Номер 732, страница 205 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

Глава 11. Многогранники. 45. Параллелепипед и пирамида - номер 732, страница 205.

Условие.

732 1) У пирамиды 1883 вершины. Сколько вершин в основании пирамиды?

2) У пирамиды 1800 рёбер. Какая это пирамида?

3) У пирамиды 28 граней. Сколько у неё вершин?

4) Существует ли пирамида, у которой 1999 рёбер?

5) Сумма числа рёбер и вершин пирамиды равна 25. Какая это пирамида?

Решение 2.

1)

Пусть в основании пирамиды лежит n-угольник, тогда число вершин в основании равно $n$. Общее число вершин пирамиды, обозначим его $V$, состоит из вершин основания и одной вершины (апекса) пирамиды.
Таким образом, формула для общего числа вершин: $V = n + 1$.
По условию задачи, общее число вершин $V = 1883$. Подставим это значение в нашу формулу, чтобы найти $n$:
$1883 = n + 1$
$n = 1883 - 1$
$n = 1882$
Следовательно, в основании пирамиды 1882 вершины.

Ответ: 1882.

2)

Пусть в основании пирамиды лежит n-угольник. У этого основания есть $n$ рёбер. Также от каждой из $n$ вершин основания к вершине пирамиды идёт по одному боковому ребру, то есть боковых рёбер тоже $n$.
Общее число рёбер пирамиды, обозначим его $E$, равно сумме рёбер основания и боковых рёбер: $E = n + n = 2n$.
По условию, $E = 1800$. Подставим это значение в формулу:
$1800 = 2n$
$n = 1800 / 2$
$n = 900$
Это означает, что в основании пирамиды лежит многоугольник с 900 сторонами (900-угольник). Такая пирамида называется 900-угольной.

Ответ: 900-угольная пирамида.

3)

Пусть в основании пирамиды лежит n-угольник. Общее число граней пирамиды, обозначим его $F$, складывается из одной грани основания и $n$ боковых треугольных граней.
Формула для общего числа граней: $F = n + 1$.
По условию, $F = 28$. Подставим это значение в формулу, чтобы найти $n$:
$28 = n + 1$
$n = 28 - 1$
$n = 27$
Мы выяснили, что в основании пирамиды лежит 27-угольник. Теперь найдём общее число вершин $V$. Формула для числа вершин: $V = n + 1$.
Подставим найденное значение $n=27$:
$V = 27 + 1 = 28$
Таким образом, у пирамиды 28 вершин. Интересно отметить, что у любой пирамиды число вершин всегда равно числу граней.

Ответ: 28.

4)

Общее число рёбер пирамиды, в основании которой лежит n-угольник, вычисляется по формуле $E = 2n$.
Из этой формулы видно, что общее число рёбер любой пирамиды всегда является произведением натурального числа $n$ (где $n \ge 3$) на 2. Это означает, что число рёбер пирамиды всегда должно быть чётным.
Число 1999 является нечётным, так как оно не делится на 2 без остатка.
Следовательно, пирамиды с 1999 рёбрами не существует.

Ответ: нет, не существует.

5)

Пусть в основании пирамиды лежит n-угольник. Нам нужно определить $n$.
Запишем формулы для числа вершин ($V$) и числа рёбер ($E$) такой пирамиды:
$V = n + 1$
$E = 2n$
По условию задачи, сумма числа рёбер и вершин равна 25. Запишем это в виде уравнения:
$V + E = 25$
Теперь подставим в это уравнение выражения для $V$ и $E$ через $n$:
$(n + 1) + (2n) = 25$
Решим полученное уравнение:
$3n + 1 = 25$
$3n = 25 - 1$
$3n = 24$
$n = 24 / 3$
$n = 8$
Поскольку $n = 8$, в основании пирамиды лежит восьмиугольник. Такая пирамида называется восьмиугольной.

Ответ: восьмиугольная пирамида.