Страница 204 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

723 Скопируйте в тетрадь параллелепипед, изображённый на рисунке 11.16, следующим образом:

начертите переднюю (видимую) грань параллелепипеда;

проведите видимые и невидимые рёбра боковых граней;

начертите заднюю (невидимую) грань.

11.16

Для построения параллелепипеда, изображенного на рисунке 11.16, необходимо выполнить следующие действия на листе бумаги в клетку:

• начертите переднюю (видимую) грань параллелепипеда;

  Начертите прямоугольник с основанием в 3 клетки и высотой в 4 клетки. Все его стороны должны быть сплошными линиями, так как эта грань является видимой.

• проведите видимые и невидимые рёбра боковых граней;

  Из каждой из четырех вершин прямоугольника проведите одинаковые параллельные отрезки под наклоном — смещаясь на 2 клетки вправо и 1 клетку вверх.
  — Рёбра, выходящие из верхней левой, верхней правой и нижней правой вершин, начертите сплошными линиями (они видимы).
  — Ребро, выходящее из нижней левой вершины, начертите пунктирной линией (оно невидимо).

• начертите заднюю (невидимую) грань.

  Соедините концы отрезков, которые вы начертили на предыдущем шаге. Это образует заднюю грань параллелепипеда.
  — Верхнюю и правую стороны полученного четырёхугольника начертите сплошными линиями, так как они одновременно являются видимыми рёбрами верхней и правой граней всего параллелепипеда.
  — Нижнюю и левую стороны начертите пунктирными линиями, так как они являются невидимыми.

Выполнив эти шаги, вы получите изображение параллелепипеда, как на рисунке 11.16.

Ответ: Выше представлено пошаговое руководство по построению параллелепипеда в соответствии с условиями задачи.

724 Назовите пирамиду (рис. 11.17, а–в). Укажите её основание и боковые грани. Начертите все пирамиды в тетради.

а) Пирамида: $MABCD$

Основание: четырехугольник $ABCD$

Боковые грани: $\triangle MAB$, $\triangle MBC$, $\triangle MCD$, $\triangle MDA$

б) Пирамида: $OABMCDK$

Основание: шестиугольник $ABMCDK$

Боковые грани: $\triangle OAB$, $\triangle OBM$, $\triangle OMC$, $\triangle OCD$, $\triangle ODK$, $\triangle OKA$

в) Пирамида: $BACD$

Основание: треугольник $ACD$

Боковые грани: $\triangle BAC$, $\triangle BCD$, $\triangle BDA$

а

На рисунке изображена четырёхугольная пирамида. Название пирамиды состоит из буквы, обозначающей её вершину, и букв, обозначающих вершины её основания.
Название пирамиды: $MABCD$.
Основание – это многоугольник, лежащий в основании пирамиды. В данном случае это четырёхугольник $ABCD$.
Боковые грани – это треугольники, имеющие общую вершину (вершину пирамиды). В данном случае это треугольники $MAB$, $MBC$, $MCD$, $MDA$.
Ответ: Пирамида $MABCD$, основание – четырёхугольник $ABCD$, боковые грани – треугольники $MAB$, $MBC$, $MCD$, $MDA$.

б

На рисунке изображена шестиугольная пирамида.
Название пирамиды: $OAMKDCB$.
Основание пирамиды – шестиугольник $AMKDCB$.
Боковые грани – треугольники $OAM$, $OMK$, $OKD$, $ODC$, $OCB$, $OBA$.
Ответ: Пирамида $OAMKDCB$, основание – шестиугольник $AMKDCB$, боковые грани – треугольники $OAM$, $OMK$, $OKD$, $ODC$, $OCB$, $OBA$.

в

На рисунке изображена треугольная пирамида (также называется тетраэдром).
Название пирамиды: $BACD$.
В качестве основания, согласно расположению на рисунке, можно выбрать треугольник $ACD$.
Боковыми гранями в этом случае будут треугольники $BAC$, $BCD$, $BDA$.
Ответ: Пирамида $BACD$, основание – треугольник $ACD$, боковые грани – треугольники $BAC$, $BCD$, $BDA$.

725 Начертите пирамиду изображённую на рисунке 11.17, а, так, чтобы основание $ABCD$ было видимым.

Для того чтобы начертить пирамиду с видимым основанием $ABCD$, необходимо изменить точку обзора. На исходном рисунке мы смотрим на пирамиду с ракурса, при котором часть основания и некоторые боковые рёбра скрыты от нас. Чтобы основание стало полностью видимым, мы должны представить, что смотрим на пирамиду снизу.

При таком взгляде (снизу вверх) все рёбра, образующие основание, будут видимыми. Вершина пирамиды $M$ и боковые рёбра, соединяющие её с основанием, окажутся за плоскостью основания и, следовательно, станут невидимыми.

Порядок построения:

1. Чертим основание пирамиды — четырёхугольник $ABCD$. Так как это проекция, он будет выглядеть как параллелограмм. Все его стороны ($AB$, $BC$, $CD$ и $DA$) изображаем сплошными линиями, так как они видимы.
2. Внутри контура основания отмечаем положение вершины $M$.
3. Соединяем вершину $M$ с каждой вершиной основания ($A$, $B$, $C$, $D$). Эти отрезки являются боковыми рёбрами ($MA$, $MB$, $MC$, $MD$). Поскольку они невидимы, изображаем их штриховыми (пунктирными) линиями.

В результате получится изображение пирамиды, у которой основание $ABCD$ полностью видимо.

Ответ:

Ниже представлен чертёж пирамиды $MABCD$, выполненный согласно условию, с видимым основанием $ABCD$.

726 Скопируйте рисунок 11.18 в тетрадь и дорисуйте его:

а) до треугольной пирамиды;

б) до четырёх-угольной пирамиды.

Подсказка. Можно сопоставить этот рисунок с рисунком 11.17, а-в.

а) до треугольной пирамиды

Треугольная пирамида, также известная как тетраэдр, представляет собой многогранник с четырьмя вершинами, четырьмя треугольными гранями и шестью рёбрами. На исходном рисунке 11.18 показана фигура с четырьмя вершинами и пятью рёбрами. Обозначим вершины: верхнюю как $S$ (вершина пирамиды), нижнюю — $B$, левую — $A$ и правую — $C$. Уже нарисованы рёбра: боковые $SA$, $SB$, $SC$ и два ребра основания $AB$ и $BC$.

Чтобы завершить построение треугольной пирамиды, необходимо, чтобы её основание было треугольником. В нашем случае основанием является треугольник $ABC$. Для этого нужно соединить вершины $A$ и $C$, достроив третье ребро основания — $AC$. Поскольку с данного ракурса это ребро будет невидимым (оно находится сзади фигуры), его следует изобразить пунктирной линией. В результате получится полная треугольная пирамида $SABC$ с основанием $ABC$.

Ответ: Необходимо соединить точки, соответствующие вершинам $A$ и $C$, пунктирной линией.

б) до четырёхугольной пирамиды

Четырёхугольная пирамида — это многогранник, у которого основанием является четырёхугольник, а боковые грани — треугольники, имеющие общую вершину. Такая пирамида имеет 5 вершин и 8 рёбер. На исходном рисунке изображена вершина пирамиды $S$ и три вершины основания: $A$, $B$ и $C$. Для построения четырёхугольной пирамиды нужно добавить четвёртую вершину основания, назовём её $D$, и провести недостающие рёбра.

Пусть основанием пирамиды будет четырёхугольник $ABCD$. Выберем положение для точки $D$. Для симметрии и наглядности построения можно расположить точку $D$ так, чтобы основание $ABCD$ в изображённой проекции было ромбом. Если принять точку $B$ за начало координат $(0, 0)$ на сетке, то координаты других видимых точек будут: $A(-2, 1)$, $C(2, 1)$ и $S(0, 4)$. Чтобы фигура $ABCD$ была ромбом, точка $D$ должна иметь координаты $(0, 2)$.

После добавления вершины $D$ необходимо провести три недостающих ребра: два ребра основания, $CD$ и $DA$, и одно боковое ребро $SD$, соединяющее вершину пирамиды $S$ с новой вершиной основания $D$. Все эти три новых ребра ($CD$, $DA$ и $SD$) будут невидимы с данного ракурса, поэтому их следует изобразить пунктирными линиями. В итоге мы получим четырёхугольную пирамиду $SABCD$.

Ответ: Необходимо добавить четвёртую вершину основания $D$ и соединить её пунктирными линиями с вершинами $A$, $C$ и $S$.

РЁБРА, ГРАНИ И ВЕРШИНЫ

727

На рисунке $11.19$ изображён прямоугольный параллелепипед. Известны длины его рёбер: $AB = 6$ см, $ML = 4$ см, $AM = 2$ см.

1) Определите длины всех рёбер данного прямоугольного параллелепипеда.

2) Каковы размеры граней $AMNB$, $BNKC$, $MLKN$? Назовите равные им грани.

3) Определите периметр грани $ABCD$.

4) Начертите грань $CDLK$ в натуральную величину.

5) Три грани прямоугольного параллелепипеда, имеющие общую вершину $M$, хотят окрасить в красный цвет, а остальные — в синий. Какие грани будут красными; синими? Назовите общую вершину всех синих граней.

1) Определите длины всех рёбер данного прямоугольного параллелепипеда.

Прямоугольный параллелепипед имеет 12 рёбер, которые образуют три группы по четыре равных и параллельных ребра в каждой. Из условия и рисунка известны длины трёх рёбер, которые можно считать тремя измерениями параллелепипеда (длина, ширина, высота): $AB = 6$ см, $ML = 4$ см и $AM = 2$ см. Ребро $AD$ параллельно и равно ребру $ML$, поэтому $AD = 4$ см.

Таким образом, рёбра параллелепипеда можно сгруппировать по длинам:

- 4 ребра длиной 6 см: $AB$, $DC$, $MN$, $LK$.
- 4 ребра длиной 4 см: $AD$, $BC$, $ML$, $NK$.
- 4 ребра длиной 2 см: $AM$, $DL$, $CK$, $BN$.

Ответ: В параллелепипеде 4 ребра по 6 см, 4 ребра по 4 см и 4 ребра по 2 см.

2) Каковы размеры граней AMNB, BNKC, MLKN? Назовите равные им грани.

Грани прямоугольного параллелепипеда являются прямоугольниками, причём противоположные грани равны между собой.

- Грань $AMNB$ (обозначает переднюю грань $ABNM$) образована рёбрами $AB$ и $AM$. Её размеры $6$ см $\times$ $2$ см. Противоположная (и равная ей) грань — задняя грань $DCLK$.

- Грань $BNKC$ (обозначает правую боковую грань $BCKN$) образована рёбрами $BC$ и $BN$. Её размеры $4$ см $\times$ $2$ см. Противоположная (и равная ей) грань — левая боковая грань $ADLM$.

- Грань $MLKN$ (обозначает нижнюю грань $MNKL$) образована рёбрами $MN$ и $ML$. Её размеры $6$ см $\times$ $4$ см. Противоположная (и равная ей) грань — верхняя грань $ABCD$.

Ответ: Грань $AMNB$ имеет размеры $6 \times 2$ см, ей равна грань $DCLK$. Грань $BNKC$ имеет размеры $4 \times 2$ см, ей равна грань $ADLM$. Грань $MLKN$ имеет размеры $6 \times 4$ см, ей равна грань $ABCD$.

3) Определите периметр грани ABCD.

Грань $ABCD$ является прямоугольником (верхняя грань). Её смежные стороны — это рёбра $AB$ и $AD$ (или $BC$). Длины этих рёбер равны $AB = 6$ см и $AD = 4$ см. Периметр прямоугольника вычисляется по формуле $P = 2(a+b)$, где $a$ и $b$ — длины его смежных сторон.

Периметр грани $ABCD$ равен: $P_{ABCD} = 2 \times (AB + AD) = 2 \times (6 \text{ см} + 4 \text{ см}) = 2 \times 10 \text{ см} = 20 \text{ см}.$

Ответ: 20 см.

4) Начертите грань CDLK в натуральную величину.

Грань $CDLK$ (задняя грань $DCLK$) является прямоугольником. Её стороны — это рёбра $CD$ и $DL$. Длина ребра $CD$ равна длине параллельного ему ребра $AB$, то есть 6 см. Длина ребра $DL$ равна длине параллельного ему ребра $AM$, то есть 2 см. Таким образом, грань $CDLK$ — это прямоугольник со сторонами 6 см и 2 см.

Ответ: Чертёж прямоугольника со сторонами 6 см и 2 см и вершинами D, C, K, L представлен выше.

5) Три грани прямоугольного параллелепипеда, имеющие общую вершину M, хотят окрасить в красный цвет, а остальные — в синий. Какие грани будут красными; синими? Назовите общую вершину всех синих граней.

Три грани, имеющие общую вершину $M$, определяются тремя рёбрами, выходящими из этой вершины: $MA$, $ML$ и $MN$. Этими гранями являются: передняя грань $ABNM$, левая боковая грань $ADLM$ и нижняя грань $MNKL$. По условию, они будут окрашены в красный цвет.

Остальные три грани будут синими. Это грани, противоположные красным:

- задняя грань $DCLK$ (противоположна $ABNM$),
- правая боковая грань $BCKN$ (противоположна $ADLM$),
- верхняя грань $ABCD$ (противоположна $MNKL$).

Общая вершина всех синих граней — это та вершина, которая принадлежит всем трём синим граням одновременно. Этой вершиной является $C$, так как она входит в состав каждой из граней: $D\underline{C}LK$, $B\underline{C}KN$ и $AB\underline{C}D$. Эта вершина также является противоположной вершине $M$ по диагонали параллелепипеда.

Ответ: Красные грани: $ABNM$, $ADLM$, $MNKL$. Синие грани: $DCLK$, $BCKN$, $ABCD$. Общая вершина всех синих граней — $C$.