Номер 758, страница 213 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

758 11.42

Поверхность куба (рис. 11.42) разрезали по отрезкам $OK$, $ON$, $OM$, $OA$, $OD$, $OC$, $MB$ и развернули. Нарисуйте получившуюся развёртку.

Для решения задачи необходимо представить, как поверхность куба будет выглядеть в развёрнутом виде после того, как по ней сделают указанные разрезы. Разрезы представляют собой отрезки, которые являются либо рёбрами куба, либо линиями на его гранях.

Обозначим вершины куба в соответствии с рисунком:

• Нижняя грань: A, B, C, D (A - левая ближняя, B - правая ближняя, C - правая дальняя, D - левая дальняя).
• Верхняя грань: K, M, N, L (K - над A, M - над B, N - над C, L - над D).
• Точка O - центр верхней грани KMNL.

Перечислим разрезы:

1. OK, ON, OM: это разрезы на верхней грани, идущие из центра O к трём вершинам K, N, M. Ребро OL не разрезано.
2. OA, OD, OC: это разрезы, которые проходят по боковым граням куба. Чтобы отрезок соединял центр верхней грани O с вершинами нижнего основания A, D, C, он должен проходить по поверхности соответствующих боковых граней. Например, разрез OA проходит по передней грани ABMK (или левой ADLK), соединяя точку O (с прилегающей верхней грани) и вершину A.
3. MB: это разрез по вертикальному ребру, соединяющему переднюю и правую грани.

Теперь построим развёртку. Поскольку большинство разрезов исходит из точки O, удобно развернуть куб таким образом, чтобы точка O оказалась в центре, а грани "расходились" от неё. Такой подход позволяет наглядно показать все разрезы.

1. Начнём с верхней грани KMNL, разрезанной из центра O. Так как отрезок OL не разрезан, треугольники ΔOKL и ΔOLN остаются соединёнными по этому отрезку. Треугольники ΔOMK и ΔONM отделены.

2. К сторонам разрезанной верхней грани примыкают боковые грани.

• К разрезанным сторонам OK и OM треугольника ΔOMK примыкает передняя грань ABMK. Разрез OA делит эту грань.
• К разрезанной стороне ON треугольника ΔONM примыкает правая грань BCNM.
• К разрезанным сторонам OK, OL, LN, ON примыкают левая и задняя грани (ADLK и DCLN). Разрезы OD и OC делят эти грани.

3. Разрез по ребру MB означает, что передняя грань (ABMK) и правая грань (BCNM) в развёртке будут разделены по этому ребру.

4. Нижняя грань ABCD остаётся целой и соединяет боковые грани по рёбрам AB, BC, CD, DA.

В результате разворачивания получается фигура, напоминающая звезду. Центральной точкой является точка O. От неё отходят части разрезанных граней.

На рисунке показана получившаяся развёртка. Она состоит из следующих частей:

• В центре - точка О, из которой были сделаны разрезы.
• Четыре "луча" звезды представляют собой комбинации частей верхней грани и боковых граней. Например, луч, идущий влево-вверх, состоит из треугольника ΔOKA (часть передней грани ABMK) и треугольника ΔOKL (часть верхней грани KMNL).
• Внешний контур развёртки образован рёбрами нижней грани (AB, BC, CD, DA) и разрезанными частями боковых граней. Вершины A, B, C, D куба являются вершинами этой развёртки.

Ответ:

Получившаяся развёртка представляет собой восьмиконечную звездообразную фигуру, в центре которой находится точка O. Лучи звезды образованы частями боковых и верхней граней куба, разделённых разрезами. Внешними вершинами фигуры являются вершины нижнего основания куба (A, B, C, D) и вершины верхнего основания (K, M, N, L).