Номер 727, страница 204 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

РЁБРА, ГРАНИ И ВЕРШИНЫ

727

На рисунке $11.19$ изображён прямоугольный параллелепипед. Известны длины его рёбер: $AB = 6$ см, $ML = 4$ см, $AM = 2$ см.

1) Определите длины всех рёбер данного прямоугольного параллелепипеда.

2) Каковы размеры граней $AMNB$, $BNKC$, $MLKN$? Назовите равные им грани.

3) Определите периметр грани $ABCD$.

4) Начертите грань $CDLK$ в натуральную величину.

5) Три грани прямоугольного параллелепипеда, имеющие общую вершину $M$, хотят окрасить в красный цвет, а остальные — в синий. Какие грани будут красными; синими? Назовите общую вершину всех синих граней.

1) Определите длины всех рёбер данного прямоугольного параллелепипеда.

Прямоугольный параллелепипед имеет 12 рёбер, которые образуют три группы по четыре равных и параллельных ребра в каждой. Из условия и рисунка известны длины трёх рёбер, которые можно считать тремя измерениями параллелепипеда (длина, ширина, высота): $AB = 6$ см, $ML = 4$ см и $AM = 2$ см. Ребро $AD$ параллельно и равно ребру $ML$, поэтому $AD = 4$ см.

Таким образом, рёбра параллелепипеда можно сгруппировать по длинам:

- 4 ребра длиной 6 см: $AB$, $DC$, $MN$, $LK$.
- 4 ребра длиной 4 см: $AD$, $BC$, $ML$, $NK$.
- 4 ребра длиной 2 см: $AM$, $DL$, $CK$, $BN$.

Ответ: В параллелепипеде 4 ребра по 6 см, 4 ребра по 4 см и 4 ребра по 2 см.

2) Каковы размеры граней AMNB, BNKC, MLKN? Назовите равные им грани.

Грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками, причём противоположные грани равны между собой.

- Грань $AMNB$ (обозначает переднюю грань $ABNM$) образована рёбрами $AB$ и $AM$. Её размеры $6$ см $\times$ $2$ см. Противоположная (и равная ей) грань — задняя грань $DCLK$.

- Грань $BNKC$ (обозначает правую боковую грань $BCKN$) образована рёбрами $BC$ и $BN$. Её размеры $4$ см $\times$ $2$ см. Противоположная (и равная ей) грань — левая боковая грань $ADLM$.

- Грань $MLKN$ (обозначает нижнюю грань $MNKL$) образована рёбрами $MN$ и $ML$. Её размеры $6$ см $\times$ $4$ см. Противоположная (и равная ей) грань — верхняя грань $ABCD$.

Ответ: Грань $AMNB$ имеет размеры $6 \times 2$ см, ей равна грань $DCLK$. Грань $BNKC$ имеет размеры $4 \times 2$ см, ей равна грань $ADLM$. Грань $MLKN$ имеет размеры $6 \times 4$ см, ей равна грань $ABCD$.

3) Определите периметр грани ABCD.

Грань $ABCD$ является прямоугольником (верхняя грань). Её смежные стороны — это рёбра $AB$ и $AD$ (или $BC$). Длины этих рёбер равны $AB = 6$ см и $AD = 4$ см. Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$, где $a$ и $b$ — длины его смежных сторон.

Периметр грани $ABCD$ равен: $P_{ABCD} = 2 \times (AB + AD) = 2 \times (6 \text{ см} + 4 \text{ см}) = 2 \times 10 \text{ см} = 20 \text{ см}.$

Ответ: 20 см.

4) Начертите грань CDLK в натуральную величину.

Грань $CDLK$ (задняя грань $DCLK$) является прямоугольником. Её стороны — это рёбра $CD$ и $DL$. Длина ребра $CD$ равна длине параллельного ему ребра $AB$, то есть 6 см. Длина ребра $DL$ равна длине параллельного ему ребра $AM$, то есть 2 см. Таким образом, грань $CDLK$ — это прямоугольник со сторонами 6 см и 2 см.

Ответ: Чертёж прямоугольника со сторонами 6 см и 2 см и вершинами D, C, K, L представлен выше.

5) Три грани прямоугольного параллелепипеда, имеющие общую вершину M, хотят окрасить в красный цвет, а остальные — в синий. Какие грани будут красными; синими? Назовите общую вершину всех синих граней.

Три грани, имеющие общую вершину $M$, определяются тремя рёбрами, выходящими из этой вершины: $MA$, $ML$ и $MN$. Этими гранями являются: передняя грань $ABNM$, левая боковая грань $ADLM$ и нижняя грань $MNKL$. По условию, они будут окрашены в красный цвет.

Остальные три грани будут синими. Это грани, противоположные красным:

- задняя грань $DCLK$ (противоположна $ABNM$),
- правая боковая грань $BCKN$ (противоположна $ADLM$),
- верхняя грань $ABCD$ (противоположна $MNKL$).

Общая вершина всех синих граней — это та вершина, которая принадлежит всем трём синим граням одновременно. Этой вершиной является $C$, так как она входит в состав каждой из граней: $D\underline{C}LK$, $B\underline{C}KN$ и $AB\underline{C}D$. Эта вершина также является противоположной вершине $M$ по диагонали параллелепипеда.

Ответ: Красные грани: $ABNM$, $ADLM$, $MNKL$. Синие грани: $DCLK$, $BCKN$, $ABCD$. Общая вершина всех синих граней — $C$.