Номер 756, страница 213 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

Глава 11. Многогранники. 47. Развёртки - номер 756, страница 213.

Условие.

756 На грани куба нанесены цифры 1, 2, 3, 4, 5, 6. Три положения этого куба изображены на рисунке 11.39. В каждом случае определите, какая цифра находится на нижней грани. Перечертите в тетрадь развёртки этого куба (рис. 11.40) и нанесите на них недостающие цифры.

11.39 11.40

Решение 2.

Определение цифры на нижней грани

Для решения задачи сначала определим, какие цифры находятся на противоположных гранях куба. Проанализируем три положения куба, изображенные на рисунке 11.39.

• На первом кубе видны грани с цифрами 2, 3 и 5. Это значит, что эти грани являются смежными.

• На втором кубе видны грани 1, 2 и 6. Они также являются смежными.

• На третьем кубе видны грани 1, 4 и 5. Они также смежные.

Из анализа смежных граней можно составить пары противоположных граней, которые никогда не видны одновременно:

1. Из первого и второго изображений мы видим, что с гранью 2 смежны грани 1, 3, 5, 6. Всего у куба 6 граней. Следовательно, оставшаяся грань с цифрой 4 является противоположной грани 2.

2. Из первого и третьего изображений мы видим, что с гранью 5 смежны грани 1, 2, 3, 4. Следовательно, оставшаяся грань с цифрой 6 является противоположной грани 5.

3. Оставшиеся две цифры, 1 и 3, образуют последнюю пару противоположных граней.

Таким образом, мы определили три пары противоположных граней: (1, 3), (2, 4) и (5, 6).

Теперь мы можем определить цифру на нижней грани для каждого положения куба, зная, что нижняя грань противоположна верхней:

• Для первого куба: на верхней грани цифра 3. Противоположная ей грань — с цифрой 1. Следовательно, на нижней грани находится цифра 1.

• Для второго куба: на верхней грани цифра 6. Противоположная ей грань — с цифрой 5. Следовательно, на нижней грани находится цифра 5.

• Для третьего куба: на верхней грани цифра 4. Противоположная ей грань — с цифрой 2. Следовательно, на нижней грани находится цифра 2.

Ответ: На нижних гранях кубов находятся цифры 1, 5 и 2 соответственно.

Заполнение недостающих цифр на развёртках

Используя найденные пары противоположных граней (1-3, 2-4, 5-6) и взаимное расположение граней с рисунка 11.39, заполним развёртки.

Первая развёртка (слева)

На развёртке показан вертикальный ряд 1-2-3, что подтверждает, что 1 и 3 — противоположные грани. Пустые клетки находятся слева и справа от грани 2. Они должны быть заполнены оставшейся парой противоположных граней — 5 и 6. Чтобы определить их правильное положение, обратимся ко второму изображению куба. На нём грани 1, 2 и 6 имеют общую вершину. Если мы мысленно сложим развёртку так, чтобы грань 1 была верхней, а 2 — передней, то грань справа от 2 станет правой гранью куба. Согласно второму изображению, это место должна занимать цифра 6. Соответственно, в клетке слева от 2 будет находиться цифра 5.

Заполненная развёртка:

	1
5	2	6
	3

Ответ: В пустой клетке слева от цифры 2 должна быть цифра 5, а в клетке справа — цифра 6.

Вторая развёртка (справа)

Мысленно сложим эту развёртку. Если принять грань 3 за основание (нижнюю грань), то грани расположатся следующим образом, исходя из пар противоположных граней:

• Грань, противоположная нижней (3), будет верхней. Это грань 1. Она займёт пустую клетку справа от грани 5.

• Грань 2 станет задней. Противоположная ей передняя грань — это 4. Она займёт пустую клетку под гранью 3.

• Грань 5 станет правой. Противоположная ей левая грань — это 6. Она займёт последнюю пустую клетку (ту, что под новой гранью 1).

Заполненная развёртка:

2	3	5	1
	4		6

Ответ: Пустые клетки следует заполнить так: под цифрой 3 — цифра 4, справа от цифры 5 — цифра 1, в оставшейся клетке — цифра 6.