Страница 214 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

1 Возьмите какую-нибудь модель многогранника и определите число его вершин.

Сколько у этого многогранника рёбер? Измерьте и запишите длину каждого ребра многогранника.

Сколько у данного многогранника граней? Какую форму они имеют?

Поскольку задача предполагает работу с физической моделью многогранника, для её решения мы выберем в качестве примера один из самых известных многогранников — куб (или правильный гексаэдр).

Возьмите какую-нибудь модель многогранника и определите число его вершин.
Вершина многогранника — это точка, в которой сходятся его рёбра. У куба есть верхнее и нижнее основания, каждое из которых является квадратом. На верхнем основании 4 вершины и на нижнем — также 4. Таким образом, общее количество вершин у куба равно $4 + 4 = 8$.
Ответ: у куба 8 вершин.

Сколько у этого многогранника рёбер? Измерьте и запишите длину каждого ребра многогранника.
Ребро многогранника — это отрезок, соединяющий две его вершины и являющийся стороной двух граней. У куба 4 ребра на верхнем основании, 4 ребра на нижнем и 4 боковых ребра, соединяющих эти основания. Всего получается $4 + 4 + 4 = 12$ рёбер.
Для выполнения второй части задания предположим, что мы измерили длину одного ребра, и она составила, например, 5 см. Поскольку куб является правильным многогранником, все его 12 рёбер равны между собой.
Ответ: у куба 12 рёбер, и длина каждого ребра составляет 5 см.

Сколько у данного многогранника граней? Какую форму они имеют?
Грань — это плоский многоугольник, который является частью поверхности многогранника. Куб ограничен шестью гранями: одна верхняя, одна нижняя и четыре боковые. Итого $1 + 1 + 4 = 6$ граней.
У куба все рёбра равны, а углы между рёбрами, лежащими в одной грани, являются прямыми ($90^\circ$). Следовательно, каждая грань куба имеет форму квадрата.
Ответ: у куба 6 граней, и все они имеют форму квадрата.

Для проверки наших подсчётов можно использовать формулу Эйлера для выпуклых многогранников: $В - Р + Г = 2$, где $В$ — число вершин, $Р$ — число рёбер, а $Г$ — число граней. Подставим наши значения для куба: $8 - 12 + 6 = 2$. Равенство верно, что подтверждает правильность наших расчётов.

2 Выпишите все видимые грани параллелепипеда.

Видимые грани:

- Передняя грань: $CDLN$

- Верхняя грань: $BCNM$

- Левая грань: $ADCB$

Известны длины рёбер: $AB = 2$ см $5$ мм, $AD = 2$ см, $AK = 4$ см. Запишите длины рёбер $CD, DL, KL$. Начертите грань $BMNC$ в натуральную величину.

Длины рёбер:

$CD = AB = 2$ см $5$ мм

$DL = AK = 4$ см

$KL = AD = 2$ см

Грань $BMNC$ является прямоугольником со сторонами $BC = AD = 2$ см и $CN = DL = 4$ см.

Выпишите все видимые грани параллелепипеда.

На изображении параллелепипеда видны три грани: та, что сверху, та, что спереди, и та, что справа. Каждая грань определяется четырьмя вершинами.

• Верхняя грань: $BCNM$
• Передняя грань: $ABCD$
• Правая боковая грань: $DCNL$

Ответ: $BCNM, ABCD, DCNL$.

Запишите длины рёбер CD, DL, KL.

В параллелепипеде противолежащие рёбра равны по длине и параллельны. Используя это свойство и данные из условия ($AB = 2 \text{ см } 5 \text{ мм}$, $AD = 2 \text{ см}$, $AK = 4 \text{ см}$), мы можем найти длины указанных рёбер.

• Ребро $CD$ является противолежащим ребру $AB$, поэтому их длины равны: $CD = AB = 2 \text{ см } 5 \text{ мм}$.
• Ребро $DL$ является противолежащим ребру $AK$, поэтому их длины равны: $DL = AK = 4 \text{ см}$.
• Ребро $KL$ является противолежащим ребру $AD$, поэтому их длины равны: $KL = AD = 2 \text{ см}$.

Ответ: $CD = 2 \text{ см } 5 \text{ мм}$, $DL = 4 \text{ см}$, $KL = 2 \text{ см}$.

Начертите грань BMNC в натуральную величину.

Грань $BMNC$ (или $BCNM$) — это верхняя грань параллелепипеда. Предполагая, что это прямоугольный параллелепипед (что является стандартом для таких задач и подразумевается изображением на клетчатой бумаге), эта грань будет являться прямоугольником.

Длины сторон этого прямоугольника равны длинам соответствующих рёбер параллелепипеда:

• Сторона $BC$ параллельна и равна ребру $AD$. Таким образом, $BC = AD = 2 \text{ см}$.
• Сторона $CN$ (или $BM$) параллельна и равна ребру $AK$. Таким образом, $CN = AK = 4 \text{ см}$.

Следовательно, для того чтобы начертить грань $BMNC$ в натуральную величину, необходимо построить прямоугольник со сторонами $2$ см и $4$ см. Вершины следует обозначить в соответствии с их расположением на параллелепипеде.

Ниже приведено изображение этой грани, начерченной в натуральную величину:

Ответ: Необходимо начертить прямоугольник со сторонами 2 см и 4 см.

3 Измерения параллелепипеда равны 3 см, 4 см и 5 см. Найдите площадь наибольшей грани параллелепипеда.

По условию, измерения параллелепипеда равны 3 см, 4 см и 5 см. Обозначим их как $a=3$ см, $b=4$ см и $c=5$ см.

Грани параллелепипеда представляют собой прямоугольники, стороны которых образованы парами этих измерений. Всего существует три уникальные пары граней с разными площадями. Найдем площадь для каждой из них:

Площадь первой грани: $S_1 = a \times b = 3 \text{ см} \times 4 \text{ см} = 12 \text{ см}^2$.

Площадь второй грани: $S_2 = a \times c = 3 \text{ см} \times 5 \text{ см} = 15 \text{ см}^2$.

Площадь третьей грани: $S_3 = b \times c = 4 \text{ см} \times 5 \text{ см} = 20 \text{ см}^2$.

Чтобы найти площадь наибольшей грани, необходимо сравнить полученные значения площадей: $12 \text{ см}^2$, $15 \text{ см}^2$ и $20 \text{ см}^2$. Очевидно, что наибольшее значение равно $20 \text{ см}^2$. Эта площадь соответствует грани, образованной двумя самыми длинными ребрами параллелепипеда.

Ответ: $20 \text{ см}^2$.

4 На рисунке изображена пирамида.

Назовите её основание и боковые грани. Как называется пирамида?

Основание:

$ABCD$

Боковые грани:

$MAB$

$MBC$

$MCD$

$MDA$

Название пирамиды:

Четырёхугольная пирамида (или пирамида $MABCD$)

Назовите её основание и боковые грани

Пирамида — это многогранник, у которого одна грань (называемая основанием) — произвольный многоугольник, а остальные грани (называемые боковыми гранями) — треугольники, имеющие общую вершину.

В пирамиде, изображенной на рисунке, основанием является четырехугольник, обозначенный буквами ABCD. Этот многоугольник лежит в нижней плоскости фигуры.

Боковыми гранями являются треугольники, которые соединяют вершину пирамиды M со сторонами основания (AB, BC, CD и DA). У данной пирамиды четыре боковые грани:

• треугольник MAB (или $\triangle MAB$)
• треугольник MBC (или $\triangle MBC$)
• треугольник MCD (или $\triangle MCD$)
• треугольник MDA (или $\triangle MDA$)

Ответ: основание пирамиды — четырехугольник ABCD, боковые грани — $\triangle MAB$, $\triangle MBC$, $\triangle MCD$, $\triangle MDA$.

Как называется пирамида?

Название пирамиды определяется по виду многоугольника, который лежит в её основании. Так как в основании данной пирамиды лежит четырехугольник, то она называется четырехугольной пирамидой.

Ответ: четырехугольная пирамида.

5 Найдите объём:

а) параллелепипеда с измерениями 2 см, 6 см, 11 см;

б) куба с ребром 7 дм.

а) Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению трёх его измерений: длины, ширины и высоты. Для его нахождения используется формула $V = a \cdot b \cdot c$.
В данном случае измерения параллелепипеда равны 2 см, 6 см и 11 см.
Подставим эти значения в формулу:
$V = 2 \cdot 6 \cdot 11 = 12 \cdot 11 = 132 \text{ см}^3$.
Ответ: 132 см³.

б) Куб — это частный случай прямоугольного параллелепипеда, у которого все рёбра равны. Его объём вычисляется по формуле $V = a^3$, где $a$ — длина ребра куба.
По условию, длина ребра куба составляет 7 дм.
Подставим это значение в формулу:
$V = 7^3 = 7 \cdot 7 \cdot 7 = 49 \cdot 7 = 343 \text{ дм}^3$.
Ответ: 343 дм³.