Страница 211 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

ВОПРОСЫ И ЗАДАНИЯ

Скопируйте на лист бумаги развёртки параллелепипеда и пирамиды, увеличив каждый размер вдвое. Вырежьте их и сверните многогранники.

Возьмите куб, который вы сделали из развёртки, изображённой на рисунке 11.31. Пронумеруйте его грани. Поставьте его на одну из граней. Какие из квадратов развёртки соединились при сворачивании куба? Какой из квадратов развёртки является верхней гранью куба?

11.31

Для ответа на вопросы пронумеруем квадраты на развёртке, изображённой на рисунке 11.31. Пусть верхний отдельный квадрат будет №$1$. Три квадрата в горизонтальном ряду, слева направо, — №$2$, №$3$ и №$4$. Два квадрата, расположенные под центральным квадратом (№$3$), — это №$5$ и №$6$ (сверху вниз).

Схематично это выглядит так:

 [1][2][3][4] [5] [6]

При сворачивании этой развёртки в куб грани расположатся следующим образом (если принять грань №$3$ за переднюю):

• Квадрат $1$ — верхняя грань.
• Квадрат $2$ — левая грань.
• Квадрат $3$ — передняя грань.
• Квадрат $4$ — правая грань.
• Квадрат $5$ — нижняя грань.
• Квадрат $6$ — задняя грань.

Какие из квадратов развёртки соединились при сворачивании куба?

При сворачивании куба каждая грань соединяется (т.е. имеет общее ребро) с четырьмя соседними гранями. Грани, которые не соединяются, называются противоположными. Исходя из нашей схемы, можно определить три пары противоположных граней, которые окажутся друг напротив друга:

• Квадрат $1$ (верхняя) и квадрат $5$ (нижняя).
• Квадрат $2$ (левая) и квадрат $4$ (правая).
• Квадрат $3$ (передняя) и квадрат $6$ (задняя).

Таким образом, любая пара квадратов, не входящая в этот список, соединяется при сворачивании куба. Например, квадрат $1$ соединяется с квадратами $2, 3, 4$ и $6$. Квадрат $3$ соединяется с квадратами $1, 2, 4$ и $5$.

Ответ: При сворачивании куба соединяются все пары квадратов, которые не являются противоположными. Противоположными являются пары ($1$, $5$), ($2$, $4$) и ($3$, $6$).

Какой из квадратов развёртки является верхней гранью куба?

Ответ на этот вопрос зависит от того, на какую из граней поставить собранный куб. Верхней гранью всегда будет та, которая является противоположной для грани, выбранной в качестве основания (нижней грани).

Используя определённые нами пары противоположных граней, можно определить верхнюю грань для любого случая:

• Если поставить куб на грань №$1$, верхней будет грань №$5$.
• Если поставить куб на грань №$2$, верхней будет грань №$4$.
• Если поставить куб на грань №$3$, верхней будет грань №$6$.
• Если поставить куб на грань №$4$, верхней будет грань №$2$.
• Если поставить куб на грань №$5$, верхней будет грань №$1$.
• Если поставить куб на грань №$6$, верхней будет грань №$3$.

Например, если мы поставим куб на грань, соответствующую квадрату №$5$ на развёртке, то верхняя грань будет соответствовать квадрату №$1$.

Ответ: Верхней гранью будет квадрат, противоположный тому, на который поставлен куб. Например, если куб стоит на грани №$5$, то верхней будет грань №$1$.