Номер 1, страница 214 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

1 Возьмите какую-нибудь модель многогранника и определите число его вершин.

Сколько у этого многогранника рёбер? Измерьте и запишите длину каждого ребра многогранника.

Сколько у данного многогранника граней? Какую форму они имеют?

Поскольку задача предполагает работу с физической моделью многогранника, для её решения мы выберем в качестве примера один из самых известных многогранников — куб (или правильный гексаэдр).

Возьмите какую-нибудь модель многогранника и определите число его вершин.
Вершина многогранника — это точка, в которой сходятся его рёбра. У куба есть верхнее и нижнее основания, каждое из которых является квадратом. На верхнем основании 4 вершины и на нижнем — также 4. Таким образом, общее количество вершин у куба равно $4 + 4 = 8$.
Ответ: у куба 8 вершин.

Сколько у этого многогранника рёбер? Измерьте и запишите длину каждого ребра многогранника.
Ребро многогранника — это отрезок, соединяющий две его вершины и являющийся стороной двух граней. У куба 4 ребра на верхнем основании, 4 ребра на нижнем и 4 боковых ребра, соединяющих эти основания. Всего получается $4 + 4 + 4 = 12$ рёбер.
Для выполнения второй части задания предположим, что мы измерили длину одного ребра, и она составила, например, 5 см. Поскольку куб является правильным многогранником, все его 12 рёбер равны между собой.
Ответ: у куба 12 рёбер, и длина каждого ребра составляет 5 см.

Сколько у данного многогранника граней? Какую форму они имеют?
Грань — это плоский многоугольник, который является частью поверхности многогранника. Куб ограничен шестью гранями: одна верхняя, одна нижняя и четыре боковые. Итого $1 + 1 + 4 = 6$ граней.
У куба все рёбра равны, а углы между рёбрами, лежащими в одной грани, являются прямыми ($90^\circ$). Следовательно, каждая грань куба имеет форму квадрата.
Ответ: у куба 6 граней, и все они имеют форму квадрата.

Для проверки наших подсчётов можно использовать формулу Эйлера для выпуклых многогранников: $В - Р + Г = 2$, где $В$ — число вершин, $Р$ — число рёбер, а $Г$ — число граней. Подставим наши значения для куба: $8 - 12 + 6 = 2$. Равенство верно, что подтверждает правильность наших расчётов.