Страница 212 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

752 Какие точки совместятся с точкой A при склеивании куба из развёртки, изображённой на рисунке 11.35?

11.35

Чтобы определить, какие точки на развёртке совместятся с точкой A при склеивании куба, проследим процесс мысленной сборки. Для удобства примем квадрат CTOF за переднюю грань куба. В этом случае остальные квадраты развёртки станут следующими гранями:

• BCTA — верхняя грань;
• CDEF — левая грань;
• THOP — правая грань;
• FOLN — нижняя грань;
• NLKM — задняя грань.

Теперь рассмотрим, как будут совмещаться вершины. Точка A принадлежит верхней грани BCTA. При сборке куба в одной вершине сходятся три грани. Найдём, какие грани и какими своими вершинами сойдутся в одной точке с вершиной A.

Вершина, где окажется точка A, будет образована схождением верхней, правой и задней граней. Начнем с верхней и правой граней. Верхняя грань BCTA и правая грань THOP примыкают к передней грани CTOF и имеют общую вершину T. Когда мы согнём развёртку, ребро TA верхней грани и ребро TH правой грани соединятся. Это означает, что их конечные точки, A и H, совместятся.

Теперь добавим заднюю грань NLKM. Эта грань примыкает к нижней грани FOLN по ребру LN. При сборке правое ребро задней грани (ML) должно склеиться с задним ребром правой грани (HP). Чтобы это произошло, их концы должны совпасть. Точка L совпадает с точкой P (так как ребро OL нижней грани склеивается с ребром OP правой грани). Следовательно, и другие концы рёбер ML и HP, то есть точки M и H, также должны совпасть.

Таким образом, мы установили, что точка A совмещается с точкой H, а точка H совмещается с точкой M. Следовательно, все три точки (A, H, M) сойдутся в одной вершине куба.

Ответ: С точкой А совместятся точки H и M.

753 Почему фигуры, изображённые на рисунке 11.36, не могут быть развёрт- ками куба?

а

б

в

г

11.36

Развёртка куба — это плоская фигура из шести квадратов, которую можно сложить в куб. Фигура должна состоять ровно из $6$ квадратов, и при её сгибании по линиям сетки грани не должны накладываться друг на друга, и не должно оставаться пустых мест.

а Если мысленно попробовать сложить куб из этой фигуры, то две её грани неизбежно наложатся друг на друга. Например, если принять центральный квадрат за основание куба, а прилегающие к нему три квадрата — за боковые стенки (переднюю, левую и правую), то при попытке закрыть куб верхняя грань и ещё одна боковая грань (задняя) будут образованы из двух квадратов, расположенных "ступенькой" сверху. Эти два квадрата при сгибании наложатся друг на друга.
Ответ: При складывании две грани наложатся друг на друга.

б Эта фигура представляет собой полосу из шести квадратов, расположенных в один ряд. Если начать сгибать эту полосу, чтобы сформировать боковые стенки куба, то получится "труба" из четырех квадратов, а два оставшихся квадрата окажутся лишними. Они наложатся на первую и вторую грани. При этом у получившейся фигуры не будет ни верхней, ни нижней граней (оснований). Сформировать замкнутый куб из такой развёртки невозможно.
Ответ: Фигура не позволяет сформировать верхнее и нижнее основания куба.

в В правильной развёртке куба грани, которые в итоге окажутся противоположными, должны быть расположены на определённом расстоянии друг от друга. Если рассмотреть длинную полосу из четырех квадратов, то в ней первая и третья грани будут противоположными, а вторая и четвертая — тоже. Следовательно, оставшиеся два квадрата (обозначим их 5 и 6) должны образовывать третью пару противоположных граней (например, верх и низ). Однако в данной фигуре они присоединены к соседним квадратам (к первому и второму). При складывании грани, которые должны быть противоположными (5 и 6), окажутся смежными. Это приведёт к тому, что одну из граней куба нечем будет закрыть, в то время как с другой стороны две грани наложатся друг на друга.
Ответ: Две грани, которые должны быть противоположными, при складывании оказываются смежными.

г Для построения куба необходимо ровно шесть граней-квадратов. Данная фигура состоит из семи квадратов (три в верхнем ряду и четыре в нижнем). Следовательно, она не может быть развёрткой куба, так как содержит лишнюю грань.
Ответ: Фигура состоит из $7$ квадратов, в то время как у куба всего $6$ граней.

754 Мысленно сверните куб из развёрток (рис. 11.37, а-г) и определите, какая грань является верхней, если закрашенная грань нижняя.

11.37

A

Б В

Г

Д

A

Б В

Г Д

A Б

В

Г

Д

A Б

В Г

Д

Для определения верхней грани куба, если закрашенная грань является нижней, необходимо найти грань, противоположную закрашенной. Противоположные грани в развёртке куба разделены одной гранью.

а

В данной развёртке, выполненной в форме креста, центральная (закрашенная) грань является основанием. Грани А, Б, В и Г примыкают к ней и становятся боковыми сторонами. Грань Д примыкает к грани Г. При сворачивании куба грань Д окажется напротив закрашенной грани. Используя правило, что в прямом ряду из трёх и более граней грани, разделённые одной гранью, являются противоположными, мы видим, что закрашенная грань отделена от грани Д гранью Г. Следовательно, закрашенная грань и грань Д — противоположные.

Ответ: Д

б

Мысленно свернём куб, приняв грань Б за переднюю. Тогда грань А, расположенная сверху от Б, станет верхней гранью. Грань В, расположенная справа от Б, станет правой боковой гранью. Закрашенная грань, расположенная снизу от Б, станет нижней гранью. Грань Г, примыкающая снизу к закрашенной (нижней) грани, станет задней стенкой. Наконец, грань Д, примыкающая справа к задней грани Г, станет левой боковой гранью. Таким образом, у нас формируется куб со следующими парами противоположных граней: (А, закрашенная), (Б, Г), (В, Д). Если закрашенная грань является нижней, то противоположная ей грань А будет верхней.

Ответ: А

в

В этой развёртке есть длинный вертикальный ряд из четырёх граней: Б, В, Г, Д. В таком ряду грани, расположенные через одну, являются противоположными. Таким образом, грань Б противоположна грани Г, а грань В противоположна грани Д. Оставшиеся две грани (А и закрашенная) также должны быть противоположными друг другу. Следовательно, если закрашенная грань является нижней, то грань А будет верхней.

Ответ: А

г

Изображение этой развёртки неоднозначно, так как грани А, Б, В, Г образуют замкнутый цикл, что невозможно для развёртки куба. Однако, если предположить, что это искажённое изображение одной из стандартных развёрток, наиболее похожей является S-образная форма, где грани соединены следующим образом: А-Б, Б-Г, Г-В, В-Д, Д-закрашенная. Мысленно свернём эту развёртку. Пусть грань В будет передней. Тогда грань Г (слева от В) будет левой, грань Д (снизу от В) — нижней. Закрашенная грань (снизу от Д) станет задней. Грань Б (сверху от Г) станет верхней. Грань А (слева от Б) станет правой. В этом случае пары противоположных граней: (В, А), (Г, закрашенная), (Д, Б). Если закрашенная грань нижняя, то её противоположность — грань Г — будет верхней.

Ответ: Г

755 Все кубики, из которых сложен многогранник (рис. 11.38), одинаковы. Перечертите в тетрадь развёртку кубика и нанесите на неё недостающие буквы.

Для решения задачи необходимо определить расположение букв на гранях одного кубика. Так как все кубики одинаковы, мы можем использовать информацию со всех видимых граней для восстановления полной картины.

1. Определение пар противоположных граней.

• Из вида двух верхних кубиков следует, что грань «В» является смежной с гранями «А», «Б», «Г» и «Д». На кубе у одной грани есть только четыре смежные грани. Это означает, что эти четыре буквы находятся на боковых гранях, когда «В» находится сверху.
• Следовательно, шестая грань, с буквой «Е», должна быть противоположной грани «В». Первая пара противоположных граней: (В, Е).
• Оставшиеся четыре грани — А, Б, Г, Д — также должны образовывать две пары противоположных. Чтобы определить их, сравним два верхних кубика. Оба имеют грань «В» сверху, значит, правый кубик получен поворотом левого вокруг вертикальной оси.
  • Левый верхний кубик: сверху «В», спереди «Б», слева «А».
  • Правый верхний кубик: сверху «В», спереди «Д», слева «Г».
• Анализ возможных поворотов показывает, что такое сочетание возможно только в одном случае: грань «А» противоположна грани «Г», а грань «Б» противоположна грани «Д».
• Таким образом, мы установили все три пары противоположных граней: (В, Е), (А, Г), (Б, Д).

2. Заполнение развёртки.

• В центре развёртки дана грань «Д». Примем её за переднюю грань куба.
• Грань, противоположная «Д», — это «Б». В данной развёртке она будет самой нижней.
• Теперь воспользуемся видом правого верхнего кубика: если «Д» — передняя грань, то «В» — верхняя, а «Г» — левая. Размещаем их на соответствующих местах развёртки.
• Грань справа от «Д» должна быть противоположна левой грани («Г»). Противоположная «Г» — это «А».
• Грань снизу от «Д» должна быть противоположна верхней грани («В»). Противоположная «В» — это «Е».

В результате развёртка кубика будет выглядеть следующим образом:

Ответ:

На развёртке недостающие буквы располагаются следующим образом: над буквой Д находится буква В, под ней — буква Е. Слева от Д находится буква Г, справа — А. На самой нижней грани находится буква Б.