Страница 209 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

745 Бруски, из которых сложены параллелепипеды (рис. 11.28), одинаковы и имеют измерения $8$ см, $4$ см, $2$ см. Вычислите объёмы параллелепипедов.

Указание. Сделайте это двумя способами:

а) сложив объёмы соответствующих брусков;

б) перемножив измерения параллелепипедов.

Для решения задачи сначала вычислим объем одного бруска. По условию его измерения равны 8 см, 4 см и 2 см. Объем прямоугольного параллелепипеда ($V$) вычисляется как произведение его длины ($a$), ширины ($b$) и высоты ($c$) по формуле $V = a \cdot b \cdot c$.

Объем одного бруска: $V_{\text{бруска}} = 8 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} \cdot 2 \text{ см} = 64 \text{ см}^3$.

Параллелепипед слева (желтый)

Данный параллелепипед состоит из двух одинаковых брусков.

а) сложив объёмы соответствующих брусков;

Общий объем равен сумме объемов двух брусков, из которых он состоит:

$V_{\text{желтый}} = V_{\text{бруска}} + V_{\text{бруска}} = 64 \text{ см}^3 + 64 \text{ см}^3 = 128 \text{ см}^3$.

б) перемножив измерения параллелепипедов.

Чтобы найти объем этим способом, сначала определим измерения большого желтого параллелепипеда. Он составлен из двух брусков, установленных друг на друга. Судя по рисунку, они соприкасаются гранями, у которых стороны равны 8 см и 2 см. Таким образом, длина и ширина большого параллелепипеда остаются прежними (8 см и 2 см), а его высота становится равной сумме высот двух брусков: $4 \text{ см} + 4 \text{ см} = 8 \text{ см}$.

Измерения желтого параллелепипеда: 8 см, 8 см, 2 см.

Теперь вычислим его объем:

$V_{\text{желтый}} = 8 \text{ см} \cdot 8 \text{ см} \cdot 2 \text{ см} = 128 \text{ см}^3$.

Ответ: объем желтого параллелепипеда равен 128 см³.

Параллелепипед справа (зеленый)

Данный параллелепипед состоит из трех одинаковых брусков.

а) сложив объёмы соответствующих брусков;

Общий объем равен сумме объемов трех брусков:

$V_{\text{зеленый}} = 3 \cdot V_{\text{бруска}} = 3 \cdot 64 \text{ см}^3 = 192 \text{ см}^3$.

б) перемножив измерения параллелепипедов.

Определим измерения большого зеленого параллелепипеда. Он сложен из трех брусков, приставленных друг к другу сбоку. Из рисунка видно, что длина и высота большого параллелепипеда соответствуют длине и высоте одного бруска (8 см и 4 см), а его ширина равна сумме ширин трех брусков: $2 \text{ см} + 2 \text{ см} + 2 \text{ см} = 6 \text{ см}$.

Измерения зеленого параллелепипеда: 8 см, 6 см, 4 см.

Вычислим его объем, перемножив полученные измерения:

$V_{\text{зеленый}} = 8 \text{ см} \cdot 6 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 192 \text{ см}^3$.

Ответ: объем зеленого параллелепипеда равен 192 см³.

746 Найдите объёмы тел, изображённых на рисунке 11.29.

Рисунок 1: Полое прямоугольное тело

Внешние размеры: длина $20 \text{ см}$, ширина $12 \text{ см}$, высота $2 \text{ см}$.

Размеры внутреннего проема: длина $8 \text{ см}$, ширина $12 \text{ см}$.

Общая формула объема прямоугольного параллелепипеда: $V = \text{длина} \cdot \text{ширина} \cdot \text{высота}$

Рисунок 2: Ступенчатое тело

Общая высота тела: $21 \text{ см}$.

Размеры нижней ступени: длина $20 \text{ см}$, ширина $18 \text{ см}$, высота $12 \text{ см}$.

Размеры верхней ступени: ширина $8 \text{ см}$.

Общая формула объема прямоугольного параллелепипеда: $V = \text{длина} \cdot \text{ширина} \cdot \text{высота}$

Рисунок 3: Г-образное тело

Общая длина основания: $6 \text{ дм}$.

Общая высота левой части: $5 \text{ дм}$.

Глубина: $7 \text{ дм}$.

Высота нижней части: $2 \text{ дм}$.

Длина верхней части: $3 \text{ дм}$.

Высота правой части: $4 \text{ дм}$.

Общая формула объема прямоугольного параллелепипеда: $V = \text{длина} \cdot \text{ширина} \cdot \text{высота}$

11.29

Первая фигура (фиолетовая рамка)

Объём данной фигуры можно найти как разность объёмов двух прямоугольных параллелепипедов: внешнего (большого) и внутреннего (пустоты).

1. Найдём объём внешнего параллелепипеда ($V_1$). Его измерения: длина $a_1 = 20$ см, ширина $b_1 = 12$ см, высота $h = 2$ см.
$V_1 = a_1 \cdot b_1 \cdot h = 20 \cdot 12 \cdot 2 = 480$ см³.

2. Найдём объём внутреннего параллелепипеда ($V_2$). Его измерения: ширина $b_2 = 8$ см, высота $h = 2$ см. Длина $a_2$ указана на чертеже неоднозначно, но наиболее вероятная трактовка — это размер внутреннего выреза по длинной стороне, равный 12 см.
$V_2 = a_2 \cdot b_2 \cdot h = 12 \cdot 8 \cdot 2 = 192$ см³.

3. Вычислим объём фигуры ($V$) как разность объёмов:
$V = V_1 - V_2 = 480 - 192 = 288$ см³.

Ответ: 288 см³.

Вторая фигура (синие ступени)

Данное тело можно представить как сумму объёмов двух прямоугольных параллелепипедов: нижнего и верхнего.

Примечание: На чертеже имеются противоречивые данные о высоте: высота нижнего блока 12 см, верхнего — 8 см, а общая — 21 см. При этом $12 + 8 = 20 \neq 21$. Также не указана длина верхней ступени. В таких случаях принято считать верными размеры составных частей. Будем считать, что общая высота равна $12 + 8 = 20$ см, а длина ступеней одинакова и равна $20 / 2 = 10$ см.

1. Найдём объём нижнего параллелепипеда ($V_{нижн}$). Его измерения: длина $a_1 = 20$ см, ширина $b_1 = 18$ см, высота $h_1 = 12$ см.
$V_{нижн} = a_1 \cdot b_1 \cdot h_1 = 20 \cdot 18 \cdot 12 = 4320$ см³.

2. Найдём объём верхнего параллелепипеда ($V_{верхн}$). Его измерения: длина $a_2 = 10$ см, ширина $b_2 = 18$ см, высота $h_2 = 8$ см.
$V_{верхн} = a_2 \cdot b_2 \cdot h_2 = 10 \cdot 18 \cdot 8 = 1440$ см³.

3. Общий объём фигуры ($V$) равен сумме объёмов её частей:
$V = V_{нижн} + V_{верхн} = 4320 + 1440 = 5760$ см³.

Ответ: 5760 см³.

Третья фигура (коричневая, Г-образная в сечении)

Объём этой фигуры можно вычислить, найдя объём большого прямоугольного параллелепипеда, из которого как бы "вырезали" меньший параллелепипед.

1. Найдём объём большого параллелепипеда ($V_{больш}$), который вмещал бы в себя всю фигуру. Его измерения: длина $a_1 = 6$ дм, ширина $b_1 = 7$ дм, высота $h_1 = 5$ дм.
$V_{больш} = a_1 \cdot b_1 \cdot h_1 = 6 \cdot 7 \cdot 5 = 210$ дм³.

2. Найдём объём вырезанной части ($V_{вырез}$). Её измерения можно найти по чертежу:

• Длина: $a_2 = 6 - 3 = 3$ дм.
• Ширина: $b_2 = 4$ дм (указана на верхней грани).
• Высота: $h_2 = 5 - 2 = 3$ дм.

$V_{вырез} = a_2 \cdot b_2 \cdot h_2 = 3 \cdot 4 \cdot 3 = 36$ дм³.

3. Вычислим объём фигуры ($V$) как разность объёмов:
$V = V_{больш} - V_{вырез} = 210 - 36 = 174$ дм³.

Ответ: 174 дм³.

747 Бруски размером 2 дм, 4 дм, 8 дм сложили штабелем (рис. 11.30). Каковы размеры штабеля? Сколько в нём брусков? Каков его объём?

ЕДИНИЦЫ ОБЪЁМА

11.30

Каковы размеры штабеля?

Для определения размеров штабеля (его длины, ширины и высоты) внимательно изучим рисунок и используем данные размеры одного бруска (2 дм, 4 дм, 8 дм).

1. Высота. Штабель состоит из 5 горизонтальных слоёв брусков. Бруски уложены плашмя, поэтому высота каждого слоя равна наименьшему размеру бруска — 2 дм. Общая высота штабеля равна произведению высоты одного слоя на количество слоёв:

$5 \times 2 \text{ дм} = 10 \text{ дм}$

2. Длина. Рассмотрим лицевую (переднюю) сторону штабеля. Её длина определяется укладкой брусков в каждом слое.

• В нечётных слоях (1-й, 3-й, 5-й) длина складывается из длины одного бруска (8 дм) и ширины другого (4 дм): $8 \text{ дм} + 4 \text{ дм} = 12 \text{ дм}$.
• В чётных слоях (2-й, 4-й) длина складывается из ширины трёх брусков: $4 \text{ дм} + 4 \text{ дм} + 4 \text{ дм} = 12 \text{ дм}$.

Таким образом, длина штабеля постоянна и равна 12 дм.

3. Ширина. Рассмотрим боковую сторону штабеля.

• В нечётных слоях ширина складывается из ширины двух брусков: $4 \text{ дм} + 4 \text{ дм} = 8 \text{ дм}$.
• В чётных слоях ширина равна длине одного уложенного бруска: 8 дм.

Таким образом, ширина штабеля также постоянна и равна 8 дм.

Итак, размеры штабеля — 12 дм, 8 дм и 10 дм.

Ответ: размеры штабеля — 12 дм × 8 дм × 10 дм.

Сколько в нём брусков?

Чтобы найти общее количество брусков, мы можем вычислить, сколько брусков в одном слое, и умножить это число на количество слоёв.

Сначала найдём объём одного бруска:

$V_{бруска} = 2 \text{ дм} \times 4 \text{ дм} \times 8 \text{ дм} = 64 \text{ дм}^3$

Теперь найдём объём одного слоя штабеля, используя его размеры (длина 12 дм, ширина 8 дм, высота 2 дм):

$V_{слоя} = 12 \text{ дм} \times 8 \text{ дм} \times 2 \text{ дм} = 192 \text{ дм}^3$

Разделим объём слоя на объём одного бруска, чтобы найти количество брусков в одном слое:

$N_{слой} = \frac{V_{слоя}}{V_{бруска}} = \frac{192}{64} = 3 \text{ бруска}$

Поскольку в штабеле 5 слоёв, общее количество брусков равно:

$N_{всего} = 3 \text{ бруска в слое} \times 5 \text{ слоёв} = 15 \text{ брусков}$

Ответ: в штабеле 15 брусков.

Каков его объём?

Объём всего штабеля можно вычислить двумя способами, которые должны дать одинаковый результат.

Способ 1: Используя общие размеры штабеля.

Объём равен произведению его длины, ширины и высоты:

$V_{штабеля} = 12 \text{ дм} \times 8 \text{ дм} \times 10 \text{ дм} = 960 \text{ дм}^3$

Способ 2: Используя объём одного бруска и их общее количество.

Объём одного бруска равен $64 \text{ дм}^3$, а общее количество брусков — 15. Умножим эти значения:

$V_{штабеля} = 15 \times 64 \text{ дм}^3 = 960 \text{ дм}^3$

Ответ: объём штабеля равен 960 дм³.

748. В каких единицах вы будете измерять:

а) длину своего прыжка;

б) площадь квартиры;

в) вместимость ведра;

г) периметр школьного участка;

д) объём комнаты;

е) вместимость стакана;

ж) высоту дома?

а) длину своего прыжка
Длина прыжка — это расстояние, которое измеряется в единицах длины. Для измерения длины прыжка человека наиболее подходящими единицами будут метры (м) и сантиметры (см), так как прыжок обычно составляет от одного до нескольких метров. Использование метров позволяет получить целое или дробное число, удобное для восприятия, а сантиметры дают большую точность.
Ответ: в метрах (м) или сантиметрах (см).

б) площадь квартиры
Площадь — это величина, характеризующая размер поверхности. Площадь квартиры принято измерять в квадратных метрах ($м^2$). Эта единица является стандартом в строительстве и при операциях с недвижимостью.
Ответ: в квадратных метрах ($м^2$).

в) вместимость ведра
Вместимость или объём — это пространство, занимаемое телом или веществом. Вместимость ёмкостей для жидкостей, таких как ведро, традиционно измеряют в литрах (л). Стандартное ведро имеет вместимость около 10 литров.
Ответ: в литрах (л).

г) периметр школьного участка
Периметр — это общая длина границы плоской фигуры. Школьный участок имеет значительные размеры, поэтому его периметр будет большой длины. Для таких измерений наиболее удобной единицей является метр (м).
Ответ: в метрах (м).

д) объём комнаты
Объём комнаты — это пространство, которое она занимает. Он вычисляется как произведение длины, ширины и высоты. Так как эти размеры измеряются в метрах, объём выражается в кубических метрах ($м^3$).
Ответ: в кубических метрах ($м^3$).

е) вместимость стакана
Вместимость стакана — это небольшой объём жидкости, который он может содержать. Для таких малых объёмов используются миллилитры (мл) или кубические сантиметры ($см^3$), причём $1 \text{ мл} = 1 \text{ см}^3$.
Ответ: в миллилитрах (мл).

ж) высоту дома
Высота дома — это линейный размер, измеряемый вертикально. Для измерения высоты зданий, как правило, используют метры (м), так как это позволяет удобно выразить высоту как одноэтажного, так и многоэтажного дома.
Ответ: в метрах (м).

749 а) Сколько литров воды вмещает аквариум длиной 95 см, шириной 32 см и высотой 50 см?

б) Есть два аквариума: первый — длиной 40 см, шириной 30 см, высотой 50 см, второй — длиной 50 см, шириной 30 см, высотой 40 см. Их заполнили водой так, что уровень воды в каждом ниже верхнего края на 10 см. В каком аквариуме больше воды?

а) Чтобы найти, сколько литров воды вмещает аквариум, нужно сначала вычислить его объем в кубических сантиметрах. Аквариум имеет форму прямоугольного параллелепипеда, его объем $V$ вычисляется по формуле:

$V = a \cdot b \cdot c$

где $a$ – длина, $b$ – ширина, $c$ – высота.

Подставим данные из условия задачи:

$a = 95$ см

$b = 32$ см

$c = 50$ см

Вычислим объем:

$V = 95 \cdot 32 \cdot 50 = 3040 \cdot 50 = 152000$ см³.

Теперь переведем объем из кубических сантиметров в литры. Известно, что 1 литр равен 1000 кубических сантиметров:

$1$ л $= 1000$ см³.

Чтобы найти объем в литрах, разделим объем в см³ на 1000:

$152000 \text{ см}³ : 1000 = 152$ л.

Ответ: 152 литра.

б) Сначала найдем объем воды в каждом аквариуме. Уровень воды в каждом аквариуме на 10 см ниже верхнего края, поэтому для вычисления объема воды нужно использовать высоту столба воды, а не высоту всего аквариума.

Для первого аквариума:

Длина $a_1 = 40$ см, ширина $b_1 = 30$ см, высота аквариума $c_1 = 50$ см.

Высота воды в первом аквариуме:

$h_1 = c_1 - 10 \text{ см} = 50 \text{ см} - 10 \text{ см} = 40$ см.

Объем воды в первом аквариуме $V_1$:

$V_1 = a_1 \cdot b_1 \cdot h_1 = 40 \cdot 30 \cdot 40 = 48000$ см³.

Для второго аквариума:

Длина $a_2 = 50$ см, ширина $b_2 = 30$ см, высота аквариума $c_2 = 40$ см.

Высота воды во втором аквариуме:

$h_2 = c_2 - 10 \text{ см} = 40 \text{ см} - 10 \text{ см} = 30$ см.

Объем воды во втором аквариуме $V_2$:

$V_2 = a_2 \cdot b_2 \cdot h_2 = 50 \cdot 30 \cdot 30 = 45000$ см³.

Теперь сравним объемы воды в двух аквариумах:

$48000 \text{ см}³ > 45000 \text{ см}³$, следовательно, $V_1 > V_2$.

В первом аквариуме воды больше, чем во втором.

Ответ: в первом аквариуме воды больше.

750 За сутки человек совершает вдох и выдох примерно 23 000 раз. За один вдох в лёгкие поступает 500 $\text{см}^3$ воздуха. Какой объём воздуха (в л) проходит через лёгкие человека за сутки?

Чтобы найти, какой объём воздуха проходит через лёгкие человека за сутки, нужно умножить количество вдохов в сутки на объём воздуха, поступающего в лёгкие за один вдох. Затем необходимо перевести полученный результат из кубических сантиметров (см³) в литры (л).

1. Вычислим общий объём воздуха в кубических сантиметрах.
Известно, что человек совершает 23 000 вдохов в сутки, и за один вдох в лёгкие поступает 500 см³ воздуха.
Общий объём ($V_{см³}$) равен:
$V_{см³} = 23000 \times 500 = 11500000 \text{ см³}$

2. Переведём полученный объём в литры.
В одном литре содержится 1000 кубических сантиметров:
$1 \text{ л} = 1000 \text{ см³}$
Чтобы перевести кубические сантиметры в литры, разделим полученный объём на 1000:
$V_{л} = \frac{11500000 \text{ см³}}{1000 \text{ см³/л}} = 11500 \text{ л}$

Таким образом, за сутки через лёгкие человека проходит 11 500 литров воздуха.
Ответ: 11 500 л.

751 Куб с ребром 1 м разрезали на кубики с ребром 1 см и выстроили в один ряд. Какой длины получился ряд?

Для решения этой задачи необходимо сначала вычислить, сколько маленьких кубиков получилось из большого, а затем найти общую длину ряда, который они образуют.

1. Вычисление количества маленьких кубиков
Для начала нужно привести размеры ребер кубов к одной единице измерения. Длина ребра большого куба составляет 1 м, а маленького — 1 см. Переведем метры в сантиметры, зная, что в одном метре 100 сантиметров:
$1 \text{ м} = 100 \text{ см}$
Теперь мы можем определить, сколько маленьких кубиков помещается вдоль одного ребра большого куба. Для этого разделим длину ребра большого куба на длину ребра маленького:
$\frac{100 \text{ см}}{1 \text{ см}} = 100$ кубиков.
Так как большой куб имеет три измерения (длину, ширину и высоту), общее количество маленьких кубиков ($N$) равно произведению количества кубиков по каждому измерению:
$N = 100 \times 100 \times 100 = 100^3 = 1\;000\;000$ кубиков.

2. Определение длины получившегося ряда
Все $1\;000\;000$ маленьких кубиков с ребром 1 см были выстроены в один ряд. Длина этого ряда ($L$) равна произведению количества кубиков на длину ребра одного кубика:
$L = 1\;000\;000 \times 1 \text{ см} = 1\;000\;000 \text{ см}$.
Для лучшего понимания масштаба переведем эту длину в более крупные единицы — метры и километры.
Перевод в метры (в 1 м = 100 см):
$L = \frac{1\;000\;000 \text{ см}}{100} = 10\;000 \text{ м}$.
Перевод в километры (в 1 км = 1000 м):
$L = \frac{10\;000 \text{ м}}{1000} = 10 \text{ км}$.
Следовательно, длина получившегося ряда составляет 10 километров.

Ответ: 10 км.