Страница 174 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

1) Сформулируйте и запишите с помощью букв правила сложения и вычитания дробей.

2) Выполните действие:

а) $\frac{2}{3} + \frac{1}{9}$

б) $\frac{3}{5} + \frac{2}{7}$

в) $\frac{1}{6} + \frac{3}{8}$

г) $\frac{2}{3} - \frac{3}{5}$

д) $\frac{5}{6} - \frac{1}{4}$

1)

Правило сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями:
Чтобы сложить (или вычесть) дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сложить (или вычесть) их числители, а знаменатель оставить без изменений.

В буквенном виде:
Сложение: $ \frac{a}{c} + \frac{b}{c} = \frac{a+b}{c} $
Вычитание: $ \frac{a}{c} - \frac{b}{c} = \frac{a-b}{c} $

Правило сложения и вычитания дробей с разными знаменателями:
Чтобы сложить (или вычесть) дроби с разными знаменателями, нужно сначала привести их к общему знаменателю. После этого сложить (или вычесть) полученные дроби по правилу для дробей с одинаковыми знаменателями.

В буквенном виде:
Сложение: $ \frac{a}{b} + \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot d} + \frac{c \cdot b}{d \cdot b} = \frac{ad+cb}{bd} $
Вычитание: $ \frac{a}{b} - \frac{c}{d} = \frac{a \cdot d}{b \cdot d} - \frac{c \cdot b}{d \cdot b} = \frac{ad-cb}{bd} $

2)

а) Приведем дробь $ \frac{2}{3} $ к знаменателю 9. Для этого умножим ее числитель и знаменатель на 3.
$ \frac{2}{3} + \frac{1}{9} = \frac{2 \cdot 3}{3 \cdot 3} + \frac{1}{9} = \frac{6}{9} + \frac{1}{9} = \frac{6+1}{9} = \frac{7}{9} $
Ответ: $ \frac{7}{9} $

б) Найдем общий знаменатель для дробей. Так как 5 и 7 — взаимно простые числа, общий знаменатель равен их произведению: $ 5 \cdot 7 = 35 $.
$ \frac{3}{5} + \frac{2}{7} = \frac{3 \cdot 7}{5 \cdot 7} + \frac{2 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{21}{35} + \frac{10}{35} = \frac{21+10}{35} = \frac{31}{35} $
Ответ: $ \frac{31}{35} $

в) Найдем наименьший общий знаменатель для 6 и 8. Наименьшее общее кратное (НОК) для этих чисел — 24.
$ \frac{1}{6} + \frac{3}{8} = \frac{1 \cdot 4}{6 \cdot 4} + \frac{3 \cdot 3}{8 \cdot 3} = \frac{4}{24} + \frac{9}{24} = \frac{4+9}{24} = \frac{13}{24} $
Ответ: $ \frac{13}{24} $

г) Найдем общий знаменатель для 3 и 5. Он равен их произведению: $ 3 \cdot 5 = 15 $.
$ \frac{2}{3} - \frac{3}{5} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} - \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{10}{15} - \frac{9}{15} = \frac{10-9}{15} = \frac{1}{15} $
Ответ: $ \frac{1}{15} $

д) Найдем наименьший общий знаменатель для 6 и 4. НОК(6, 4) = 12.
$ \frac{5}{6} - \frac{1}{4} = \frac{5 \cdot 2}{6 \cdot 2} - \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{10}{12} - \frac{3}{12} = \frac{10-3}{12} = \frac{7}{12} $
Ответ: $ \frac{7}{12} $

2) 1) Сформулируйте и запишите с помощью букв правила умножения и деления дробей.

2) Выполните действие:
а) $\frac{7}{9} \cdot \frac{2}{5}$;
б) $\frac{14}{15} \cdot \frac{10}{49}$;
в) $\frac{4}{15} : \frac{2}{5}$.

1)

Правило умножения дробей: чтобы умножить одну дробь на другую, нужно перемножить их числители и перемножить их знаменатели. Первый результат записывается в числитель новой дроби, а второй – в её знаменатель.
С помощью букв это правило можно записать так (где $b \neq 0$ и $d \neq 0$):
$\frac{a}{b} \cdot \frac{c}{d} = \frac{a \cdot c}{b \cdot d}$

Правило деления дробей: чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь (делимое) умножить на дробь, обратную второй (делителю).
С помощью букв это правило можно записать так (где $b \neq 0$, $c \neq 0$ и $d \neq 0$):
$\frac{a}{b} \div \frac{c}{d} = \frac{a}{b} \cdot \frac{d}{c} = \frac{a \cdot d}{b \cdot c}$

2)

а) Для умножения дробей $\frac{7}{9}$ и $\frac{2}{5}$ перемножим их числители и знаменатели:
$\frac{7}{9} \cdot \frac{2}{5} = \frac{7 \cdot 2}{9 \cdot 5} = \frac{14}{45}$
Ответ: $\frac{14}{45}$

б) Перемножим дроби, предварительно сократив общие множители. Числитель 14 и знаменатель 49 имеют общий множитель 7. Числитель 10 и знаменатель 15 имеют общий множитель 5.
$\frac{14}{15} \cdot \frac{10}{49} = \frac{14 \cdot 10}{15 \cdot 49} = \frac{(2 \cdot 7) \cdot (2 \cdot 5)}{(3 \cdot 5) \cdot (7 \cdot 7)} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 7} = \frac{4}{21}$
Ответ: $\frac{4}{21}$

в) Чтобы разделить дробь $\frac{4}{15}$ на $\frac{2}{5}$, нужно умножить первую дробь на дробь, обратную второй, то есть на $\frac{5}{2}$. После этого выполним сокращение.
$\frac{4}{15} \div \frac{2}{5} = \frac{4}{15} \cdot \frac{5}{2} = \frac{4 \cdot 5}{15 \cdot 2} = \frac{(2 \cdot 2) \cdot 5}{(3 \cdot 5) \cdot 2} = \frac{2}{3}$
Ответ: $\frac{2}{3}$

3 1) Представьте число $7\frac{2}{5}$ в виде неправильной дроби. Выделите целую часть дроби $\frac{30}{7}$.

2) Выполните действие со смешанными дробями:

а) $3\frac{3}{4} + 1\frac{1}{2}$;б) $3\frac{2}{7} - \frac{6}{7}$;в) $3\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{5}$;г) $20 : 2\frac{1}{2}$.

1)

Данное задание состоит из двух частей.

Первая часть: представить число $7\frac{2}{5}$ в виде неправильной дроби. Для этого необходимо умножить целую часть на знаменатель и к полученному произведению прибавить числитель. Результат записывается в числитель новой дроби, а знаменатель остается без изменений.

$7\frac{2}{5} = \frac{7 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{35 + 2}{5} = \frac{37}{5}$

Ответ: $\frac{37}{5}$

Вторая часть: выделить целую часть дроби $\frac{30}{7}$. Для этого нужно разделить числитель на знаменатель с остатком. Неполное частное станет целой частью, остаток — числителем дробной части, а знаменатель останется прежним.

$30 : 7 = 4$ (остаток $2$)

Следовательно, $\frac{30}{7} = 4\frac{2}{7}$.

Ответ: $4\frac{2}{7}$

2)

а) $3\frac{3}{4} + 1\frac{1}{2}$

Для сложения смешанных дробей приведем их дробные части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 2 равен 4.

$1\frac{1}{2} = 1\frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = 1\frac{2}{4}$

Теперь выполним сложение. Сложим отдельно целые и дробные части:

$3\frac{3}{4} + 1\frac{2}{4} = (3+1) + (\frac{3}{4} + \frac{2}{4}) = 4 + \frac{5}{4} = 4\frac{5}{4}$

Дробь $\frac{5}{4}$ является неправильной. Выделим из нее целую часть: $\frac{5}{4} = 1\frac{1}{4}$.

Прибавим полученную целую часть к уже имеющейся: $4 + 1\frac{1}{4} = 5\frac{1}{4}$.

Ответ: $5\frac{1}{4}$

б) $3\frac{2}{7} - \frac{6}{7}$

Дробная часть уменьшаемого ($\frac{2}{7}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{6}{7}$), поэтому необходимо "занять" единицу у целой части (у числа 3) и представить ее в виде дроби $\frac{7}{7}$.

$3\frac{2}{7} = 2 + 1 + \frac{2}{7} = 2 + \frac{7}{7} + \frac{2}{7} = 2\frac{9}{7}$

Теперь произведем вычитание:

$2\frac{9}{7} - \frac{6}{7} = 2\frac{9-6}{7} = 2\frac{3}{7}$

Ответ: $2\frac{3}{7}$

в) $3\frac{1}{4} \cdot \frac{2}{5}$

Для выполнения умножения преобразуем смешанное число в неправильную дробь:

$3\frac{1}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{13}{4}$

Теперь умножим дроби, предварительно сократив их:

$\frac{13}{4} \cdot \frac{2}{5} = \frac{13 \cdot 2}{4 \cdot 5} = \frac{13}{2 \cdot 5} = \frac{13}{10}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{13}{10} = 1\frac{3}{10}$

Ответ: $1\frac{3}{10}$

г) $20 : 2\frac{1}{2}$

Для выполнения деления преобразуем делитель в неправильную дробь:

$2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}$

Деление на дробь заменяется умножением на обратную (перевернутую) дробь:

$20 : \frac{5}{2} = \frac{20}{1} \cdot \frac{2}{5} = \frac{20 \cdot 2}{5}$

Сократим 20 и 5, разделив их на 5:

$\frac{4 \cdot 2}{1} = 8$

Ответ: 8

4. Старший брат покрасил $\frac{7}{10}$ забора, а младший $\frac{1}{4}$. Какая часть забора осталась непокрашенной?

Для того чтобы узнать, какая часть забора осталась непокрашенной, нужно сначала найти, какую часть забора покрасили оба брата вместе, а затем вычесть эту часть из целого (весь забор).

1. Найдем общую часть забора, покрашенную обоими братьями.
Для этого необходимо сложить дроби, соответствующие частям, которые покрасил каждый брат: $ \frac{7}{10} $ и $ \frac{1}{4} $. Чтобы сложить дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для 10 и 4 является 20.
Приводим каждую дробь к знаменателю 20:
Дополнительный множитель для первой дроби: $ 20 \div 10 = 2 $.
$ \frac{7}{10} = \frac{7 \cdot 2}{10 \cdot 2} = \frac{14}{20} $
Дополнительный множитель для второй дроби: $ 20 \div 4 = 5 $.
$ \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{5}{20} $
Теперь складываем полученные дроби:
$ \frac{14}{20} + \frac{5}{20} = \frac{14 + 5}{20} = \frac{19}{20} $
Таким образом, оба брата вместе покрасили $ \frac{19}{20} $ забора.

2. Найдем непокрашенную часть забора.
Весь забор принимается за единицу (1). Чтобы найти оставшуюся часть, нужно из целого вычесть покрашенную часть:
$ 1 - \frac{19}{20} $
Представим 1 в виде дроби со знаменателем 20: $ 1 = \frac{20}{20} $.
Выполним вычитание:
$ \frac{20}{20} - \frac{19}{20} = \frac{20 - 19}{20} = \frac{1}{20} $
Следовательно, $ \frac{1}{20} $ часть забора осталась непокрашенной.

Ответ: $ \frac{1}{20} $

5 В одной коробке $7\frac{1}{2}$ кг яблок, а в другой - в 3 раза меньше. Сколько килограммов яблок в двух коробках?

Для решения задачи необходимо выполнить два действия: сначала найти массу яблок во второй коробке, а затем сложить массы яблок в обеих коробках.

1. Найдем массу яблок во второй коробке. В первой коробке $7\frac{1}{2}$ кг яблок, а во второй — в 3 раза меньше. Чтобы найти массу, нужно разделить количество яблок в первой коробке на 3. Для удобства вычислений преобразуем смешанное число $7\frac{1}{2}$ в неправильную дробь:

$7\frac{1}{2} = \frac{7 \times 2 + 1}{2} = \frac{15}{2}$ кг

Теперь разделим полученное значение на 3:

$\frac{15}{2} \div 3 = \frac{15}{2 \times 3} = \frac{15}{6}$ кг

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3, и преобразуем ее обратно в смешанное число:

$\frac{15}{6} = \frac{5}{2} = 2\frac{1}{2}$ кг

Таким образом, во второй коробке $2\frac{1}{2}$ кг яблок.

2. Теперь найдем общую массу яблок в двух коробках, сложив массу яблок из первой и второй коробок:

$7\frac{1}{2} + 2\frac{1}{2} = (7+2) + (\frac{1}{2}+\frac{1}{2}) = 9 + 1 = 10$ кг

Ответ: 10 кг.

6 Найдите значение выражения:

а) $\frac{3}{7} \cdot \left(\frac{1}{4} + \frac{4}{9}\right)$;

б) $\frac{4}{5} - \frac{1}{4} : \frac{5}{6}$.

а) $ \frac{3}{7} \cdot \left(\frac{1}{4} + \frac{4}{9}\right) $

1. Сначала выполним действие в скобках — сложение дробей. Для этого найдем общий знаменатель. Наименьшее общее кратное для чисел 4 и 9 равно 36.

$ \frac{1}{4} + \frac{4}{9} = \frac{1 \cdot 9}{4 \cdot 9} + \frac{4 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{9}{36} + \frac{16}{36} = \frac{9+16}{36} = \frac{25}{36} $

2. Теперь умножим результат на дробь $ \frac{3}{7} $. Перед умножением можно сократить числитель первой дроби (3) и знаменатель второй дроби (36) на 3.

$ \frac{3}{7} \cdot \frac{25}{36} = \frac{3 \cdot 25}{7 \cdot 36} = \frac{1 \cdot 25}{7 \cdot 12} = \frac{25}{84} $

Ответ: $ \frac{25}{84} $

б) $ \frac{4}{5} - \frac{1}{4} : \frac{5}{6} $

1. Согласно порядку действий, сначала выполняем деление. Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь.

$ \frac{1}{4} : \frac{5}{6} = \frac{1}{4} \cdot \frac{6}{5} = \frac{1 \cdot 6}{4 \cdot 5} = \frac{6}{20} $

2. Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2.

$ \frac{6}{20} = \frac{3}{10} $

3. Теперь выполним вычитание. Приведем дроби к общему знаменателю. Общий знаменатель для 5 и 10 — это 10.

$ \frac{4}{5} - \frac{3}{10} = \frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 2} - \frac{3}{10} = \frac{8}{10} - \frac{3}{10} = \frac{8-3}{10} = \frac{5}{10} $

4. Сократим итоговую дробь, разделив числитель и знаменатель на 5.

$ \frac{5}{10} = \frac{1}{2} $

Ответ: $ \frac{1}{2} $

7 1) Расскажите, как решают задачи на нахождение части целого, целого по его части и решите задачу:

а) Для ремонта привезли 36 кг краски. Израсходовали $\frac{4}{9}$ всей краски. Сколько килограммов краски израсходовали?

б) Математический кружок посещают 40 пятиклассников, что составляет $\frac{5}{16}$ всех пятиклассников школы. Сколько всего учащихся в пятых классах этой школы?

Существует два основных типа задач, связанных с дробями: нахождение части от целого и нахождение целого по его части.

• Нахождение части от целого: Чтобы найти часть от числа, выраженную дробью, нужно это число (целое) умножить на данную дробь. Правило можно сформулировать так: целое число делится на знаменатель дроби, и полученный результат умножается на числитель.
• Нахождение целого по его части: Чтобы найти целое число по известной его части, выраженной дробью, нужно эту часть разделить на данную дробь. Правило можно сформулировать так: известная часть числа делится на числитель дроби, и полученный результат умножается на знаменатель.

а)

В данной задаче нам известно целое — общее количество краски (36 кг). Нам нужно найти его часть — $\frac{4}{9}$. Это задача на нахождение части от целого.

Чтобы найти, сколько килограммов краски израсходовали, нужно общее количество краски умножить на дробь, обозначающую израсходованную часть:

$36 \cdot \frac{4}{9} = \frac{36 \cdot 4}{9} = \frac{144}{9} = 16$ (кг)

Другой способ — по действиям:

1) Сначала найдем, сколько килограммов составляет одна девятая часть ($\frac{1}{9}$) всей краски. Для этого разделим целое на знаменатель:

$36 \div 9 = 4$ (кг)

2) Теперь найдем, сколько килограммов составляют четыре таких части ($\frac{4}{9}$). Для этого умножим полученный результат на числитель:

$4 \cdot 4 = 16$ (кг)

Ответ: 16 кг.

б)

В этой задаче нам известна часть — количество пятиклассников в кружке (40 человек), и мы знаем, какую долю ($\frac{5}{16}$) они составляют от целого. Нам нужно найти целое — общее количество пятиклассников в школе. Это задача на нахождение целого по его части.

Чтобы найти общее количество учащихся, нужно известную часть разделить на дробь, которую эта часть составляет:

$40 \div \frac{5}{16} = 40 \cdot \frac{16}{5} = \frac{40 \cdot 16}{5} = 8 \cdot 16 = 128$ (учащихся)

Другой способ — по действиям:

1) Сначала найдем, сколько учащихся составляет одна шестнадцатая часть ($\frac{1}{16}$). Для этого разделим известную нам часть на числитель дроби:

$40 \div 5 = 8$ (учащихся)

2) Теперь, зная, сколько составляет одна часть, найдем целое (16 таких частей). Для этого умножим полученный результат на знаменатель:

$8 \cdot 16 = 128$ (учащихся)

Ответ: 128 учащихся.