Страница 167 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

589 В чайнике $2\frac{1}{5}$ л воды. В каждую чашку хотят налить $\frac{1}{4}$ л воды. Сколько полных чашек получится?

Для того чтобы найти количество полных чашек, необходимо общий объем воды в чайнике разделить на объем воды, который наливают в одну чашку.

1. Переведем смешанное число, обозначающее объем воды в чайнике, в неправильную дробь:

$2\frac{1}{5} = \frac{2 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{11}{5}$ л

2. Теперь разделим полученный объем воды на объем одной чашки. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$\frac{11}{5} \div \frac{1}{4} = \frac{11}{5} \cdot \frac{4}{1} = \frac{11 \cdot 4}{5 \cdot 1} = \frac{44}{5}$

3. В результате мы получили общее количество чашек, которое можно наполнить. Чтобы узнать, сколько из них будет полных, выделим целую часть из неправильной дроби $\frac{44}{5}$:

$\frac{44}{5} = 8\frac{4}{5}$

Полученное число означает, что можно наполнить 8 полных чашек, и еще останется вода для $\frac{4}{5}$ части девятой чашки. Поскольку вопрос стоит о количестве именно полных чашек, мы берем только целую часть от результата.

Ответ: 8

590 Мама сварила 2 кг варенья и хочет разложить его в баночки, каждая из которых вмещает $\frac{3}{10}$ кг варенья. Сколько таких баночек потребуется?

Чтобы найти количество баночек, которое потребуется для всего варенья, нужно общую массу варенья разделить на вместимость одной баночки.

Общая масса варенья: $2$ кг.
Вместимость одной баночки: $\frac{3}{10}$ кг.

Выполним деление:

$2 \div \frac{3}{10}$

Чтобы разделить целое число на дробь, нужно умножить это число на дробь, обратную делителю (перевернутую дробь):

$2 \times \frac{10}{3} = \frac{2 \times 10}{3} = \frac{20}{3}$

Теперь представим неправильную дробь в виде смешанного числа, чтобы понять, сколько полных баночек получится:

$\frac{20}{3} = 6 \frac{2}{3}$

Результат $6 \frac{2}{3}$ означает, что 6 баночек будут полностью заполнены, а для оставшейся части варенья (которая составит $\frac{2}{3}$ от объема баночки) понадобится еще одна, седьмая баночка. Таким образом, чтобы разложить всё варенье, потребуется 7 баночек.

Ответ: 7 баночек.

591 а) За $2\frac{2}{3}$ ч автомобиль прошёл $40\frac{1}{2}$ км. Найдите скорость автомобиля.

б) Скорость велосипедиста $10\frac{1}{2}$ км/ч. За какое время он проедет 7 км?

в) За $2\frac{2}{3}$ ч велосипедист проехал 24 км. За какое время он проедет 30 км?

а) Чтобы найти скорость автомобиля, нужно разделить пройденное расстояние на затраченное время. Формула скорости: $v = s / t$.
Дано: расстояние $s = 40\frac{1}{2}$ км, время $t = \frac{2}{3}$ ч.
Сначала представим расстояние в виде неправильной дроби:$40\frac{1}{2} = \frac{40 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{81}{2}$ км.
Теперь найдём скорость, разделив расстояние на время:$v = \frac{81}{2} \div \frac{2}{3} = \frac{81}{2} \cdot \frac{3}{2} = \frac{81 \cdot 3}{2 \cdot 2} = \frac{243}{4}$ км/ч.
Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:$\frac{243}{4} = 60\frac{3}{4}$ км/ч.
Ответ: $60\frac{3}{4}$ км/ч.

б) Чтобы найти время, нужно разделить расстояние на скорость. Формула времени: $t = s / v$.
Дано: скорость $v = 10\frac{1}{2}$ км/ч, расстояние $s = 7$ км.
Представим скорость в виде неправильной дроби:$10\frac{1}{2} = \frac{10 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{21}{2}$ км/ч.
Теперь найдём время:$t = 7 \div \frac{21}{2} = 7 \cdot \frac{2}{21} = \frac{7 \cdot 2}{21} = \frac{14}{21}$ ч.
Сократим полученную дробь:$\frac{14}{21} = \frac{14 \div 7}{21 \div 7} = \frac{2}{3}$ ч.
Ответ: $\frac{2}{3}$ ч.

в) Эта задача решается в два действия. Сначала найдём скорость велосипедиста, а затем, используя эту скорость, найдём время, за которое он проедет 30 км.
1. Найдём скорость велосипедиста.Дано: расстояние $s_1 = 24$ км, время $t_1 = 2\frac{2}{3}$ ч.
Представим время в виде неправильной дроби: $2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$ ч.
Скорость $v = s_1 \div t_1 = 24 \div \frac{8}{3} = 24 \cdot \frac{3}{8} = \frac{24 \cdot 3}{8} = 3 \cdot 3 = 9$ км/ч.
2. Найдём время, за которое велосипедист проедет 30 км.Дано: расстояние $s_2 = 30$ км, скорость $v = 9$ км/ч.
Время $t_2 = s_2 \div v = 30 \div 9 = \frac{30}{9}$ ч.
Сократим дробь и преобразуем её в смешанное число:$\frac{30}{9} = \frac{10}{3} = 3\frac{1}{3}$ ч.
Ответ: $3\frac{1}{3}$ ч.

592 a) Площадь комнаты прямоугольной формы $19 \frac{1}{4}$ м$^2$, длина одной из её сторон $5 \frac{1}{2}$ м. Найдите длину другой её стороны.

б) Площадь спортивного зала прямоугольной формы $132$ м$^2$, длина меньшей его стороны равна $10 \frac{1}{2}$ м. Найдите длину большей его стороны.

а)

Площадь прямоугольника ($S$) вычисляется по формуле $S = a \cdot b$, где $a$ и $b$ — длины его сторон. Чтобы найти длину неизвестной стороны, нужно площадь разделить на длину известной стороны.

По условию:
Площадь комнаты $S = 19\frac{1}{4}$ м².
Длина одной из сторон $a = 5\frac{1}{2}$ м.

Для удобства вычислений преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:
$S = 19\frac{1}{4} = \frac{19 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{77}{4}$ м².
$a = 5\frac{1}{2} = \frac{5 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{11}{2}$ м.

Теперь найдем длину второй стороны $b$, разделив площадь на длину известной стороны:
$b = S \div a = \frac{77}{4} \div \frac{11}{2}$

Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:
$b = \frac{77}{4} \cdot \frac{2}{11} = \frac{77 \cdot 2}{4 \cdot 11}$

Сократим полученную дробь:
$b = \frac{^7\cancel{77} \cdot ^1\cancel{2}}{^2\cancel{4} \cdot ^1\cancel{11}} = \frac{7 \cdot 1}{2 \cdot 1} = \frac{7}{2}$ м.

Преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число:
$b = \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2}$ м.

Ответ: $3\frac{1}{2}$ м.

б)

Используем ту же формулу площади прямоугольника $S = a \cdot b$. Чтобы найти длину большей стороны, нужно площадь разделить на длину меньшей стороны.

По условию:
Площадь спортивного зала $S = 132$ м².
Длина меньшей стороны $a = 10\frac{1}{2}$ м.

Преобразуем длину меньшей стороны в неправильную дробь:
$a = 10\frac{1}{2} = \frac{10 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{21}{2}$ м.

Найдем длину большей стороны $b$, разделив площадь на длину меньшей стороны:
$b = S \div a = 132 \div \frac{21}{2}$

Чтобы разделить число на дробь, нужно это число умножить на дробь, обратную данной:
$b = 132 \cdot \frac{2}{21} = \frac{132 \cdot 2}{21}$

Сократим дробь, заметив, что 132 и 21 делятся на 3:
$b = \frac{(132 \div 3) \cdot 2}{(21 \div 3)} = \frac{44 \cdot 2}{7} = \frac{88}{7}$ м.

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:
$b = \frac{88}{7} = 12\frac{4}{7}$ м.

Ответ: $12\frac{4}{7}$ м.

593 Какую часть стены маляр красит за 1 ч, если всю стену он покрасит:

а) за 3 ч;

б) за $3\frac{3}{5}$ ч;

в) за $1\frac{1}{2}$ ч?

а) за 3 ч;
Чтобы найти, какую часть стены маляр красит за 1 час, необходимо всю работу (покраску одной стены, принимаемую за 1) разделить на общее время, затраченное на эту работу. Если на покраску всей стены уходит 3 часа, то за 1 час маляр выполнит часть работы, равную:
$1 \div 3 = \frac{1}{3}$
Таким образом, за 1 час маляр покрасит $\frac{1}{3}$ стены.
Ответ: $\frac{1}{3}$

б) за 3 3/5 ч;
Сначала представим время, затраченное на покраску всей стены, в виде неправильной дроби:
$3 \frac{3}{5} \text{ ч} = \frac{3 \times 5 + 3}{5} \text{ ч} = \frac{18}{5} \text{ ч}$
Теперь, чтобы найти, какую часть стены маляр красит за 1 час, разделим 1 (вся стена) на это время. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:
$1 \div \frac{18}{5} = 1 \times \frac{5}{18} = \frac{5}{18}$
Следовательно, за 1 час маляр покрасит $\frac{5}{18}$ стены.
Ответ: $\frac{5}{18}$

в) за 1 1/2 ч?
Переведем время выполнения всей работы из смешанного числа в неправильную дробь:
$1 \frac{1}{2} \text{ ч} = \frac{1 \times 2 + 1}{2} \text{ ч} = \frac{3}{2} \text{ ч}$
Чтобы найти производительность маляра (какую часть стены он красит за 1 час), разделим единицу (вся работа) на затраченное время:
$1 \div \frac{3}{2} = 1 \times \frac{2}{3} = \frac{2}{3}$
Таким образом, за 1 час маляр покрасит $\frac{2}{3}$ стены.
Ответ: $\frac{2}{3}$

594 Найдите неизвестное число:

а) $\frac{1}{3} \cdot x = \frac{1}{6};$

б) $\frac{2}{5} \cdot x = 1\frac{1}{5};$

в) $\frac{2}{3} \cdot x = 1;$

г) $x \cdot 6 = \frac{1}{5};$

д) $x \cdot 6 = 4;$

е) $3 \cdot x = \frac{1}{3}.$

а) Дано уравнение: $ \frac{1}{3} \cdot x = \frac{1}{6} $. В этом уравнении $x$ является неизвестным множителем. Чтобы найти неизвестный множитель, нужно произведение (в данном случае $\frac{1}{6}$) разделить на известный множитель ($\frac{1}{3}$).

$x = \frac{1}{6} : \frac{1}{3}$

Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$x = \frac{1}{6} \cdot \frac{3}{1} = \frac{1 \cdot 3}{6 \cdot 1} = \frac{3}{6}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$x = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

б) Дано уравнение: $ \frac{2}{5} \cdot x = 1\frac{1}{5} $. Сначала преобразуем смешанное число $1\frac{1}{5}$ в неправильную дробь.

$1\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{6}{5}$

Теперь уравнение имеет вид: $\frac{2}{5} \cdot x = \frac{6}{5}$.

Чтобы найти неизвестный множитель $x$, разделим произведение ($\frac{6}{5}$) на известный множитель ($\frac{2}{5}$):

$x = \frac{6}{5} : \frac{2}{5} = \frac{6}{5} \cdot \frac{5}{2} = \frac{6 \cdot 5}{5 \cdot 2}$

Сократим 5 в числителе и знаменателе, а также разделим 6 на 2:

$x = \frac{6}{2} = 3$

Ответ: 3

в) Дано уравнение: $ \frac{2}{3} \cdot x = 1 $. Чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение (1) разделить на известный множитель ($\frac{2}{3}$).

$x = 1 : \frac{2}{3}$

Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$x = 1 \cdot \frac{3}{2} = \frac{3}{2}$

Представим результат в виде смешанного числа:

$x = 1\frac{1}{2}$

Ответ: $1\frac{1}{2}$

г) Дано уравнение: $ x \cdot 6 = \frac{1}{5} $. Здесь $x$ — неизвестный множитель. Чтобы его найти, нужно произведение ($\frac{1}{5}$) разделить на известный множитель (6).

$x = \frac{1}{5} : 6$

Представим 6 в виде дроби $\frac{6}{1}$ и выполним деление:

$x = \frac{1}{5} : \frac{6}{1} = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 1}{5 \cdot 6} = \frac{1}{30}$

Ответ: $\frac{1}{30}$

д) Дано уравнение: $ x \cdot 6 = 4 $. Чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение (4) разделить на известный множитель (6).

$x = 4 : 6 = \frac{4}{6}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 2:

$x = \frac{2}{3}$

Ответ: $\frac{2}{3}$

е) Дано уравнение: $ 3 \cdot x = \frac{1}{3} $. Чтобы найти неизвестный множитель $x$, нужно произведение ($\frac{1}{3}$) разделить на известный множитель (3).

$x = \frac{1}{3} : 3$

Представим 3 в виде дроби $\frac{3}{1}$ и выполним деление:

$x = \frac{1}{3} : \frac{3}{1} = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 3} = \frac{1}{9}$

Ответ: $\frac{1}{9}$

595 a) $\left(\frac{5}{6} - \frac{2}{3}\right) : \frac{8}{9};$

б) $\frac{2}{3} : \left(\frac{2}{5} + \frac{4}{15}\right);$

в) $10 : \frac{2}{5} - \frac{3}{10};$

г) $\left(1\frac{1}{2} + \frac{3}{8}\right) : 3.$

а) $(\frac{5}{6}-\frac{2}{3}):\frac{8}{9}$

1. Первым действием выполним вычитание в скобках. Для этого необходимо привести дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 6 и 3 это 6.

$\frac{5}{6} - \frac{2}{3} = \frac{5}{6} - \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{5}{6} - \frac{4}{6} = \frac{5-4}{6} = \frac{1}{6}$

2. Вторым действием выполним деление. Деление на дробь равносильно умножению на обратную (перевернутую) дробь.

$\frac{1}{6} : \frac{8}{9} = \frac{1}{6} \cdot \frac{9}{8} = \frac{1 \cdot 9}{6 \cdot 8} = \frac{9}{48}$

3. Сократим полученную дробь. И числитель, и знаменатель делятся на 3.

$\frac{9}{48} = \frac{9 \div 3}{48 \div 3} = \frac{3}{16}$

Ответ: $\frac{3}{16}$.

б) $\frac{2}{3}:(\frac{2}{5}+\frac{4}{15})$

1. Сначала выполним сложение в скобках. Приведем дроби к общему знаменателю 15.

$\frac{2}{5} + \frac{4}{15} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{4}{15} = \frac{6}{15} + \frac{4}{15} = \frac{6+4}{15} = \frac{10}{15}$

2. Сократим полученную в скобках дробь. Числитель и знаменатель делятся на 5.

$\frac{10}{15} = \frac{10 \div 5}{15 \div 5} = \frac{2}{3}$

3. Теперь выполним деление.

$\frac{2}{3} : \frac{2}{3} = 1$

Ответ: $1$.

в) $10:\frac{2}{5}-\frac{3}{10}$

1. Согласно порядку выполнения арифметических действий, сначала выполняется деление, а затем вычитание.

$10 : \frac{2}{5} = \frac{10}{1} \cdot \frac{5}{2} = \frac{10 \cdot 5}{1 \cdot 2} = \frac{50}{2} = 25$

2. Теперь выполним вычитание.

$25 - \frac{3}{10} = \frac{25 \cdot 10}{10} - \frac{3}{10} = \frac{250}{10} - \frac{3}{10} = \frac{250-3}{10} = \frac{247}{10}$

3. Представим неправильную дробь в виде смешанного числа.

$\frac{247}{10} = 24\frac{7}{10}$

Ответ: $24\frac{7}{10}$.

г) $(1\frac{1}{2}+\frac{3}{8}):3$

1. Первым действием выполним сложение в скобках. Для этого сначала переведем смешанное число $1\frac{1}{2}$ в неправильную дробь.

$1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$

2. Теперь сложим дроби, приведя их к общему знаменателю 8.

$\frac{3}{2} + \frac{3}{8} = \frac{3 \cdot 4}{2 \cdot 4} + \frac{3}{8} = \frac{12}{8} + \frac{3}{8} = \frac{12+3}{8} = \frac{15}{8}$

3. Выполним деление. Представим целое число 3 как дробь $\frac{3}{1}$ и заменим деление умножением на обратную дробь.

$\frac{15}{8} : 3 = \frac{15}{8} : \frac{3}{1} = \frac{15}{8} \cdot \frac{1}{3} = \frac{15 \cdot 1}{8 \cdot 3} = \frac{15}{24}$

4. Сократим полученную дробь. Числитель и знаменатель делятся на 3.

$\frac{15}{24} = \frac{15 \div 3}{24 \div 3} = \frac{5}{8}$

Ответ: $\frac{5}{8}$.

596 a) $(\frac{1}{2} - \frac{1}{3});$

б) $(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) : (2 - \frac{5}{6});$

В) $(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{2}{5}) : \frac{4}{5}.$

а) $(1 - \frac{1}{2}) : (\frac{1}{2} - \frac{1}{3})$

1. Вычислим значение выражения в первых скобках:

$1 - \frac{1}{2} = \frac{2}{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

2. Вычислим значение выражения во вторых скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю 6:

$\frac{1}{2} - \frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{3}{6} - \frac{2}{6} = \frac{1}{6}$

3. Выполним деление результатов. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$\frac{1}{2} : \frac{1}{6} = \frac{1}{2} \cdot \frac{6}{1} = \frac{6}{2} = 3$

Ответ: 3

б) $(\frac{1}{3} + \frac{1}{4}) : (2 - \frac{5}{6})$

1. Выполним сложение в первых скобках. Общий знаменатель для дробей $\frac{1}{3}$ и $\frac{1}{4}$ равен 12:

$\frac{1}{3} + \frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} + \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{4}{12} + \frac{3}{12} = \frac{7}{12}$

2. Выполним вычитание во вторых скобках. Представим число 2 в виде дроби со знаменателем 6:

$2 - \frac{5}{6} = \frac{2 \cdot 6}{6} - \frac{5}{6} = \frac{12}{6} - \frac{5}{6} = \frac{7}{6}$

3. Выполним деление результатов:

$\frac{7}{12} : \frac{7}{6} = \frac{7}{12} \cdot \frac{6}{7} = \frac{\cancel{7} \cdot 6}{12 \cdot \cancel{7}} = \frac{6}{12}$

Сократим полученную дробь на 6:

$\frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

Ответ: $\frac{1}{2}$

в) $(\frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{2}{5}) : \frac{4}{5}$

1. Выполним действия в скобках. Найдем наименьший общий знаменатель для дробей $\frac{1}{2}$, $\frac{1}{4}$ и $\frac{2}{5}$, который равен 20.

Приведем дроби к общему знаменателю:

$\frac{1}{2} + \frac{1}{4} - \frac{2}{5} = \frac{1 \cdot 10}{2 \cdot 10} + \frac{1 \cdot 5}{4 \cdot 5} - \frac{2 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{10}{20} + \frac{5}{20} - \frac{8}{20}$

Теперь сложим и вычтем числители:

$\frac{10 + 5 - 8}{20} = \frac{15 - 8}{20} = \frac{7}{20}$

2. Теперь разделим результат, полученный в скобках, на дробь $\frac{4}{5}$:

$\frac{7}{20} : \frac{4}{5} = \frac{7}{20} \cdot \frac{5}{4}$

Сократим дробь перед умножением, разделив 20 и 5 на 5:

$\frac{7}{\cancel{20}_4} \cdot \frac{\cancel{5}^1}{4} = \frac{7 \cdot 1}{4 \cdot 4} = \frac{7}{16}$

Ответ: $\frac{7}{16}$

597 a) $(\frac{3}{4} + \frac{1}{6}) \cdot 3 + (\frac{5}{6} - \frac{1}{2}) : \frac{2}{9}$

б) $(1\frac{1}{5} + 2\frac{3}{10}) : \frac{1}{2} + (6\frac{3}{4} - 2\frac{2}{3}) : 1\frac{1}{6}$

а) $(\frac{3}{4} + \frac{1}{6}) \cdot 3 + (\frac{5}{6} - \frac{1}{2}) : \frac{2}{9}$

Решим пример по действиям, соблюдая правильный порядок: сначала действия в скобках, затем умножение и деление, и в конце сложение.

1. Выполним сложение в первых скобках. Для этого приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 6 это 12.

$\frac{3}{4} + \frac{1}{6} = \frac{3 \cdot 3}{4 \cdot 3} + \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{9}{12} + \frac{2}{12} = \frac{9+2}{12} = \frac{11}{12}$

2. Теперь умножим результат первого действия на 3.

$\frac{11}{12} \cdot 3 = \frac{11 \cdot 3}{12} = \frac{33}{12}$

Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на 3:

$\frac{33 \div 3}{12 \div 3} = \frac{11}{4}$

3. Выполним вычитание во вторых скобках. Общий знаменатель для 6 и 2 это 6.

$\frac{5}{6} - \frac{1}{2} = \frac{5}{6} - \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{5}{6} - \frac{3}{6} = \frac{5-3}{6} = \frac{2}{6}$

Сократим дробь:

$\frac{2 \div 2}{6 \div 2} = \frac{1}{3}$

4. Разделим результат третьего действия на $\frac{2}{9}$. Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь (перевернутую).

$\frac{1}{3} : \frac{2}{9} = \frac{1}{3} \cdot \frac{9}{2} = \frac{1 \cdot 9}{3 \cdot 2} = \frac{9}{6}$

Сократим дробь на 3:

$\frac{9 \div 3}{6 \div 3} = \frac{3}{2}$

5. Сложим результаты второго и четвертого действий.

$\frac{11}{4} + \frac{3}{2}$

Приведем дроби к общему знаменателю 4:

$\frac{11}{4} + \frac{3 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{11}{4} + \frac{6}{4} = \frac{11+6}{4} = \frac{17}{4}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$\frac{17}{4} = 4\frac{1}{4}$

Ответ: $4\frac{1}{4}$

б) $(1\frac{1}{5} + 2\frac{3}{10}) : \frac{1}{2} + (6\frac{3}{4} - 2\frac{2}{3}) : 1\frac{1}{6}$

Решим пример по действиям. Сначала выполним операции в скобках, затем деление, и в конце сложение.

1. Выполним сложение в первых скобках. Для удобства преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.

$1\frac{1}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{6}{5}$

$2\frac{3}{10} = \frac{2 \cdot 10 + 3}{10} = \frac{23}{10}$

Теперь сложим дроби, приведя их к общему знаменателю 10:

$\frac{6}{5} + \frac{23}{10} = \frac{6 \cdot 2}{5 \cdot 2} + \frac{23}{10} = \frac{12}{10} + \frac{23}{10} = \frac{35}{10}$

Сократим дробь на 5:

$\frac{35 \div 5}{10 \div 5} = \frac{7}{2}$

2. Разделим результат первого действия на $\frac{1}{2}$.

$\frac{7}{2} : \frac{1}{2} = \frac{7}{2} \cdot \frac{2}{1} = \frac{7 \cdot 2}{2 \cdot 1} = \frac{14}{2} = 7$

3. Выполним вычитание во вторых скобках. Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.

$6\frac{3}{4} = \frac{6 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{27}{4}$

$2\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{8}{3}$

Приведем дроби к общему знаменателю 12:

$\frac{27}{4} - \frac{8}{3} = \frac{27 \cdot 3}{4 \cdot 3} - \frac{8 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{81}{12} - \frac{32}{12} = \frac{81 - 32}{12} = \frac{49}{12}$

4. Разделим результат третьего действия на $1\frac{1}{6}$. Сначала преобразуем $1\frac{1}{6}$ в неправильную дробь.

$1\frac{1}{6} = \frac{1 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{7}{6}$

Теперь выполним деление:

$\frac{49}{12} : \frac{7}{6} = \frac{49}{12} \cdot \frac{6}{7}$

Сократим дроби перед умножением (49 и 7 на 7; 12 и 6 на 6):

$\frac{49 \div 7}{12 \div 6} \cdot \frac{6 \div 6}{7 \div 7} = \frac{7}{2} \cdot \frac{1}{1} = \frac{7}{2}$

5. Сложим результаты второго и четвертого действий.

$7 + \frac{7}{2}$

Преобразуем $\frac{7}{2}$ в смешанное число: $\frac{7}{2} = 3\frac{1}{2}$

$7 + 3\frac{1}{2} = 10\frac{1}{2}$

Ответ: $10\frac{1}{2}$

598 а) $\left(\frac{7}{15} + \frac{7}{30} + \frac{4}{5}\right) : \left(2 - \frac{1}{3} - \frac{1}{2}\right);$

б) $17 : \left(\frac{3}{5} + \frac{1}{4}\right) + \left(\frac{7}{8} - \frac{1}{4}\right) \cdot \left(\frac{4}{5}\right)^2.$

а) $(\frac{7}{15} + \frac{7}{30} + \frac{4}{5}) : (2 - \frac{1}{3} - \frac{1}{2})$

Решим пример по действиям.

1. Выполним действие в первой скобке (сложение дробей). Для этого приведем все дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 15, 30 и 5 равен 30.

$\frac{7}{15} + \frac{7}{30} + \frac{4}{5} = \frac{7 \cdot 2}{15 \cdot 2} + \frac{7}{30} + \frac{4 \cdot 6}{5 \cdot 6} = \frac{14}{30} + \frac{7}{30} + \frac{24}{30} = \frac{14+7+24}{30} = \frac{45}{30}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 15:

$\frac{45}{30} = \frac{3}{2}$

2. Выполним действие во второй скобке (вычитание дробей). Представим 2 как $\frac{2}{1}$ и приведем все дроби к общему знаменателю 6.

$2 - \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{2}{1} - \frac{1}{3} - \frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 6}{1 \cdot 6} - \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} - \frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{12}{6} - \frac{2}{6} - \frac{3}{6} = \frac{12-2-3}{6} = \frac{7}{6}$

3. Теперь разделим результат первого действия на результат второго. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь.

$\frac{3}{2} : \frac{7}{6} = \frac{3}{2} \cdot \frac{6}{7} = \frac{3 \cdot 6}{2 \cdot 7} = \frac{18}{14}$

Сократим полученную дробь на 2 и выделим целую часть:

$\frac{18}{14} = \frac{9}{7} = 1\frac{2}{7}$

Ответ: $1\frac{2}{7}$.

б) $17 : (\frac{3}{5} + \frac{1}{4}) + (\frac{7}{8} - \frac{1}{4}) \cdot (\frac{4}{5})^2$

Решим пример по действиям, соблюдая порядок их выполнения: действия в скобках, возведение в степень, деление и умножение, сложение.

1. Выполним сложение в первых скобках. Общий знаменатель для 5 и 4 равен 20.

$\frac{3}{5} + \frac{1}{4} = \frac{3 \cdot 4}{5 \cdot 4} + \frac{1 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{12}{20} + \frac{5}{20} = \frac{17}{20}$

2. Выполним вычитание во вторых скобках. Общий знаменатель для 8 и 4 равен 8.

$\frac{7}{8} - \frac{1}{4} = \frac{7}{8} - \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{7}{8} - \frac{2}{8} = \frac{5}{8}$

3. Возведем дробь в степень.

$(\frac{4}{5})^2 = \frac{4^2}{5^2} = \frac{16}{25}$

4. Выполним деление: $17 : \frac{17}{20}$.

$17 : \frac{17}{20} = \frac{17}{1} \cdot \frac{20}{17} = \frac{17 \cdot 20}{17} = 20$

5. Выполним умножение: $\frac{5}{8} \cdot \frac{16}{25}$.

$\frac{5}{8} \cdot \frac{16}{25} = \frac{5 \cdot 16}{8 \cdot 25} = \frac{1 \cdot 2}{1 \cdot 5} = \frac{2}{5}$ (сократили 5 и 25 на 5, а 8 и 16 на 8)

6. Выполним сложение результатов 4-го и 5-го действий.

$20 + \frac{2}{5} = 20\frac{2}{5}$

Ответ: $20\frac{2}{5}$.