите из них разные прямоугольные параллелепипеды. Сколько всего параллелепипедов можно сложить? Для каждого из них найдите длину, ширину и высоту.
Пусть ребро одного кубика равно 1. Тогда объём параллелепипеда, составленного из шести кубиков, равен 6. Нам нужно найти все способы представить число 6 в виде произведения трёх натуральных чисел (длины, ширины и высоты).
Возможные комбинации:
1. $6 = 6 \times 1 \times 1$. Размеры параллелепипеда: длина – 6, ширина – 1, высота – 1.
2. $6 = 3 \times 2 \times 1$. Размеры параллелепипеда: длина – 3, ширина – 2, высота – 1.
Все остальные комбинации, такие как $1 \times 2 \times 3$ или $2 \times 1 \times 3$, представляют тот же самый параллелепипед, только по-другому ориентированный в пространстве. Таким образом, можно сложить два различных по форме параллелепипеда.
Ответ: Можно сложить 2 разных параллелепипеда с размерами $6 \times 1 \times 1$ и $3 \times 2 \times 1$.

В качестве прямоугольного параллелепипеда возьмите спичечный коробок. Обведите одним и тем же цветом его равные рёбра. Сколько разных цветов для этого потребуется? Сколько рёбер параллелепипеда выходит из каждой его вершины? Как они окрашены на коробке? Сколько равных граней у параллелепипеда? Как они расположены? Сколько граней параллелепипеда сходится в каждой вершине? Как окрашены рёбра этих граней на спичечном коробке?
- У прямоугольного параллелепипеда есть три группы по четыре равных и параллельных ребра. Следовательно, потребуется 3 разных цвета.
- Из каждой вершины выходит 3 ребра.
- Так как эти три ребра соответствуют трём измерениям (длине, ширине и высоте), они будут окрашены в 3 разных цвета.
- У параллелепипеда 6 граней. Они образуют 3 пары равных и параллельных прямоугольников. Равные грани расположены друг напротив друга.
- В каждой вершине сходится 3 грани.
- Каждая из трёх граней, сходящихся в вершине, имеет рёбра двух разных цветов. Например, если цвета рёбер – красный (длина), синий (ширина) и зелёный (высота), то в вершине сойдутся три грани: одна с красными и синими рёбрами, вторая – с красными и зелёными, третья – с синими и зелёными.
Ответ: Потребуется 3 цвета. Из каждой вершины выходит 3 ребра, все разного цвета. У параллелепипеда 3 пары равных граней, расположенных друг напротив друга. В каждой вершине сходится 3 грани.

Назовите пирамиды на рисунке 11.15.
На рисунке изображены следующие пирамиды:
а – пятиугольная пирамида (в основании лежит пятиугольник);
б – шестиугольная пирамида (в основании лежит шестиугольник);
в – четырёхугольная пирамида (в основании лежит четырёхугольник);
г – треугольная пирамида или тетраэдр (в основании лежит треугольник).
Ответ: а – пятиугольная пирамида, б – шестиугольная пирамида, в – четырёхугольная пирамида, г – треугольная пирамида.

Сколько у пятиугольной пирамиды рёбер основания; боковых рёбер; всего рёбер? Сколько у неё боковых граней; всего граней; вершин? Ответьте на те же вопросы для семиугольной пирамиды.
Общая формула для $n$-угольной пирамиды:
- Рёбер основания: $n$
- Боковых рёбер: $n$
- Всего рёбер: $2n$
- Боковых граней: $n$
- Всего граней: $n+1$
- Вершин: $n+1$

Для пятиугольной пирамиды ($n=5$):
- Рёбер основания: 5
- Боковых рёбер: 5
- Всего рёбер: $2 \times 5 = 10$
- Боковых граней: 5
- Всего граней: $5 + 1 = 6$
- Вершин: $5 + 1 = 6$

Для семиугольной пирамиды ($n=7$):
- Рёбер основания: 7
- Боковых рёбер: 7
- Всего рёбер: $2 \times 7 = 14$
- Боковых граней: 7
- Всего граней: $7 + 1 = 8$
- Вершин: $7 + 1 = 8$
Ответ: У пятиугольной пирамиды: 5 рёбер основания, 5 боковых рёбер, 10 всего рёбер, 5 боковых граней, 6 всего граней, 6 вершин. У семиугольной пирамиды: 7 рёбер основания, 7 боковых рёбер, 14 всего рёбер, 7 боковых граней, 8 всего граней, 8 вершин.