Страница 201 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

718 Назовите видимые и невидимые грани многогранника (рис. 11.9). Сколько у него граней? Какова их форма? Сколько граней имеет общую вершину $A$? Какие из этих граней видимые?

Для ответа на вопросы проанализируем изображение многогранника. Видимые ребра на нем показаны сплошными линиями, а невидимые — пунктирными. Грань считается видимой, если все ее ребра видимы. Если хотя бы одно ребро грани невидимо, то и вся грань считается невидимой.

Многогранник имеет 7 вершин (A, B, C, D, E, K, M) и 6 граней.

Исходя из типа линий, которыми нарисованы ребра, определим видимые и невидимые грани:

• Видимые грани (образованы только сплошными линиями):
  • EADM (четырехугольник)
  • MDC (треугольник)
  • EKM (треугольник)
• Невидимые грани (содержат пунктирные линии):
  • ABCD (четырехугольник, содержит невидимые ребра AB и BC)
  • EKBA (четырехугольник, содержит невидимые ребра AB и KB)
  • KBCM (четырехугольник, содержит невидимые ребра BC и KB)

Ответ: Видимые грани: EADM, MDC, EKM. Невидимые грани: ABCD, EKBA, KBCM.

Общее количество граней многогранника равно сумме видимых и невидимых граней.

Всего у многогранника $3$ видимые + $3$ невидимые = $6$ граней.

Форма граней:

• Две грани являются треугольниками: EKM и MDC.
• Четыре грани являются четырехугольниками: EADM, ABCD, EKBA и KBCM.

Ответ: У многогранника 6 граней: два треугольника и четыре четырехугольника.

Вершина А — это точка, в которой сходятся три грани. Найдем эти грани, перечислив те, что содержат точку А в своем названии:

1. EADM
2. EKBA
3. ABCD

Таким образом, 3 грани имеют общую вершину А.

Теперь определим, какие из них видимые:

• Грань EADM является видимой, так как все ее ребра (EA, AD, DM, ME) — сплошные линии.
• Грани EKBA и ABCD являются невидимыми, так как они содержат невидимые ребра (AB, KB, BC).

Ответ: Три грани имеют общую вершину А. Из них видимой является только одна: EADM.

719 Взяли три одинаковых проволочных квадрата и спаяли их в вершинах так, что получилась каркасная модель многогранника, изображённая на рисунке 11.10. Найдите исходные квадраты на рисунке и назовите их. Возьмите три таких проволочных квадрата и попробуйте сложить из них многогранник, изображённый на рисунке.

11.10

Изображённая каркасная модель многогранника является правильным октаэдром. У правильного октаэдра все 12 рёбер имеют одинаковую длину. Обозначим эту длину как $a$. Три исходных квадрата можно найти, выделив на рисунке замкнутые четырёхугольники, состоящие из рёбер октаэдра.

Исходными квадратами являются три взаимно перпендикулярных сечения октаэдра:

1. Квадрат `ABCD`. Он образован рёбрами `AB`, `BC`, `CD` и `DA`. Так как все эти рёбра имеют длину $a$, фигура `ABCD` является ромбом. В геометрии правильного октаэдра такое сечение, проходящее через 4 вершины, является квадратом.

2. Квадрат `EAKC`. Он образован рёбрами `EA`, `AK`, `KC` и `CE`. Все эти рёбра также имеют длину $a$, поэтому `EAKC` — ромб. Его диагоналями являются отрезки `AC` и `EK`. Отрезок `AC` — это диагональ квадрата `ABCD`, и его длина равна $a\sqrt{2}$. Отрезок `EK` соединяет две самые удалённые (противоположные) вершины октаэдра, и его длина также равна $a\sqrt{2}$. Так как диагонали ромба `EAKC` равны, он является квадратом.

3. Квадрат `EBKD`. Он образован рёбрами `EB`, `BK`, `KD` и `DE`. Длины этих рёбер равны $a$, следовательно, `EBKD` — ромб. Его диагонали — `BD` и `EK`. Длина диагонали `BD` квадрата `ABCD` равна $a\sqrt{2}$. Длина диагонали `EK`, как мы уже выяснили, также равна $a\sqrt{2}$. Поскольку диагонали ромба `EBKD` равны, он является квадратом.

Все три квадрата (`ABCD`, `EAKC`, `EBKD`) имеют одинаковую длину стороны $a$, следовательно, они являются идентичными.

Ответ: Исходные квадраты на рисунке — это `ABCD`, `EAKC` и `EBKD`.

Чтобы собрать из трёх проволочных квадратов (`ABCD`, `EAKC`, `EBKD`) каркас октаэдра, их необходимо соединить (спаять) в вершинах. Каждая из шести вершин октаэдра (`A`, `B`, `C`, `D`, `E`, `K`) является точкой соединения вершин двух из трёх квадратов.

• Вершины `A` и `C` являются общими для квадратов `ABCD` и `EAKC`.
• Вершины `B` и `D` являются общими для квадратов `ABCD` и `EBKD`.
• Вершины `E` и `K` являются общими для квадратов `EAKC` и `EBKD`.

При такой сборке три квадрата располагаются в пространстве так, что они взаимно перпендикулярны и пересекаются в общем центре. Рёбра этих трёх квадратов и образуют 12 рёбер октаэдра.

Ответ: Для сборки многогранника нужно соединить вершины трёх одинаковых проволочных квадратов попарно так, чтобы каждая из шести вершин итоговой фигуры стала общей для двух исходных квадратов. В результате квадраты окажутся расположенными в трёх взаимно перпендикулярных плоскостях.

720 РИСУЕМ ПРОСТРАНСТВЕННЫЕ ТЕЛА

Перерисуйте от руки в тетрадь цилиндр (рис. 11.11, а).

Чтобы перерисовать цилиндр от руки в тетрадь, следуйте этим шагам:

Шаг 1. Нарисуйте верхнее основание. Начните с рисования верхнего основания цилиндра, которое в перспективе выглядит как эллипс. Постарайтесь сделать его симметричным. Используя клетки тетради, можно задать ширину эллипса, например, в 4 клетки, а высоту — в 1 клетку, как на рисунке.

Шаг 2. Проведите образующие. Из крайних боковых точек нарисованного эллипса опустите вниз две параллельные вертикальные линии одинаковой длины. Эти линии называются образующими цилиндра и определяют его высоту. На рисунке-примере высота составляет 4 клетки.

Шаг 3. Нарисуйте нижнее основание. Соедините нижние концы образующих вторым эллипсом, который должен быть точной копией верхнего по форме и размеру. Это нижнее основание цилиндра.

Шаг 4. Обозначьте невидимые линии. Для придания рисунку объема необходимо показать невидимые части объекта. Часть дуги нижнего эллипса, которая находится сзади и не видна зрителю, изобразите пунктирной линией. Передняя (видимая) часть нижнего эллипса, а также весь верхний эллипс и образующие должны быть нарисованы сплошной линией.

Ответ: В результате выполнения этих шагов в вашей тетради будет нарисован цилиндр, аналогичный изображенному на рисунке 11.11, а. Рисунок будет представлять собой объемное тело с двумя эллиптическими основаниями и боковой поверхностью, где невидимые контуры обозначены пунктиром.

721 a) Перерисуйте в тетрадь многогранник (рис. 11.11, б). Закрасьте его видимые грани, используя для каждой грани свой цвет.

б) Перерисуйте в тетрадь многогранник, изображённый на рисунке 11.11, в, так, чтобы видимые грани стали невидимыми, а невидимые грани стали видимыми.

а)

Чтобы закрасить видимые грани многогранника, изображенного на рисунке 11.11, б, необходимо определить эти грани. При взгляде спереди и сверху, как показано на рисунке, мы видим четыре основные грани: две верхние наклонные грани и две передние грани, разделенные вертикальной линией. Раскрасим каждую из этих четырех видимых граней в свой цвет.
Ниже представлен перерисованный многогранник с раскрашенными видимыми гранями.

Ответ: Изображение многогранника с раскрашенными гранями представлено выше.

б)

В исходном изображении многогранника (треугольной пирамиды) на рисунке 11.11, в, мы видим его спереди. Сплошными линиями показаны видимые рёбра, а пунктирными — невидимые. Видимыми являются две передние грани, а невидимыми — задняя грань и основание.

Чтобы видимые грани стали невидимыми, а невидимые — видимыми, нужно изменить точку обзора. Например, посмотреть на пирамиду сзади. При таком взгляде рёбра, которые были видимыми (передние), станут невидимыми (и будут изображаться пунктиром), а рёбра, которые были невидимыми (задние и рёбра основания), станут видимыми (и будут изображаться сплошными линиями).

Таким образом, для решения задачи нужно перерисовать пирамиду, поменяв стиль линий на противоположный: сплошные линии сделать пунктирными, а пунктирные — сплошными.

Ответ: Изображение многогранника с измененной видимостью граней представлено выше.

722 ЗАДАЧА-ИССЛЕДОВАНИЕ

Какие многогранники могут получиться при разрезании куба плоскостью? Проведите эксперимент: вылепите кубик из пластилина и, выбирая разные направления, разрезайте его на две части. Нарисуйте куб и покажите для каждого случая, как проходит по кубу линия разреза.

При разрезании куба плоскостью могут получиться различные многогранники. Форма и количество граней у полученных многогранников зависят от того, как именно проходит секущая плоскость и, соответственно, какую форму имеет многоугольник в сечении. Плоскость может пересекать от трех до шести граней куба, поэтому в сечении могут получаться треугольники, четырехугольники, пятиугольники и шестиугольники. Рассмотрим все возможные случаи.

Сечение – треугольник

Такое сечение получается, если секущая плоскость отсекает одну из вершин куба. Плоскость в этом случае пересекает три грани, сходящиеся в этой вершине.

Описание рисунка: Нарисован куб. От одного из его углов (например, правого верхнего ближнего) проведена линия разреза, которая соединяет три точки на трех ребрах, выходящих из этой вершины. Линия разреза на поверхности куба образует треугольник.

В результате такого разрезания куб делится на два многогранника:

• Малая часть — это треугольная пирамида (тетраэдр). У этого многогранника 4 грани, и все они являются треугольниками.
• Большая часть — это семигранник (многогранник с 7 гранями). Его гранями являются: 1 новый треугольник (место среза), 3 исходные грани куба, которые не были затронуты, и 3 бывшие квадратные грани, которые после разрезания стали пятиугольниками.

Ответ: Треугольная пирамида и семигранник.

Сечение – четырехугольник

Четырехугольное сечение возникает, когда плоскость пересекает четыре грани куба. Существует несколько характерных случаев.

• а) Плоскость параллельна одной из граней куба. В сечении получается квадрат (или прямоугольник), а куб разрезается на два прямоугольных параллелепипеда. Оба полученных многогранника являются шестигранниками.

  Описание рисунка: Нарисован куб, который разрезается вертикальной плоскостью, параллельной боковой грани. Линия разреза на видимых гранях (верхней, передней, нижней) представляет собой прямые линии, параллельные ребрам куба.

  Ответ: Два прямоугольных параллелепипеда.

• б) Плоскость проходит через два противоположных ребра. В сечении получается прямоугольник. Куб разделяется на две одинаковые треугольные призмы. Каждая такая призма является пятигранником (2 треугольных основания и 3 прямоугольные боковые грани).

  Описание рисунка: Нарисован куб. Линия разреза соединяет вершины одного верхнего ребра с вершинами противоположного ему нижнего ребра. Разрез проходит по диагонали через внутреннее пространство куба.

  Ответ: Две треугольные призмы (пятигранники).

Сечение – пятиугольник

Пятиугольное сечение образуется, когда секущая плоскость пересекает пять из шести граней куба. Такой разрез можно представить как "срезание" одного из ребер куба (при этом плоскость не должна проходить через вершины).

Описание рисунка: Нарисован куб. Плоскость срезает одно из его ребер, например, верхнее переднее. Линия разреза проходит по передней, верхней, двум боковым и задней граням.

В результате получаются два многогранника:

• Меньшая часть — шестигранник. Его гранями являются: 1 новый пятиугольник (срез), 2 треугольника и 3 трапеции (части исходных граней куба).
• Большая часть — семигранник. Его гранями являются: 1 новый пятиугольник (срез), 1 целая грань куба и 5 частей исходных граней, которые были разрезаны.

Ответ: Шестигранник и семигранник.

Сечение – шестиугольник

Шестиугольное сечение получается, когда секущая плоскость пересекает все шесть граней куба. Например, если плоскость проходит через середины шести ребер куба. В этом случае в сечении образуется правильный шестиугольник.

Описание рисунка: Нарисован куб. Линия разреза проходит по всем шести граням, например, через середины ребер, не имеющих общих вершин. На видимой части куба линия разреза выглядит как ломаная, соединяющая середины переднего, верхнего и бокового ребер.

Куб при таком разрезе делится на два равных многогранника. Каждый из них является семигранником. Грани каждого из этих многогранников: 1 новый шестиугольник (срез), 3 трапеции и 3 треугольника (части исходных граней куба).

Ответ: Два одинаковых семигранника.

Общий вывод

Таким образом, при разрезании куба плоскостью могут получиться многогранники, имеющие от 4 до 7 граней:

• Треугольная пирамида (тетраэдр, 4 грани)
• Пятигранник (например, треугольная призма)
• Шестигранник (например, прямоугольный параллелепипед)
• Семигранник

Ответ: При разрезании куба плоскостью могут получиться многогранники с 4, 5, 6 или 7 гранями (тетраэдры, пятигранники, шестигранники, семигранники).