Страница 208 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

739. Чему равны объёмы тел, сложенных из одинаковых кубиков (рис. 11.25, а–г), если объём одного кубика равен 1 кубической единице (1 куб. ед.)? Есть ли среди них тела с равными объёмами?

11.25

а) Объем тела равен $4$ куб. ед.

б) Объем тела равен $7$ куб. ед.

в) Объем тела равен $6$ куб. ед.

г) Объем тела равен $8$ куб. ед.

Среди данных тел нет тел с равными объёмами.

Для определения объёма каждого тела необходимо подсчитать количество одинаковых кубиков, из которых оно состоит. По условию, объём одного такого кубика равен 1 кубической единице (1 куб. ед.). Следовательно, объём всего тела будет равен общему числу кубиков.

а
Тело представляет собой куб со стороной в 2 малых кубика. Чтобы найти общее количество кубиков, необходимо перемножить его длину, ширину и высоту:
$V_а = 2 \times 2 \times 2 = 8$ (кубиков).
Объём тела равен 8 кубическим единицам.
Ответ: 8 куб. ед.

б
Данное тело можно представить как конструкцию из нескольких слоев. Нижний и средний слои состоят из $2 \times 2 = 4$ кубиков каждый, а на верхнем слое расположен еще 1 кубик. Общее количество кубиков:
$V_б = (2 \times 2) + (2 \times 2) + 1 = 4 + 4 + 1 = 9$ (кубиков).
Объём тела равен 9 кубическим единицам.
Ответ: 9 куб. ед.

в
Тело состоит из двух одинаковых слоев, в каждом из которых кубики образуют фигуру, похожую на букву "Г". В одном слое содержится $3 \times 2 - 1 = 5$ кубиков. Так как слоев два, общее количество кубиков равно:
$V_в = 5 \times 2 = 10$ (кубиков).
Объём тела равен 10 кубическим единицам.
Ответ: 10 куб. ед.

г
Тело является прямоугольным параллелепипедом с размерами 2, 2 и 3 кубика. Общее количество кубиков находится перемножением этих размеров:
$V_г = 2 \times 2 \times 3 = 12$ (кубиков).
Объём тела равен 12 кубическим единицам.
Ответ: 12 куб. ед.

Есть ли среди них тела с равными объёмами?
Мы вычислили объёмы всех тел: $V_а = 8$ куб. ед., $V_б = 9$ куб. ед., $V_в = 10$ куб. ед., $V_г = 12$ куб. ед. Сравнивая эти значения, мы видим, что все они различны.
Ответ: нет, среди этих тел нет тел с равными объёмами.

740 1) Коробку заполняют кубиками с ребром, равным единице длины (рис. 11.26). Сколько кубиков войдёт в коробку? Каков её объём?

2) Кубики с ребром 1 дм укладывают в коробку, имеющую размеры 4 дм, 2 дм, 3 дм. Сколько кубиков войдёт в коробку? Каков объём коробки?

1)

Чтобы определить, сколько кубиков войдет в коробку и каков её объём, сначала найдем размеры коробки по рисунку. Ребро каждого кубика является единицей длины.

Определим размеры коробки (прямоугольного параллелепипеда) в этих единицах, посчитав, сколько кубиков помещается вдоль каждого измерения: длина — 3 единицы, ширина — 2 единицы, высота — 3 единицы.

Общее количество кубиков, которое может поместиться в коробку, равно её объёму. Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется как произведение его длины, ширины и высоты: $V = \text{длина} \times \text{ширина} \times \text{высота}$.

Подставим размеры коробки, чтобы найти количество кубиков: $\text{Количество кубиков} = 3 \times 2 \times 3 = 18$.

Объём коробки также равен произведению её измерений, а так как ребро кубика — это единица длины, то объём измеряется в кубических единицах: $V_{\text{коробки}} = 3 \times 2 \times 3 = 18$ кубических единиц.

Ответ: В коробку войдет 18 кубиков. Объём коробки — 18 кубических единиц.

2)

В этой задаче даны размеры коробки (4 дм, 2 дм, 3 дм) и размер ребра кубиков (1 дм), которыми её заполняют.

Сначала вычислим объём коробки. Объём прямоугольного параллелепипеда равен произведению его длины, ширины и высоты: $V_{\text{коробки}} = 4 \text{ дм} \times 2 \text{ дм} \times 3 \text{ дм} = 24 \text{ дм}^3$.

Объём одного кубика с ребром 1 дм равен $V_{\text{кубика}} = (1 \text{ дм})^3 = 1 \text{ дм}^3$. Чтобы найти, сколько кубиков войдет в коробку, нужно разделить объём коробки на объём одного кубика, или просто перемножить, сколько кубиков помещается вдоль каждого измерения ($4 \times 2 \times 3$): $\text{Количество кубиков} = \frac{V_{\text{коробки}}}{V_{\text{кубика}}} = \frac{24 \text{ дм}^3}{1 \text{ дм}^3} = 24$.

Ответ: В коробку войдет 24 кубика. Объём коробки — $24 \text{ дм}^3$.

741 1) Из кубиков с ребром 2 см сложили параллелепипед (рис. 11.27). Определите его измерения и объём.

2) Из 12 кубиков с ребром 5 см можно сложить 4 разных прямоугольных параллелепипеда. Каковы их измерения? Чему равен объём?

1)

Из рисунка видно, что параллелепипед состоит из кубиков, уложенных в 4 ряда по длине, 3 ряда по ширине и 2 ряда по высоте.

Ребро каждого кубика равно 2 см. Чтобы найти измерения (длину, ширину и высоту) параллелепипеда, умножим количество кубиков по каждому направлению на длину ребра одного кубика:

• Длина: $a = 4 \cdot 2 = 8 \text{ см}$
• Ширина: $b = 3 \cdot 2 = 6 \text{ см}$
• Высота: $c = 2 \cdot 2 = 4 \text{ см}$

Объём параллелепипеда $V$ равен произведению его измерений:

$V = a \cdot b \cdot c = 8 \text{ см} \cdot 6 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 192 \text{ см}^3$

Ответ: измерения параллелепипеда — 8 см, 6 см и 4 см; объём — $192 \text{ см}^3$.

2)

Объём любого параллелепипеда, сложенного из 12 одинаковых кубиков, будет одинаков. Сначала найдём объём одного кубика с ребром 5 см:

$V_{куб} = (5 \text{ см})^3 = 125 \text{ см}^3$

Так как параллелепипеды состоят из 12 таких кубиков, их общий объём $V$ равен:

$V = 12 \cdot V_{куб} = 12 \cdot 125 = 1500 \text{ см}^3$

Чтобы найти возможные измерения параллелепипедов, нужно найти все способы разложить число 12 на три натуральных множителя. Эти множители будут соответствовать количеству кубиков вдоль каждого измерения (длина, ширина, высота). Существует 4 таких разложения:

• $12 = 12 \cdot 1 \cdot 1$
• $12 = 6 \cdot 2 \cdot 1$
• $12 = 4 \cdot 3 \cdot 1$
• $12 = 3 \cdot 2 \cdot 2$

Теперь вычислим соответствующие измерения в сантиметрах, умножив количество кубиков в каждом разложении на длину ребра (5 см):

1. Измерения: $12 \cdot 5 = 60$ см, $1 \cdot 5 = 5$ см, $1 \cdot 5 = 5$ см
2. Измерения: $6 \cdot 5 = 30$ см, $2 \cdot 5 = 10$ см, $1 \cdot 5 = 5$ см
3. Измерения: $4 \cdot 5 = 20$ см, $3 \cdot 5 = 15$ см, $1 \cdot 5 = 5$ см
4. Измерения: $3 \cdot 5 = 15$ см, $2 \cdot 5 = 10$ см, $2 \cdot 5 = 10$ см

Ответ: объём каждого параллелепипеда равен $1500 \text{ см}^3$. Их возможные измерения: 60 см, 5 см, 5 см; 30 см, 10 см, 5 см; 20 см, 15 см, 5 см; 15 см, 10 см, 10 см.

742 а) Проведите измерения (в $мм$) и определите объём спичечного коробка.

б) Возьмите две коробочки и сравните их объёмы (в $мм^3$).

а)

Это практическое задание, которое предполагает измерение реального спичечного коробка. Так как у нас нет возможности провести физические измерения, мы воспользуемся стандартными размерами типичного спичечного коробка.

Допустим, после измерения линейкой мы получили следующие размеры:

• Длина ($a$) = 50 мм
• Ширина ($b$) = 37 мм
• Высота ($c$) = 15 мм

Спичечный коробок имеет форму прямоугольного параллелепипеда. Объём ($V$) такой фигуры вычисляется по формуле:

$V = a \cdot b \cdot c$

Подставим наши значения в формулу:

$V = 50 \text{ мм} \cdot 37 \text{ мм} \cdot 15 \text{ мм} = 1850 \text{ мм}^2 \cdot 15 \text{ мм} = 27750 \text{ мм}^3$

Ответ: Объём спичечного коробка составляет $27750 \text{ мм}^3$.

б)

Для выполнения этого пункта возьмём два гипотетических коробка. Размеры коробков, даже произведенных по одному стандарту, могут незначительно отличаться.

Первый коробок — тот, объём которого мы вычислили в пункте а).

• Размеры первого коробка: $a_1 = 50$ мм, $b_1 = 37$ мм, $c_1 = 15$ мм.
• Объём первого коробка: $V_1 = 27750 \text{ мм}^3$.

Возьмём второй коробок, который может быть от другого производителя. Допустим, его размеры после измерения оказались следующими:

• Размеры второго коробка: $a_2 = 51$ мм, $b_2 = 36$ мм, $c_2 = 14$ мм.

Вычислим объём второго коробка ($V_2$):

$V_2 = a_2 \cdot b_2 \cdot c_2 = 51 \text{ мм} \cdot 36 \text{ мм} \cdot 14 \text{ мм} = 1836 \text{ мм}^2 \cdot 14 \text{ мм} = 25704 \text{ мм}^3$

Теперь сравним объёмы двух коробков:

$V_1 = 27750 \text{ мм}^3$

$V_2 = 25704 \text{ мм}^3$

Сравнивая значения, мы видим, что $27750 > 25704$, следовательно, $V_1 > V_2$.

Найдём разницу объёмов:

$V_1 - V_2 = 27750 \text{ мм}^3 - 25704 \text{ мм}^3 = 2046 \text{ мм}^3$

Объём первого коробка больше объёма второго на $2046 \text{ мм}^3$.

Ответ: Объём первого коробка ($27750 \text{ мм}^3$) больше объёма второго коробка ($25704 \text{ мм}^3$) на $2046 \text{ мм}^3$.

743 Найдите объём параллелепипеда, измерения которого равны:

а) 1 м, 3 м, 2 м;

б) 9 см, 7 см, 10 см;

в) 5 мм, 6 мм, 11 см 8 мм;

г) 1 м, 1 м 5 дм, 4 дм.

Объём прямоугольного параллелепипеда вычисляется по формуле: $V = a \cdot b \cdot c$, где $a$, $b$ и $c$ — его измерения (длина, ширина и высота).

а)

Даны измерения: 1 м, 3 м, 2 м.
Все измерения даны в одной единице (метрах), поэтому можем сразу вычислить объём.
$V = 1 \cdot 3 \cdot 2 = 6$ м³.
Ответ: 6 м³.

б)

Даны измерения: 9 см, 7 см, 10 см.
Все измерения даны в сантиметрах.
$V = 9 \cdot 7 \cdot 10 = 63 \cdot 10 = 630$ см³.
Ответ: 630 см³.

в)

Даны измерения: 5 мм, 6 мм, 11 см 8 мм.
Для вычисления объёма необходимо привести все измерения к одной единице. Переведём всё в миллиметры (мм).
Вспомним, что $1$ см $= 10$ мм.
Первое измерение: $a = 5$ мм.
Второе измерение: $b = 6$ мм.
Третье измерение: $c = 11$ см 8 мм $= 11 \cdot 10$ мм $+ 8$ мм $= 110$ мм $+ 8$ мм $= 118$ мм.
Теперь вычислим объём:
$V = a \cdot b \cdot c = 5 \cdot 6 \cdot 118 = 30 \cdot 118 = 3540$ мм³.
Ответ: 3540 мм³.

г)

Даны измерения: 1 м, 1 м 5 дм, 4 дм.
Приведём все измерения к одной единице. Переведём всё в дециметры (дм).
Вспомним, что $1$ м $= 10$ дм.
Первое измерение: $a = 1$ м $= 10$ дм.
Второе измерение: $b = 1$ м 5 дм $= 10$ дм $+ 5$ дм $= 15$ дм.
Третье измерение: $c = 4$ дм.
Теперь вычислим объём:
$V = a \cdot b \cdot c = 10 \cdot 15 \cdot 4 = 150 \cdot 4 = 600$ дм³.
Ответ: 600 дм³.

744 Длина параллелепипеда равна 3 см, ширина — 2 см, высота — 4 см. Каков объём параллелепипеда? У каких из его граней наибольшая площадь и чему она равна?

Каков объём параллелепипеда?

Объём прямоугольного параллелепипеда ($V$) вычисляется как произведение его длины ($a$), ширины ($b$) и высоты ($c$).

Дано:
Длина $a = 3$ см
Ширина $b = 2$ см
Высота $c = 4$ см

Формула для вычисления объёма: $V = a \cdot b \cdot c$.

Подставляем значения и вычисляем:

$V = 3 \text{ см} \cdot 2 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 24 \text{ см}^3$

Ответ: объём параллелепипеда равен $24 \text{ см}^3$.

У каких из его граней наибольшая площадь и чему она равна?

Прямоугольный параллелепипед имеет шесть граней, которые являются тремя парами равных прямоугольников. Чтобы найти грань с наибольшей площадью, необходимо вычислить площади для каждой уникальной пары сторон.

1. Площадь граней, образованных длиной и шириной (основания):

$S_1 = a \cdot b = 3 \text{ см} \cdot 2 \text{ см} = 6 \text{ см}^2$

2. Площадь граней, образованных длиной и высотой (передняя и задняя):

$S_2 = a \cdot c = 3 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 12 \text{ см}^2$

3. Площадь граней, образованных шириной и высотой (боковые):

$S_3 = b \cdot c = 2 \text{ см} \cdot 4 \text{ см} = 8 \text{ см}^2$

Сравниваем полученные площади: $6 \text{ см}^2$, $8 \text{ см}^2$ и $12 \text{ см}^2$.

Наибольшая площадь равна $12 \text{ см}^2$. Эта площадь соответствует граням, стороны которых равны длине и высоте параллелепипеда.

Ответ: наибольшую площадь ($12 \text{ см}^2$) имеют грани со сторонами 3 см и 4 см.