Страница 205 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

728. Сколько вершин, граней, рёбер:

а) у шестиугольной пирамиды;

б) у десятиугольной пирамиды;

в) у стоугольной пирамиды?

Чтобы определить количество вершин, граней и рёбер у n-угольной пирамиды, можно воспользоваться общими формулами. У n-угольной пирамиды в основании лежит многоугольник с $n$ сторонами (n-угольник).

• Вершины: У основания $n$ вершин, и ещё одна вершина — это вершина самой пирамиды (апекс). Общее количество вершин: $В = n + 1$.
• Грани: Одна грань — это основание пирамиды, и $n$ боковых граней, которые являются треугольниками. Общее количество граней: $Г = n + 1$.
• Рёбра: У основания $n$ рёбер, и ещё $n$ боковых рёбер, соединяющих вершины основания с апексом. Общее количество рёбер: $Р = 2n$.

а) у шестиугольной пирамиды
В основании этой пирамиды лежит шестиугольник, поэтому $n=6$.
Количество вершин: $В = 6 + 1 = 7$.
Количество граней: $Г = 6 + 1 = 7$.
Количество рёбер: $Р = 2 \times 6 = 12$.
Ответ: 7 вершин, 7 граней, 12 рёбер.

б) у десятиугольной пирамиды
В основании этой пирамиды лежит десятиугольник, поэтому $n=10$.
Количество вершин: $В = 10 + 1 = 11$.
Количество граней: $Г = 10 + 1 = 11$.
Количество рёбер: $Р = 2 \times 10 = 20$.
Ответ: 11 вершин, 11 граней, 20 рёбер.

в) у стоугольной пирамиды
В основании этой пирамиды лежит стоугольник, поэтому $n=100$.
Количество вершин: $В = 100 + 1 = 101$.
Количество граней: $Г = 100 + 1 = 101$.
Количество рёбер: $Р = 2 \times 100 = 200$.
Ответ: 101 вершина, 101 грань, 200 рёбер.

729. Какой длины проволоку достаточно взять, чтобы сделать каркасную модель:

а) куба с ребром 10 см;

б) прямоугольного параллелепипеда с измерениями 6 см, 10 см, 14 см?

а) Чтобы сделать каркасную модель куба, нужно знать сумму длин всех его ребер. Куб имеет 12 ребер, и все они одинаковой длины.

Длина одного ребра куба по условию составляет $a = 10$ см.

Общая длина проволоки $L$ будет равна произведению количества ребер на длину одного ребра:

$L = 12 \cdot a$

Подставим в формулу значение длины ребра:

$L = 12 \cdot 10 = 120$ см.

Ответ: для изготовления каркасной модели куба потребуется 120 см проволоки.

б) Каркасная модель прямоугольного параллелепипеда также состоит из 12 ребер. У него есть три группы по 4 равных ребра, длины которых соответствуют трем измерениям: длине, ширине и высоте.

По условию, измерения параллелепипеда равны $a = 6$ см, $b = 10$ см, $c = 14$ см.

Общая длина проволоки $L$ вычисляется как сумма длин всех 12 ребер. Формула для расчета:

$L = 4 \cdot a + 4 \cdot b + 4 \cdot c = 4 \cdot (a + b + c)$

Подставим значения измерений в формулу:

$L = 4 \cdot (6 + 10 + 14)$

Сначала найдем сумму измерений в скобках:

$6 + 10 + 14 = 30$ см.

Теперь умножим полученную сумму на 4:

$L = 4 \cdot 30 = 120$ см.

Ответ: для изготовления каркасной модели прямоугольного параллелепипеда потребуется 120 см проволоки.

730 Нужно изготовить каркасную модель треугольной пирамиды, все рёбра которой равны 7 см. Сколько потребуется проволоки?

Для того чтобы изготовить каркасную модель треугольной пирамиды, нужно знать её общее количество рёбер. Каркас состоит только из рёбер фигуры.

Треугольная пирамида имеет основание в виде треугольника и три боковые грани, которые также являются треугольниками и сходятся в одной вершине.

Подсчитаем количество рёбер:

• В основании пирамиды лежит треугольник, у которого 3 ребра.
• От каждой из трёх вершин основания к вершине пирамиды идёт по одному боковому ребру, что составляет ещё 3 ребра.

Следовательно, общее количество рёбер у треугольной пирамиды равно:

$3 \text{ (рёбра основания)} + 3 \text{ (боковые рёбра)} = 6 \text{ рёбер}$

Согласно условию задачи, длина каждого ребра составляет 7 см. Чтобы найти общую длину проволоки, необходимой для изготовления модели, нужно умножить количество рёбер на длину одного ребра.

Общая длина проволоки = (Количество рёбер) × (Длина одного ребра)

$6 \times 7 \text{ см} = 42 \text{ см}$

Ответ: 42 см.

731. Многогранники на рисунке 11.20 составлены из одинаковых параллелепипедов, один из которых изображён на рисунке 11.20, а. Определите длины выделенных ломаных.

11.20

а

2 м, 5 м, 1 м

б

в

г

Для решения задачи сначала определим размеры одного параллелепипеда из рисунка а:

• длина - $5 \text{ м}$
• ширина - $2 \text{ м}$
• высота - $1 \text{ м}$

Теперь рассчитаем длины выделенных ломаных для каждого многогранника.

б

Многогранник б составлен из двух одинаковых параллелепипедов, поставленных рядом по ширине. Выделенная ломаная линия состоит из трех отрезков. Первый отрезок — это нижнее переднее ребро, и его длина равна сумме ширин двух параллелепипедов: $2 \text{ м} + 2 \text{ м} = 4 \text{ м}$. Второй отрезок — правое переднее вертикальное ребро, его длина равна высоте одного параллелепипеда: $1 \text{ м}$. Третий отрезок — верхнее правое боковое ребро, уходящее вглубь, его длина равна длине параллелепипеда: $5 \text{ м}$.

Суммарная длина ломаной линии составляет: $L_б = 4 \text{ м} + 1 \text{ м} + 5 \text{ м} = 10 \text{ м}$.

Ответ: 10 м.

в

Многогранник в составлен из четырех одинаковых параллелепипедов, которые образуют фигуру шириной в два блока и высотой в два блока. Выделенная ломаная линия состоит из четырех отрезков. Первый отрезок — левое переднее вертикальное ребро нижнего блока, его длина равна высоте: $1 \text{ м}$. Второй отрезок — среднее переднее горизонтальное ребро, его длина равна сумме ширин двух блоков: $2 \text{ м} + 2 \text{ м} = 4 \text{ м}$. Третий отрезок — правое переднее вертикальное ребро верхнего блока, его длина равна высоте: $1 \text{ м}$. Четвертый отрезок — верхнее правое боковое ребро, его длина равна длине параллелепипеда: $5 \text{ м}$.

Суммарная длина ломаной линии составляет: $L_в = 1 \text{ м} + 4 \text{ м} + 1 \text{ м} + 5 \text{ м} = 11 \text{ м}$.

Ответ: 11 м.

г

Многогранник г имеет более сложную структуру. Проследим путь выделенной ломаной линии по ребрам составляющих его параллелепипедов. Ломаная состоит из пяти отрезков. Первый отрезок идет вправо по нижнему переднему ребру, его длина равна ширине одного блока: $2 \text{ м}$. Второй отрезок идет вверх по вертикальному ребру, его длина равна высоте одного блока: $1 \text{ м}$. Третий отрезок идет вправо по горизонтальному ребру на следующем уровне, его длина равна ширине одного блока: $2 \text{ м}$. Четвертый отрезок идет вверх по следующему вертикальному ребру, его длина также равна высоте одного блока: $1 \text{ м}$. Пятый отрезок идет назад по верхнему боковому ребру, его длина равна длине блока: $5 \text{ м}$.

Суммарная длина ломаной линии составляет: $L_г = 2 \text{ м} + 1 \text{ м} + 2 \text{ м} + 1 \text{ м} + 5 \text{ м} = 11 \text{ м}$.

Ответ: 11 м.

732 1) У пирамиды 1883 вершины. Сколько вершин в основании пирамиды?

2) У пирамиды 1800 рёбер. Какая это пирамида?

3) У пирамиды 28 граней. Сколько у неё вершин?

4) Существует ли пирамида, у которой 1999 рёбер?

5) Сумма числа рёбер и вершин пирамиды равна 25. Какая это пирамида?

1)

Пусть в основании пирамиды лежит n-угольник, тогда число вершин в основании равно $n$. Общее число вершин пирамиды, обозначим его $V$, состоит из вершин основания и одной вершины (апекса) пирамиды.
Таким образом, формула для общего числа вершин: $V = n + 1$.
По условию задачи, общее число вершин $V = 1883$. Подставим это значение в нашу формулу, чтобы найти $n$:
$1883 = n + 1$
$n = 1883 - 1$
$n = 1882$
Следовательно, в основании пирамиды 1882 вершины.

Ответ: 1882.

2)

Пусть в основании пирамиды лежит n-угольник. У этого основания есть $n$ рёбер. Также от каждой из $n$ вершин основания к вершине пирамиды идёт по одному боковому ребру, то есть боковых рёбер тоже $n$.
Общее число рёбер пирамиды, обозначим его $E$, равно сумме рёбер основания и боковых рёбер: $E = n + n = 2n$.
По условию, $E = 1800$. Подставим это значение в формулу:
$1800 = 2n$
$n = 1800 / 2$
$n = 900$
Это означает, что в основании пирамиды лежит многоугольник с 900 сторонами (900-угольник). Такая пирамида называется 900-угольной.

Ответ: 900-угольная пирамида.

3)

Пусть в основании пирамиды лежит n-угольник. Общее число граней пирамиды, обозначим его $F$, складывается из одной грани основания и $n$ боковых треугольных граней.
Формула для общего числа граней: $F = n + 1$.
По условию, $F = 28$. Подставим это значение в формулу, чтобы найти $n$:
$28 = n + 1$
$n = 28 - 1$
$n = 27$
Мы выяснили, что в основании пирамиды лежит 27-угольник. Теперь найдём общее число вершин $V$. Формула для числа вершин: $V = n + 1$.
Подставим найденное значение $n=27$:
$V = 27 + 1 = 28$
Таким образом, у пирамиды 28 вершин. Интересно отметить, что у любой пирамиды число вершин всегда равно числу граней.

Ответ: 28.

4)

Общее число рёбер пирамиды, в основании которой лежит n-угольник, вычисляется по формуле $E = 2n$.
Из этой формулы видно, что общее число рёбер любой пирамиды всегда является произведением натурального числа $n$ (где $n \ge 3$) на 2. Это означает, что число рёбер пирамиды всегда должно быть чётным.
Число 1999 является нечётным, так как оно не делится на 2 без остатка.
Следовательно, пирамиды с 1999 рёбрами не существует.

Ответ: нет, не существует.

5)

Пусть в основании пирамиды лежит n-угольник. Нам нужно определить $n$.
Запишем формулы для числа вершин ($V$) и числа рёбер ($E$) такой пирамиды:
$V = n + 1$
$E = 2n$
По условию задачи, сумма числа рёбер и вершин равна 25. Запишем это в виде уравнения:
$V + E = 25$
Теперь подставим в это уравнение выражения для $V$ и $E$ через $n$:
$(n + 1) + (2n) = 25$
Решим полученное уравнение:
$3n + 1 = 25$
$3n = 25 - 1$
$3n = 24$
$n = 24 / 3$
$n = 8$
Поскольку $n = 8$, в основании пирамиды лежит восьмиугольник. Такая пирамида называется восьмиугольной.

Ответ: восьмиугольная пирамида.

733 У прямоугольного параллелепипеда длина равна $5 \text{ см}$, ширина — $3 \text{ см}$, высота — $2 \text{ см}$. Начертите все различные грани этого прямоугольного параллелепипеда в натуральную величину.

Прямоугольный параллелепипед имеет шесть граней, и все они являются прямоугольниками. Противоположные грани попарно равны, поэтому у параллелепипеда есть три пары одинаковых граней. Чтобы выполнить задание, необходимо начертить три различных прямоугольника, которые и являются этими гранями. Ниже представлены чертежи этих граней, выполненные в масштабе для наглядности.

Даны размеры параллелепипеда: длина $a = 5$ см, ширина $b = 3$ см и высота $c = 2$ см.

Три различные грани будут иметь следующие размеры, образованные парами измерений:

1. Грань со сторонами 5 см и 3 см (основания)

Размеры этой грани определяются длиной и шириной: $a \times b$. Это прямоугольник со сторонами $5 \text{ см}$ и $3 \text{ см}$.

2. Грань со сторонами 5 см и 2 см (передняя и задняя грани)

Размеры этой грани определяются длиной и высотой: $a \times c$. Это прямоугольник со сторонами $5 \text{ см}$ и $2 \text{ см}$.

3. Грань со сторонами 3 см и 2 см (боковые грани)

Размеры этой грани определяются шириной и высотой: $b \times c$. Это прямоугольник со сторонами $3 \text{ см}$ и $2 \text{ см}$.

Ответ: Различными гранями данного прямоугольного параллелепипеда являются три прямоугольника с размерами $5 \text{ см} \times 3 \text{ см}$, $5 \text{ см} \times 2 \text{ см}$ и $3 \text{ см} \times 2 \text{ см}$.

734. Найдите измерения прямоугольных параллелепипедов (рис. 11.20, б–в).

б

Высота: $1 M$

в

Измерения не указаны на изображении.

г

Измерения не указаны на изображении.

б
Высота прямоугольного параллелепипеда, согласно рисунку, составляет $1 \text{ м}$. Его боковая грань является квадратом, поэтому глубина (или длина) также равна $1 \text{ м}$. Передняя грань состоит из двух одинаковых квадратов, расположенных рядом, следовательно, ширина равна $1 \text{ м} + 1 \text{ м} = 2 \text{ м}$. Таким образом, измерениями параллелепипеда (длина, ширина, высота) являются $1 \text{ м}$, $2 \text{ м}$ и $1 \text{ м}$.
Ответ: 1 м, 2 м, 1 м.

в
Данный прямоугольный параллелепипед можно представить состоящим из единичных кубов со стороной $1 \text{ м}$ (по аналогии с фигурой б). Его высота и ширина состоят из двух таких кубов, а глубина (длина) — из одного. Таким образом, высота равна $2 \text{ м}$, ширина — $2 \text{ м}$, а глубина (длина) — $1 \text{ м}$. Измерения параллелепипеда: $1 \text{ м}$, $2 \text{ м}$, $2 \text{ м}$.
Ответ: 1 м, 2 м, 2 м.

г
Вероятно, в условии задачи допущена опечатка (указано "б-в", но изображены три фигуры, включая "г"). Фигура г является составным телом. Вопрос задан во множественном числе («прямоугольных параллелепипедов»), поэтому необходимо найти измерения его составных частей. Фигура состоит из трех прямоугольных параллелепипедов, которые можно представить собранными из единичных кубов со стороной $1 \text{ м}$.
Два боковых параллелепипеда идентичны, их измерения: ширина $1 \text{ м}$, высота $2 \text{ м}$, глубина (длина) $2 \text{ м}$.
Центральный нижний параллелепипед имеет измерения: ширина $2 \text{ м}$, высота $1 \text{ м}$, глубина (длина) $2 \text{ м}$.
Ответ: Фигура состоит из двух параллелепипедов с измерениями 1 м, 2 м, 2 м и одного параллелепипеда с измерениями 2 м, 1 м, 2 м.

735 Какие фигуры и в каком количестве надо вырезать из стекла, чтобы сделать аквариум, длина которого равна 40 см, ширина — 20 см, а высота — 30 см?

Аквариум представляет собой прямоугольный параллелепипед, у которого, как правило, отсутствует верхняя грань (крышка). Следовательно, для его изготовления понадобится 5 прямоугольных кусков стекла: одно дно и четыре стенки. Заданные размеры аквариума: длина — 40 см, ширина — 20 см, высота — 30 см.

Рассчитаем размеры и количество необходимых деталей.

Дно

Дно аквариума — это один прямоугольник, размеры которого соответствуют длине и ширине аквариума.
Размеры: $40 \text{ см} \times 20 \text{ см}$.
Количество: 1 штука.

Передняя и задняя стенки

Передняя и задняя стенки — это два одинаковых прямоугольника, размеры которых равны длине и высоте аквариума.
Размеры: $40 \text{ см} \times 30 \text{ см}$.
Количество: 2 штуки.

Боковые стенки

Боковые стенки (левая и правая) — это два одинаковых прямоугольника, размеры которых равны ширине и высоте аквариума.
Размеры: $20 \text{ см} \times 30 \text{ см}$.
Количество: 2 штуки.

Ответ: Чтобы сделать аквариум, необходимо вырезать из стекла 5 прямоугольников:
- 1 прямоугольник размером $40 \text{ см} \times 20 \text{ см}$;
- 2 прямоугольника размером $40 \text{ см} \times 30 \text{ см}$;
- 2 прямоугольника размером $20 \text{ см} \times 30 \text{ см}$.

736 Найдите сумму площадей всех граней:

а) куба с ребром $6 \text{ дм}$;

б) параллелепипеда, длина которого равна $8 \text{ см}$, ширина – $4 \text{ см}$, высота – $3 \text{ см}$.

а)

Сумма площадей всех граней куба — это площадь его полной поверхности. Куб имеет 6 одинаковых граней, каждая из которых является квадратом.
Длина ребра куба $a = 6$ дм.
Площадь одной грани куба вычисляется по формуле площади квадрата: $S_{\text{грани}} = a^2$.
$S_{\text{грани}} = 6^2 = 36 \text{ дм}^2$.
Поскольку у куба 6 равных граней, площадь полной поверхности равна произведению площади одной грани на 6: $S_{\text{полн}} = 6 \cdot S_{\text{грани}}$.
$S_{\text{полн}} = 6 \cdot 36 = 216 \text{ дм}^2$.
Ответ: $216 \text{ дм}^2$.

б)

Сумма площадей всех граней параллелепипеда — это площадь его полной поверхности. Прямоугольный параллелепипед имеет 3 пары равных прямоугольных граней.
Обозначим его измерения: длина $a = 8$ см, ширина $b = 4$ см, и высота $c = 3$ см.
Площадь полной поверхности параллелепипеда вычисляется по формуле: $S_{\text{полн}} = 2(ab + ac + bc)$.
Подставим данные значения в формулу и выполним вычисления:
$S_{\text{полн}} = 2 \cdot (8 \cdot 4 + 8 \cdot 3 + 4 \cdot 3)$
$S_{\text{полн}} = 2 \cdot (32 + 24 + 12)$
$S_{\text{полн}} = 2 \cdot 68$
$S_{\text{полн}} = 136 \text{ см}^2$.
Ответ: $136 \text{ см}^2$.

737 Из кубиков с ребром 2 см сложили параллелепипед (рис. 11.21). Определите его длину, ширину и высоту.

Из скольких кубиков сложен этот параллелепипед?

11.21

Определите его длину, ширину и высоту.

Чтобы определить размеры параллелепипеда, сначала посчитаем, сколько кубиков уложено вдоль каждого его измерения (длины, ширины и высоты) по рисунку 11.21.
- Вдоль длины (самая длинная видимая сторона) уложено 3 кубика.
- Вдоль ширины (сторона, уходящая вглубь) уложено 2 кубика.
- Вдоль высоты уложено 2 кубика.

По условию задачи, ребро каждого маленького кубика равно 2 см. Теперь мы можем вычислить размеры параллелепипеда, умножив количество кубиков на длину ребра одного кубика.
Длина параллелепипеда: $3 \times 2 \text{ см} = 6 \text{ см}$.
Ширина параллелепипеда: $2 \times 2 \text{ см} = 4 \text{ см}$.
Высота параллелепипеда: $2 \times 2 \text{ см} = 4 \text{ см}$.

Ответ: Длина – 6 см, ширина – 4 см, высота – 4 см.

Из скольких кубиков сложен этот параллелепипед?

Чтобы найти общее количество кубиков, из которых состоит параллелепипед, необходимо перемножить количество кубиков, уложенных вдоль его длины, ширины и высоты.

Общее количество кубиков = (кубиков в длину) $\times$ (кубиков в ширину) $\times$ (кубиков в высоту).
Вычисление: $3 \times 2 \times 2 = 12$ кубиков.

Ответ: Параллелепипед сложен из 12 кубиков.

738. В какую коробку войдёт больше кубиков с ребром 1 см: с размерами 4 см, 3 см и 2 см или 2 см, 2 см и 5 см?

Чтобы определить, в какую коробку войдёт больше кубиков с ребром 1 см, необходимо найти и сравнить объёмы этих коробок. Количество кубиков с ребром 1 см, которое может поместиться в коробку, равно её объёму, выраженному в кубических сантиметрах ($см^3$).

Коробка с размерами 4 см, 3 см и 2 см

Объём прямоугольного параллелепипеда (коробки) вычисляется по формуле $V = a \cdot b \cdot c$, где $a, b, c$ – его длина, ширина и высота.

Вычислим объём первой коробки:

$V_1 = 4 \cdot 3 \cdot 2 = 24 \text{ см}^3$.

Следовательно, в эту коробку поместится 24 кубика с ребром 1 см.

Коробка с размерами 2 см, 2 см и 5 см

Вычислим объём второй коробки по той же формуле:

$V_2 = 2 \cdot 2 \cdot 5 = 20 \text{ см}^3$.

Следовательно, в эту коробку поместится 20 кубиков с ребром 1 см.

Теперь сравним полученные объёмы. Так как $24 > 20$, в первую коробку войдёт больше кубиков, чем во вторую.

Ответ: больше кубиков войдёт в коробку с размерами 4 см, 3 см и 2 см.