Страница 179 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

629 Продолжите последовательность десятичных дробей, записав ещё два числа. Прочитайте все записанные десятичные дроби:

a) $0,3$; $0,33$; $0,333$ ...;

б) $0,5$; $0,05$; $0,005$; ...;

в) $0,42$; $0,424$; $0,4242$; ...

г) $0,1$; $0,101$; $0,10101$ ... .

а)

В данной последовательности $0,3; 0,33; 0,333; \ldots$ мы видим, что каждое следующее число получается путём добавления ещё одной цифры $3$ в конец десятичной части предыдущего числа. Первое число содержит одну тройку, второе — две, третье — три.

Продолжая эту закономерность, четвёртое число будет содержать четыре тройки, а пятое — пять троек. Таким образом, следующие два числа в последовательности — это $0,3333$ и $0,33333$.

Полная последовательность выглядит так: $0,3; 0,33; 0,333; 0,3333; 0,33333$.

Прочитаем все записанные дроби:

• $0,3$ — ноль целых три десятых.
• $0,33$ — ноль целых тридцать три сотых.
• $0,333$ — ноль целых триста тридцать три тысячных.
• $0,3333$ — ноль целых три тысячи триста тридцать три десятитысячных.
• $0,33333$ — ноль целых тридцать три тысячи триста тридцать три стотысячных.

Ответ: $0,3333; 0,33333$.

б)

В последовательности $0,5; 0,05; 0,005; \ldots$ каждое следующее число в 10 раз меньше предыдущего. Это видно по тому, как цифра $5$ смещается на одну позицию вправо после запятой с каждым новым членом последовательности.

Чтобы найти следующие два числа, мы должны продолжить делить на 10:
Четвёртое число: $0,005 \div 10 = 0,0005$.
Пятое число: $0,0005 \div 10 = 0,00005$.

Полная последовательность: $0,5; 0,05; 0,005; 0,0005; 0,00005$.

Прочитаем все записанные дроби:

• $0,5$ — ноль целых пять десятых.
• $0,05$ — ноль целых пять сотых.
• $0,005$ — ноль целых пять тысячных.
• $0,0005$ — ноль целых пять десятитысячных.
• $0,00005$ — ноль целых пять стотысячных.

Ответ: $0,0005; 0,00005$.

в)

Рассмотрим последовательность $0,42; 0,424; 0,4242; \ldots$. Здесь каждое следующее число образуется добавлением одной цифры в конец предыдущего. Сравнивая числа, видим, что к $0,42$ добавили $4$, чтобы получить $0,424$. Затем к $0,424$ добавили $2$, чтобы получить $0,4242$. Закономерность заключается в поочерёдном добавлении цифр $4$ и $2$.

Следуя этой логике, чтобы получить четвёртое число, мы должны добавить $4$ к третьему числу: $0,42424$.
Для пятого числа мы добавляем $2$ к четвёртому: $0,424242$.

Полная последовательность: $0,42; 0,424; 0,4242; 0,42424; 0,424242$.

Прочитаем все записанные дроби:

• $0,42$ — ноль целых сорок две сотых.
• $0,424$ — ноль целых четыреста двадцать четыре тысячных.
• $0,4242$ — ноль целых четыре тысячи двести сорок две десятитысячных.
• $0,42424$ — ноль целых сорок две тысячи четыреста двадцать четыре стотысячных.
• $0,424242$ — ноль целых четыреста двадцать четыре тысячи двести сорок две миллионных.

Ответ: $0,42424; 0,424242$.

г)

В последовательности $0,1; 0,101; 0,10101; \ldots$ каждое следующее число формируется путём добавления группы цифр «01» в конец предыдущего числа.

К первому числу $0,1$ добавили «01», получили $0,101$. Ко второму числу $0,101$ добавили «01», получили $0,10101$.

Продолжая последовательность, к третьему числу добавляем «01», получая $0,1010101$.
Затем к четвёртому числу добавляем «01», получая $0,101010101$.

Полная последовательность: $0,1; 0,101; 0,10101; 0,1010101; 0,101010101$.

Прочитаем все записанные дроби:

• $0,1$ — ноль целых одна десятая.
• $0,101$ — ноль целых сто одна тысячная.
• $0,10101$ — ноль целых десять тысяч сто одна стотысячная.
• $0,1010101$ — ноль целых один миллион десять тысяч сто одна десятимиллионная.
• $0,101010101$ — ноль целых сто один миллион десять тысяч сто одна миллиардная.

Ответ: $0,1010101; 0,101010101$.

630 Запишите все десятичные дроби, которые можно составить из цифр 1; 2; 3. Каждая цифра должна быть обязательно использована в записи каждого числа, причём только один раз. Сколько десятичных дробей у вас получилось?

Для решения этой задачи необходимо сначала определить все возможные способы расположения цифр 1, 2 и 3 в ряд, а затем для каждого способа определить, где можно поставить десятичную запятую.

1. Находим все перестановки цифр.
У нас есть три различные цифры: 1, 2, 3. Количество всех возможных перестановок (способов расставить их в ряд) для трёх элементов вычисляется по формуле $P_n = n!$, где $n=3$. $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$.

Существует 6 уникальных последовательностей из этих цифр:

• 123
• 132
• 213
• 231
• 312
• 321

2. Определяем возможные позиции для десятичной запятой.
Для каждой из 6 полученных последовательностей цифр необходимо поставить запятую, чтобы образовать десятичную дробь. Так как в записи числа должны быть использованы все три цифры, и число должно быть дробным, запятую можно поставить в двух местах:

• После первой цифры (например, 1,23).
• После второй цифры (например, 12,3).

Таким образом, для каждой из 6 перестановок цифр существует 2 варианта для создания десятичной дроби.

Запишите все десятичные дроби, которые можно составить из цифр 1; 2; 3.
Перечислим все возможные дроби, сгруппировав их по исходной перестановке цифр:

• Из 123: 1,23; 12,3
• Из 132: 1,32; 13,2
• Из 213: 2,13; 21,3
• Из 231: 2,31; 23,1
• Из 312: 3,12; 31,2
• Из 321: 3,21; 32,1

Сколько десятичных дробей у вас получилось?
Чтобы найти общее количество дробей, нужно умножить количество перестановок цифр на количество возможных позиций для запятой в каждой перестановке.

$6 \text{ (перестановок)} \times 2 \text{ (позиции запятой)} = 12 \text{ (дробей)}$.

Ответ: можно составить 12 десятичных дробей: 1,23; 12,3; 1,32; 13,2; 2,13; 21,3; 2,31; 23,1; 3,12; 31,2; 3,21; 32,1.

ДЕСЯТИЧНЫЕ ДРОБИ НА КООРДИНАТНОЙ ПРЯМОЙ

631

Какие числа отмечены точками на координатной прямой (рис. 10.3)?

а) 0 1 2 3 4

б) 11 12 13 14 15

б) 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5

г) 5,3 5,4 5,5 5,6 5,7

10.3

а

На данной координатной прямой единичный отрезок (расстояние между целыми числами, например, от 0 до 1) разделен на 10 одинаковых делений. Это означает, что цена одного деления (шаг) равна $1 \div 10 = 0.1$.

Теперь определим координаты каждой отмеченной точки:

Первая точка отстоит от 0 на 2 деления, ее координата: $0 + 2 \times 0.1 = 0.2$.

Вторая точка отстоит от 0 на 8 делений, ее координата: $0 + 8 \times 0.1 = 0.8$.

Третья точка отстоит от 1 на 1 деление, ее координата: $1 + 1 \times 0.1 = 1.1$.

Четвертая точка отстоит от 1 на 9 делений, ее координата: $1 + 9 \times 0.1 = 1.9$.

Пятая точка отстоит от 2 на 3 деления, ее координата: $2 + 3 \times 0.1 = 2.3$.

Шестая точка отстоит от 2 на 9 делений, ее координата: $2 + 9 \times 0.1 = 2.9$.

Седьмая точка отстоит от 3 на 5 делений, ее координата: $3 + 5 \times 0.1 = 3.5$.

Ответ: 0,2; 0,8; 1,1; 1,9; 2,3; 2,9; 3,5.

б

На этой координатной прямой единичный отрезок (например, от 11 до 12) разделен на 4 одинаковых деления. Следовательно, цена одного деления равна $1 \div 4 = 0.25$.

Определим координаты отмеченных точек:

Первая точка отстоит от 11 на 2 деления, ее координата: $11 + 2 \times 0.25 = 11 + 0.5 = 11.5$.

Вторая точка отстоит от 11 на 3 деления, ее координата: $11 + 3 \times 0.25 = 11 + 0.75 = 11.75$.

Третья точка отстоит от 12 на 2 деления, ее координата: $12 + 2 \times 0.25 = 12 + 0.5 = 12.5$.

Четвертая точка отстоит от 13 на 1 деление, ее координата: $13 + 1 \times 0.25 = 13.25$.

Пятая точка отстоит от 13 на 3 деления, ее координата: $13 + 3 \times 0.25 = 13 + 0.75 = 13.75$.

Шестая точка отстоит от 14 на 2 деления, ее координата: $14 + 2 \times 0.25 = 14 + 0.5 = 14.5$.

Ответ: 11,5; 11,75; 12,5; 13,25; 13,75; 14,5.

в

На этой координатной прямой расстояние между соседними основными отметками (например, между 0,1 и 0,2) равно $0.2 - 0.1 = 0.1$. Этот отрезок разделен на 10 одинаковых делений. Таким образом, цена одного деления составляет $0.1 \div 10 = 0.01$.

Определим координаты отмеченных точек:

Первая точка отстоит от 0,1 на 4 деления, ее координата: $0.1 + 4 \times 0.01 = 0.14$.

Вторая точка отстоит от 0,1 на 8 делений, ее координата: $0.1 + 8 \times 0.01 = 0.18$.

Третья точка отстоит от 0,2 на 7 делений, ее координата: $0.2 + 7 \times 0.01 = 0.27$.

Четвертая точка отстоит от 0,3 на 5 делений, ее координата: $0.3 + 5 \times 0.01 = 0.35$.

Пятая точка отстоит от 0,4 на 9 делений, ее координата: $0.4 + 9 \times 0.01 = 0.49$.

Ответ: 0,14; 0,18; 0,27; 0,35; 0,49.

г

На этой координатной прямой расстояние между соседними основными отметками (например, между 5,3 и 5,4) равно $5.4 - 5.3 = 0.1$. Этот отрезок разделен на 5 одинаковых делений. Следовательно, цена одного деления составляет $0.1 \div 5 = 0.02$.

Определим координаты отмеченных точек:

Первая точка отстоит от 5,3 на 1 деление, ее координата: $5.3 + 1 \times 0.02 = 5.32$.

Вторая точка отстоит от 5,3 на 4 деления, ее координата: $5.3 + 4 \times 0.02 = 5.38$.

Третья точка отстоит от 5,4 на 3 деления, ее координата: $5.4 + 3 \times 0.02 = 5.46$.

Четвертая точка отстоит от 5,5 на 2 деления, ее координата: $5.5 + 2 \times 0.02 = 5.54$.

Пятая точка отстоит от 5,6 на 4 деления, ее координата: $5.6 + 4 \times 0.02 = 5.68$.

Ответ: 5,32; 5,38; 5,46; 5,54; 5,68.

632 На координатной прямой некоторые точки обозначены буквами (рис. 10.4). Какая из точек соответствует числу: 34,8; 34,2; 34,6; 35,4; 35,8; 35,6?

Чтобы определить, какая точка соответствует какому числу, необходимо сначала найти цену одного деления на координатной прямой.

На прямой отмечены целые числа 34, 35 и 36. Расстояние между двумя соседними целыми числами (например, между 34 и 35) называется единичным отрезком. Этот отрезок разделен на 10 равных частей (делений).

Найдем цену одного деления, разделив длину единичного отрезка (которая равна 1) на количество делений:

$ (35 - 34) \div 10 = 1 \div 10 = 0,1 $

Таким образом, каждое малое деление на координатной прямой соответствует 0,1. Теперь сопоставим каждое число с соответствующей ему точкой.

34,8

Число 34,8 больше 34 на 0,8. Чтобы найти соответствующую точку, нужно отсчитать от отметки 34 вправо $0,8 \div 0,1 = 8$ делений. Восьмое деление от 34 соответствует точке D.

Ответ: D

34,2

Число 34,2 больше 34 на 0,2. Чтобы найти соответствующую точку, нужно отсчитать от отметки 34 вправо $0,2 \div 0,1 = 2$ деления. Второе деление от 34 соответствует точке A.

Ответ: A

34,6

Число 34,6 больше 34 на 0,6. Чтобы найти соответствующую точку, нужно отсчитать от отметки 34 вправо $0,6 \div 0,1 = 6$ делений. Шестое деление от 34 соответствует точке C.

Ответ: C

35,4

Число 35,4 больше 35 на 0,4. Чтобы найти соответствующую точку, нужно отсчитать от отметки 35 вправо $0,4 \div 0,1 = 4$ деления. Четвертое деление от 35 соответствует точке K.

Ответ: K

35,8

Число 35,8 больше 35 на 0,8. Чтобы найти соответствующую точку, нужно отсчитать от отметки 35 вправо $0,8 \div 0,1 = 8$ делений. Восьмое деление от 35 соответствует точке M.

Ответ: M

35,6

Число 35,6 больше 35 на 0,6. Чтобы найти соответствующую точку, нужно отсчитать от отметки 35 вправо $0,6 \div 0,1 = 6$ делений. Шестое деление от 35 соответствует точке L.

Ответ: L

633 Начертите координатную прямую, взяв за единичный отрезок 10 клеток. Отметьте точку, соответствующую числу:

а) $0,1$;

б) $0,6$;

в) $0,9$;

г) $1,3$;

д) $1,5$;

е) $1,7$.

Для выполнения этого задания необходимо начертить прямую линию, которая будет нашей координатной осью. На этой прямой выберем точку, которую назовем началом отсчета, и присвоим ей координату 0. Затем зададим положительное направление, обычно вправо, обозначив его стрелкой.

По условию, единичный отрезок должен состоять из 10 клеток. Это означает, что отметка с числом 1 будет находиться на расстоянии 10 клеток вправо от 0, отметка с числом 2 — на расстоянии 20 клеток от 0, и так далее. Из этого следует, что каждая клетка на этой координатной прямой представляет собой одну десятую часть единичного отрезка, то есть $1 / 10 = 0,1$.

Чтобы определить положение точки для каждого из заданных чисел, нужно умножить это число на 10 (количество клеток в единичном отрезке). Полученный результат будет равен количеству клеток, которое нужно отсчитать от начала отсчета (точки 0) вправо.

634 Начертите координатную прямую, взяв за единичный отрезок 10 клеток. Разделите его на 5 равных частей и подпишите под каждой меткой соответствующее ей число. Отметьте цветным карандашом точку $0,5$. Представьте, что вы шагаете по координатной прямой от точки $0,5$ в направлении, указанном стрелкой, с шагом, равным $0,2$.

1) В какой точке вы окажетесь через 2 шага, через 5 шагов? (Отметьте эти точки на координатной прямой и подпишите их координаты.)

2) Через сколько шагов от начала движения вы окажетесь в точке с координатой $2,1$; с координатой $2,5$?

3) Попадёте ли вы в точку с координатой, равной $3,5$; равной $4$?

Для решения задачи определим общую формулу для нахождения координаты после определенного количества шагов. Начальная точка — $0,5$. Шаг — $0,2$. Движение происходит в положительном направлении (увеличение координаты).

Координата точки ($X_n$) после $n$ шагов вычисляется по формуле:

$X_n = \text{начальная точка} + n \cdot \text{длина шага}$

$X_n = 0,5 + n \cdot 0,2$

1) В какой точке вы окажетесь через 2 шага, через 5 шагов? (Отметьте эти точки на координатной прямой и подпишите их координаты.)

Чтобы найти координату через 2 шага, подставим $n=2$ в нашу формулу:

$X_2 = 0,5 + 2 \cdot 0,2 = 0,5 + 0,4 = 0,9$

Чтобы найти координату через 5 шагов, подставим $n=5$ в формулу:

$X_5 = 0,5 + 5 \cdot 0,2 = 0,5 + 1,0 = 1,5$

На координатной прямой необходимо отметить точки с координатами 0,9 и 1,5.

Ответ: Через 2 шага вы окажетесь в точке с координатой 0,9; через 5 шагов — в точке с координатой 1,5.

2) Через сколько шагов от начала движения вы окажетесь в точке с координатой 2,1; с координатой 2,5?

Для нахождения количества шагов $n$ нужно решить уравнение $X_n = 0,5 + n \cdot 0,2$ относительно $n$. Выразим $n$:

$n = (X_n - 0,5) \div 0,2$

Теперь найдем количество шагов до точки с координатой 2,1, подставив $X_n = 2,1$:

$n = (2,1 - 0,5) \div 0,2 = 1,6 \div 0,2 = 8$

Найдем количество шагов до точки с координатой 2,5, подставив $X_n = 2,5$:

$n = (2,5 - 0,5) \div 0,2 = 2,0 \div 0,2 = 10$

Ответ: В точке с координатой 2,1 вы окажетесь через 8 шагов; в точке с координатой 2,5 — через 10 шагов.

3) Попадёте ли вы в точку с координатой, равной 3,5; равной 4?

Чтобы определить, возможно ли попасть в точку, нужно проверить, является ли количество шагов $n$ до этой точки целым неотрицательным числом. Используем ту же формулу для $n$, что и в предыдущем пункте.

Проверим для точки с координатой 3,5:

$n = (3,5 - 0,5) \div 0,2 = 3,0 \div 0,2 = 15$

Поскольку $n=15$ — целое число, то в точку с координатой 3,5 мы попадем (это произойдет на 15-м шаге).

Проверим для точки с координатой 4:

$n = (4 - 0,5) \div 0,2 = 3,5 \div 0,2 = 17,5$

Поскольку $n=17,5$ — не является целым числом, то точно в точку с координатой 4 мы не попадем. Мы "перешагнем" ее: после 17 шагов будем в точке $3,9$, а после 18 шагов — в точке $4,1$.

Ответ: В точку с координатой 3,5 вы попадёте; в точку с координатой 4 — не попадёте.