Номер 722, страница 201 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

722 ЗАДАЧА-ИССЛЕДОВАНИЕ

Какие многогранники могут получиться при разрезании куба плоскостью? Проведите эксперимент: вылепите кубик из пластилина и, выбирая разные направления, разрезайте его на две части. Нарисуйте куб и покажите для каждого случая, как проходит по кубу линия разреза.

При разрезании куба плоскостью могут получиться различные многогранники. Форма и количество граней у полученных многогранников зависят от того, как именно проходит секущая плоскость и, соответственно, какую форму имеет многоугольник в сечении. Плоскость может пересекать от трех до шести граней куба, поэтому в сечении могут получаться треугольники, четырехугольники, пятиугольники и шестиугольники. Рассмотрим все возможные случаи.

Сечение – треугольник

Такое сечение получается, если секущая плоскость отсекает одну из вершин куба. Плоскость в этом случае пересекает три грани, сходящиеся в этой вершине.

Описание рисунка: Нарисован куб. От одного из его углов (например, правого верхнего ближнего) проведена линия разреза, которая соединяет три точки на трех ребрах, выходящих из этой вершины. Линия разреза на поверхности куба образует треугольник.

В результате такого разрезания куб делится на два многогранника:

• Малая часть — это треугольная пирамида (тетраэдр). У этого многогранника 4 грани, и все они являются треугольниками.
• Большая часть — это семигранник (многогранник с 7 гранями). Его гранями являются: 1 новый треугольник (место среза), 3 исходные грани куба, которые не были затронуты, и 3 бывшие квадратные грани, которые после разрезания стали пятиугольниками.

Ответ: Треугольная пирамида и семигранник.

Сечение – четырехугольник

Четырехугольное сечение возникает, когда плоскость пересекает четыре грани куба. Существует несколько характерных случаев.

• а) Плоскость параллельна одной из граней куба. В сечении получается квадрат (или прямоугольник), а куб разрезается на два прямоугольных параллелепипеда. Оба полученных многогранника являются шестигранниками.

  Описание рисунка: Нарисован куб, который разрезается вертикальной плоскостью, параллельной боковой грани. Линия разреза на видимых гранях (верхней, передней, нижней) представляет собой прямые линии, параллельные ребрам куба.

  Ответ: Два прямоугольных параллелепипеда.

• б) Плоскость проходит через два противоположных ребра. В сечении получается прямоугольник. Куб разделяется на две одинаковые треугольные призмы. Каждая такая призма является пятигранником (2 треугольных основания и 3 прямоугольные боковые грани).

  Описание рисунка: Нарисован куб. Линия разреза соединяет вершины одного верхнего ребра с вершинами противоположного ему нижнего ребра. Разрез проходит по диагонали через внутреннее пространство куба.

  Ответ: Две треугольные призмы (пятигранники).

Сечение – пятиугольник

Пятиугольное сечение образуется, когда секущая плоскость пересекает пять из шести граней куба. Такой разрез можно представить как "срезание" одного из ребер куба (при этом плоскость не должна проходить через вершины).

Описание рисунка: Нарисован куб. Плоскость срезает одно из его ребер, например, верхнее переднее. Линия разреза проходит по передней, верхней, двум боковым и задней граням.

В результате получаются два многогранника:

• Меньшая часть — шестигранник. Его гранями являются: 1 новый пятиугольник (срез), 2 треугольника и 3 трапеции (части исходных граней куба).
• Большая часть — семигранник. Его гранями являются: 1 новый пятиугольник (срез), 1 целая грань куба и 5 частей исходных граней, которые были разрезаны.

Ответ: Шестигранник и семигранник.

Сечение – шестиугольник

Шестиугольное сечение получается, когда секущая плоскость пересекает все шесть граней куба. Например, если плоскость проходит через середины шести ребер куба. В этом случае в сечении образуется правильный шестиугольник.

Описание рисунка: Нарисован куб. Линия разреза проходит по всем шести граням, например, через середины ребер, не имеющих общих вершин. На видимой части куба линия разреза выглядит как ломаная, соединяющая середины переднего, верхнего и бокового ребер.

Куб при таком разрезе делится на два равных многогранника. Каждый из них является семигранником. Грани каждого из этих многогранников: 1 новый шестиугольник (срез), 3 трапеции и 3 треугольника (части исходных граней куба).

Ответ: Два одинаковых семигранника.

Общий вывод

Таким образом, при разрезании куба плоскостью могут получиться многогранники, имеющие от 4 до 7 граней:

• Треугольная пирамида (тетраэдр, 4 грани)
• Пятигранник (например, треугольная призма)
• Шестигранник (например, прямоугольный параллелепипед)
• Семигранник

Ответ: При разрезании куба плоскостью могут получиться многогранники с 4, 5, 6 или 7 гранями (тетраэдры, пятигранники, шестигранники, семигранники).