Страница 213 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

756 На грани куба нанесены цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6. Три положения этого куба изображены на рисунке 11.39. В каждом случае определите, какая цифра находится на нижней грани. Перечертите в тетрадь развёртки этого куба (рис. 11.40) и нанесите на них недостающие цифры.

Определение цифры на нижней грани

Для решения задачи сначала определим, какие цифры находятся на противоположных гранях куба. Проанализируем три положения куба, изображенные на рисунке 11.39.

• На первом кубе видны грани с цифрами 2, 3 и 5. Это значит, что эти грани являются смежными.

• На втором кубе видны грани 1, 2 и 6. Они также являются смежными.

• На третьем кубе видны грани 1, 4 и 5. Они также смежные.

Из анализа смежных граней можно составить пары противоположных граней, которые никогда не видны одновременно:

1. Из первого и второго изображений мы видим, что с гранью 2 смежны грани 1, 3, 5, 6. Всего у куба 6 граней. Следовательно, оставшаяся грань с цифрой 4 является противоположной грани 2.

2. Из первого и третьего изображений мы видим, что с гранью 5 смежны грани 1, 2, 3, 4. Следовательно, оставшаяся грань с цифрой 6 является противоположной грани 5.

3. Оставшиеся две цифры, 1 и 3, образуют последнюю пару противоположных граней.

Таким образом, мы определили три пары противоположных граней: (1, 3), (2, 4) и (5, 6).

Теперь мы можем определить цифру на нижней грани для каждого положения куба, зная, что нижняя грань противоположна верхней:

• Для первого куба: на верхней грани цифра 3. Противоположная ей грань — с цифрой 1. Следовательно, на нижней грани находится цифра 1.

• Для второго куба: на верхней грани цифра 6. Противоположная ей грань — с цифрой 5. Следовательно, на нижней грани находится цифра 5.

• Для третьего куба: на верхней грани цифра 4. Противоположная ей грань — с цифрой 2. Следовательно, на нижней грани находится цифра 2.

Ответ: На нижних гранях кубов находятся цифры 1, 5 и 2 соответственно.

Заполнение недостающих цифр на развёртках

Используя найденные пары противоположных граней (1-3, 2-4, 5-6) и взаимное расположение граней с рисунка 11.39, заполним развёртки.

Первая развёртка (слева)

На развёртке показан вертикальный ряд 1-2-3, что подтверждает, что 1 и 3 — противоположные грани. Пустые клетки находятся слева и справа от грани 2. Они должны быть заполнены оставшейся парой противоположных граней — 5 и 6. Чтобы определить их правильное положение, обратимся ко второму изображению куба. На нём грани 1, 2 и 6 имеют общую вершину. Если мы мысленно сложим развёртку так, чтобы грань 1 была верхней, а 2 — передней, то грань справа от 2 станет правой гранью куба. Согласно второму изображению, это место должна занимать цифра 6. Соответственно, в клетке слева от 2 будет находиться цифра 5.

Заполненная развёртка:

Ответ: В пустой клетке слева от цифры 2 должна быть цифра 5, а в клетке справа — цифра 6.

Вторая развёртка (справа)

Мысленно сложим эту развёртку. Если принять грань 3 за основание (нижнюю грань), то грани расположатся следующим образом, исходя из пар противоположных граней:

• Грань, противоположная нижней (3), будет верхней. Это грань 1. Она займёт пустую клетку справа от грани 5.

• Грань 2 станет задней. Противоположная ей передняя грань — это 4. Она займёт пустую клетку под гранью 3.

• Грань 5 станет правой. Противоположная ей левая грань — это 6. Она займёт последнюю пустую клетку (ту, что под новой гранью 1).

Заполненная развёртка:

Ответ: Пустые клетки следует заполнить так: под цифрой 3 — цифра 4, справа от цифры 5 — цифра 1, в оставшейся клетке — цифра 6.

757 Нарисуйте куб (рис. 11.41, а) в тетради и покажите один из способов, как разрезать его, чтобы получить изображённую на рисунке 11.41, б развёртку.

11.41

Для того чтобы получить развёртку, изображённую на рисунке 11.41, б, необходимо мысленно "развернуть" куб. Сопоставим грани куба $ABCDKONM$ с квадратами на развёртке. Развёртка имеет форму креста. Примем за центральный квадрат креста (тот, что находится в середине горизонтального ряда из трёх квадратов) переднюю грань куба – квадрат $ABOK$.

Тогда остальные грани на развёртке расположатся следующим образом:

• К левой стороне центральной грани $ABOK$ примыкает левая боковая грань $ADMK$. Они остаются соединёнными по ребру-сгибу $AK$.
• К правой стороне грани $ABOK$ примыкает правая боковая грань $BCNO$. Они остаются соединёнными по ребру-сгибу $BO$.
• К верхней стороне грани $ABOK$ примыкает верхняя грань $KONM$. Они остаются соединёнными по ребру-сгибу $KO$.
• К нижней стороне грани $ABOK$ примыкает нижняя грань $ABCD$. Они остаются соединёнными по ребру-сгибу $AB$.
• К нижней стороне грани $ABCD$ (которая теперь расположена под гранью $ABOK$) примыкает задняя грань $DCNM$. Они остаются соединёнными по ребру-сгибу $CD$.

Таким образом, чтобы получить данную развёртку, необходимо оставить целыми (не разрезать) рёбра, которые будут служить линиями сгиба. Это рёбра: $AK$, $BO$, $KO$, $AB$, $CD$. Всего 5 рёбер.

Всего у куба 12 рёбер. Следовательно, разрезать нужно все остальные $12 - 5 = 7$ рёбер. Перечислим рёбра, по которым нужно сделать разрезы:

• На верхней грани $KONM$: разрезаем рёбра $ON$, $NM$ и $MK$.
• На нижней грани $ABCD$: разрезаем рёбра $BC$ и $DA$.
• Из оставшихся вертикальных рёбер разрезаем $CN$ и $DM$.

Выполнив разрезы по этим семи рёбрам, можно развернуть куб в плоскую фигуру, показанную на рисунке 11.41, б.

Ответ: Необходимо разрезать куб по рёбрам $ON$, $NM$, $MK$, $BC$, $DA$, $CN$ и $DM$.

758 11.42

Поверхность куба (рис. 11.42) разрезали по отрезкам $OK$, $ON$, $OM$, $OA$, $OD$, $OC$, $MB$ и развернули. Нарисуйте получившуюся развёртку.

Для решения задачи необходимо представить, как поверхность куба будет выглядеть в развёрнутом виде после того, как по ней сделают указанные разрезы. Разрезы представляют собой отрезки, которые являются либо рёбрами куба, либо линиями на его гранях.

Обозначим вершины куба в соответствии с рисунком:

• Нижняя грань: A, B, C, D (A - левая ближняя, B - правая ближняя, C - правая дальняя, D - левая дальняя).
• Верхняя грань: K, M, N, L (K - над A, M - над B, N - над C, L - над D).
• Точка O - центр верхней грани KMNL.

Перечислим разрезы:

1. OK, ON, OM: это разрезы на верхней грани, идущие из центра O к трём вершинам K, N, M. Ребро OL не разрезано.
2. OA, OD, OC: это разрезы, которые проходят по боковым граням куба. Чтобы отрезок соединял центр верхней грани O с вершинами нижнего основания A, D, C, он должен проходить по поверхности соответствующих боковых граней. Например, разрез OA проходит по передней грани ABMK (или левой ADLK), соединяя точку O (с прилегающей верхней грани) и вершину A.
3. MB: это разрез по вертикальному ребру, соединяющему переднюю и правую грани.

Теперь построим развёртку. Поскольку большинство разрезов исходит из точки O, удобно развернуть куб таким образом, чтобы точка O оказалась в центре, а грани "расходились" от неё. Такой подход позволяет наглядно показать все разрезы.

1. Начнём с верхней грани KMNL, разрезанной из центра O. Так как отрезок OL не разрезан, треугольники ΔOKL и ΔOLN остаются соединёнными по этому отрезку. Треугольники ΔOMK и ΔONM отделены.

2. К сторонам разрезанной верхней грани примыкают боковые грани.

• К разрезанным сторонам OK и OM треугольника ΔOMK примыкает передняя грань ABMK. Разрез OA делит эту грань.
• К разрезанной стороне ON треугольника ΔONM примыкает правая грань BCNM.
• К разрезанным сторонам OK, OL, LN, ON примыкают левая и задняя грани (ADLK и DCLN). Разрезы OD и OC делят эти грани.

3. Разрез по ребру MB означает, что передняя грань (ABMK) и правая грань (BCNM) в развёртке будут разделены по этому ребру.

4. Нижняя грань ABCD остаётся целой и соединяет боковые грани по рёбрам AB, BC, CD, DA.

В результате разворачивания получается фигура, напоминающая звезду. Центральной точкой является точка O. От неё отходят части разрезанных граней.

На рисунке показана получившаяся развёртка. Она состоит из следующих частей:

• В центре - точка О, из которой были сделаны разрезы.
• Четыре "луча" звезды представляют собой комбинации частей верхней грани и боковых граней. Например, луч, идущий влево-вверх, состоит из треугольника ΔOKA (часть передней грани ABMK) и треугольника ΔOKL (часть верхней грани KMNL).
• Внешний контур развёртки образован рёбрами нижней грани (AB, BC, CD, DA) и разрезанными частями боковых граней. Вершины A, B, C, D куба являются вершинами этой развёртки.

Ответ:

Получившаяся развёртка представляет собой восьмиконечную звездообразную фигуру, в центре которой находится точка O. Лучи звезды образованы частями боковых и верхней граней куба, разделённых разрезами. Внешними вершинами фигуры являются вершины нижнего основания куба (A, B, C, D) и вершины верхнего основания (K, M, N, L).

759 Перенесите изображённую на рисунке 11.34 (с. 211) развёртку на лист бумаги, вырежьте развёртку и сверните из неё четырёхугольную пирамиду. Какая фигура является основанием этой пирамиды?

11.34

На изображении представлена развёртка четырёхугольной пирамиды. Развёртка — это плоская фигура, из которой можно сложить объёмное тело. В случае пирамиды развёртка состоит из многоугольника, который служит основанием, и нескольких треугольников, которые образуют боковые грани.

В данной развёртке центральной фигурой, к которой примыкают четыре треугольника, является основание будущей пирамиды. Чтобы определить, что это за фигура, рассмотрим её на клетчатой бумаге.

Фигура в центре — это четырёхугольник. Подсчитаем длину его сторон по клеткам: каждая сторона имеет длину 4 клетки. Следовательно, все стороны этого четырёхугольника равны. Также мы видим, что стороны фигуры параллельны линиям сетки, а значит, все её углы — прямые (по 90°).

Геометрическая фигура, представляющая собой четырёхугольник с равными сторонами и прямыми углами, называется квадратом.

Ответ: Основанием этой пирамиды является квадрат.

760 Являются ли развёртками треугольной пирамиды многоугольники, изображённые на рисунке 11.43, а–в? Скопируйте их на лист бумаги и проверьте.

11.43

Чтобы определить, являются ли данные многоугольники развёртками треугольной пирамиды, проанализируем каждую фигуру, исходя из свойств пирамиды. Треугольная пирамида (также называемая тетраэдром) имеет 4 грани, каждая из которых является треугольником. У неё 4 вершины и 6 рёбер. В каждой вершине сходятся 3 грани.

а

Данный многоугольник состоит из четырёх треугольников. Мы можем выбрать центральный треугольник в качестве основания пирамиды. Три других треугольника, примыкающие к сторонам центрального, будут боковыми гранями. Если мысленно или с помощью бумажной модели согнуть эти три треугольника вверх по линиям сгиба (общим сторонам с основанием), то их вершины сойдутся в одной точке. Эта точка станет вершиной пирамиды. Таким образом, эта фигура является развёрткой треугольной пирамиды.

Ответ: да, является.

б

Этот многоугольник представляет собой полосу из четырёх треугольников. Попробуем сложить из него пирамиду. Выберем любой из центральных треугольников (например, второй слева) за основание. Два соседних с ним треугольника (первый и третий) можно согнуть вверх, чтобы они стали двумя боковыми гранями. Четвёртый треугольник присоединён к третьему. При сгибании он оказывается прикреплённым не к основанию, а к боковому ребру формирующейся пирамиды. При дальнейшей попытке сложить фигуру, этот четвёртый треугольник будет накладываться на одну из уже имеющихся граней, а не формировать недостающую четвёртую грань. Следовательно, из этой фигуры нельзя сложить треугольную пирамиду.

Ответ: нет, не является.

в

В этой фигуре все четыре треугольника имеют одну общую вершину в центре. Вспомним свойство треугольной пирамиды: в каждой её вершине сходятся ровно три грани. В данной же развёртке есть точка, в которой сходятся сразу четыре треугольника. Это означает, что при попытке свернуть фигуру, в вершине, соответствующей этой центральной точке, сошлись бы четыре грани, что невозможно для треугольной пирамиды. Если всё же свернуть эту фигуру, получится четырёхугольная пирамида, основанием которой будет четырёхугольник, образованный внешним контуром развёртки. Таким образом, эта фигура не является развёрткой треугольной пирамиды.

Ответ: нет, не является.

761. Сделайте развёртку параллелепипеда, измерения которого равны 9 см, 6 см, 5 см.

Для построения развёртки прямоугольного параллелепипеда с измерениями 9 см, 6 см и 5 см, необходимо на плоскости изобразить все его шесть граней так, чтобы из полученной фигуры можно было сложить объёмную модель. Гранями параллелепипеда являются прямоугольники, причём противоположные грани равны между собой.

Данный параллелепипед имеет три пары равных прямоугольных граней:две грани (верхнее и нижнее основания) с размерами $9 \text{ см} \times 6 \text{ см}$; две грани (передняя и задняя) с размерами $9 \text{ см} \times 5 \text{ см}$; и две грани (левая и правая боковые) с размерами $6 \text{ см} \times 5 \text{ см}$.

Существует несколько способов начертить развёртку. Рассмотрим один из самых распространённых. Четыре боковые грани располагаются в один ряд, а сверху и снизу к одной из них пририсовываются основания. Порядок действий следующий:
1. Начертите большой прямоугольник, который будет состоять из четырёх боковых граней. Его высота будет равна высоте параллелепипеда, то есть 5 см, а длина — периметру основания: $9 \text{ см} + 6 \text{ см} + 9 \text{ см} + 6 \text{ см} = 30 \text{ см}$.
2. Разделите этот прямоугольник вертикальными линиями на четыре части, соответствующие боковым граням. Их размеры по порядку: $9 \text{ см} \times 5 \text{ см}$ (передняя грань), $6 \text{ см} \times 5 \text{ см}$ (правая грань), $9 \text{ см} \times 5 \text{ см}$ (задняя грань) и $6 \text{ см} \times 5 \text{ см}$ (левая грань).
3. К верхней и нижней сторонам первого прямоугольника (передней грани $9 \text{ см} \times 5 \text{ см}$) причертите два основания — прямоугольники размером $9 \text{ см} \times 6 \text{ см}$.

В результате получится фигура, которая является развёрткой заданного параллелепипеда. Ниже представлена её схема с указанием размеров.

Ответ: Развёртка параллелепипеда с измерениями 9 см, 6 см и 5 см представляет собой плоскую фигуру, состоящую из шести прямоугольников (двух $9 \text{ см} \times 6 \text{ см}$, двух $9 \text{ см} \times 5 \text{ см}$ и двух $6 \text{ см} \times 5 \text{ см}$), соединённых так, как показано на схеме выше. При сгибании по линиям соединения из этой фигуры получается заданный параллелепипед.