Страница 166 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

577 Укажите дробь, обратную данной:

а) $\frac{3}{7}$;

б) $\frac{7}{9}$;

в) $\frac{12}{5}$;

г) $\frac{9}{4}$;

д) $\frac{1}{3}$;

е) $\frac{m}{n}$.

Два числа, произведение которых равно 1, называются взаимно обратными. Чтобы найти дробь, обратную данной, нужно поменять местами её числитель и знаменатель. Таким образом, для дроби $\frac{a}{b}$ обратной будет дробь $\frac{b}{a}$ (при условии, что $a \ne 0$ и $b \ne 0$).

а) Дана дробь $\frac{3}{7}$. Числитель равен 3, а знаменатель равен 7. Чтобы найти обратную дробь, меняем их местами. Получаем дробь с числителем 7 и знаменателем 3.
Ответ: $\frac{7}{3}$.

б) Дана дробь $\frac{7}{9}$. Числитель равен 7, а знаменатель равен 9. Обратная дробь будет иметь числитель 9 и знаменатель 7.
Ответ: $\frac{9}{7}$.

в) Дана дробь $\frac{12}{5}$. Числитель равен 12, а знаменатель равен 5. Обратная дробь будет иметь числитель 5 и знаменатель 12.
Ответ: $\frac{5}{12}$.

г) Дана дробь $\frac{9}{4}$. Числитель равен 9, а знаменатель равен 4. Обратная дробь будет иметь числитель 4 и знаменатель 9.
Ответ: $\frac{4}{9}$.

д) Дана дробь $\frac{1}{3}$. Числитель равен 1, а знаменатель равен 3. Обратная дробь будет иметь числитель 3 и знаменатель 1. Дробь $\frac{3}{1}$ равна целому числу 3.
Ответ: $\frac{3}{1}$.

е) Дана дробь $\frac{m}{n}$. Числитель равен $m$, а знаменатель равен $n$. При условии, что $m$ и $n$ не равны нулю, обратная дробь будет иметь числитель $n$ и знаменатель $m$.
Ответ: $\frac{n}{m}$.

578 Найдите произведение:

a) $\frac{3}{8} \cdot \frac{8}{3}$;

б) $\frac{8}{9} \cdot \frac{9}{10} \cdot \frac{9}{8}$;

в) $2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}$;

а) Чтобы найти произведение двух дробей, нужно перемножить их числители и их знаменатели. Результат произведения числителей записывается в числитель новой дроби, а результат произведения знаменателей — в её знаменатель.

$\frac{3}{8} \cdot \frac{8}{3} = \frac{3 \cdot 8}{8 \cdot 3}$

Перед вычислением можно сократить дробь. Мы видим, что в числителе и знаменателе есть одинаковые множители (3 и 8). Сократим их:

$\frac{\cancel{3} \cdot \cancel{8}}{\cancel{8} \cdot \cancel{3}} = \frac{1 \cdot 1}{1 \cdot 1} = 1$

Также стоит отметить, что дроби $\frac{3}{8}$ и $\frac{8}{3}$ являются взаимно обратными, а произведение взаимно обратных чисел всегда равно 1.

Ответ: 1

б) Для нахождения произведения трёх дробей применяется то же правило: нужно перемножить все числители и все знаменатели.

$\frac{8}{9} \cdot \frac{9}{10} \cdot \frac{9}{8} = \frac{8 \cdot 9 \cdot 9}{9 \cdot 10 \cdot 8}$

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе. Множитель 8 есть и в числителе, и в знаменателе. Также в числителе и знаменателе есть множитель 9.

$\frac{\cancel{8} \cdot \cancel{9} \cdot 9}{\cancel{9} \cdot 10 \cdot \cancel{8}} = \frac{9}{10}$

Ответ: $\frac{9}{10}$

в) В данном выражении умножаются целые числа и дроби. Для удобства представим каждое целое число в виде дроби со знаменателем 1.

$2 = \frac{2}{1}; \quad 3 = \frac{3}{1}; \quad 4 = \frac{4}{1}$

Теперь перепишем выражение, заменяя целые числа на дроби:

$2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{1} \cdot \frac{4}{1} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Перемножим все числители и все знаменатели:

$\frac{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1}{1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 4}{2 \cdot 3 \cdot 4}$

Числитель и знаменатель равны, следовательно, значение дроби равно 1. Можно также сократить все множители:

$\frac{\cancel{2} \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{4}}{\cancel{2} \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{4}} = 1$

Другой способ решения — сгруппировать взаимно обратные числа. Произведение числа на обратное ему число равно 1.

$(2 \cdot \frac{1}{2}) \cdot (3 \cdot \frac{1}{3}) \cdot (4 \cdot \frac{1}{4}) = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$

Ответ: 1

579 а) $\frac{2}{3} : \frac{5}{7}$;

б) $\frac{1}{4} : \frac{1}{2}$;

В) $\frac{3}{4} : \frac{1}{2}$;

Г) $\frac{4}{9} : \frac{8}{9}$;

Д) $\frac{5}{6} : \frac{7}{12}$.

а) Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно делимое (первую дробь) умножить на дробь, обратную делителю (второй дроби). Дробь, обратная $ \frac{5}{7} $, это $ \frac{7}{5} $.
$ \frac{2}{3} \div \frac{5}{7} = \frac{2}{3} \cdot \frac{7}{5} = \frac{2 \cdot 7}{3 \cdot 5} = \frac{14}{15} $
Ответ: $ \frac{14}{15} $

б) Чтобы разделить дробь $ \frac{1}{4} $ на $ \frac{1}{2} $, умножим $ \frac{1}{4} $ на обратную дробь $ \frac{2}{1} $.
$ \frac{1}{4} \div \frac{1}{2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{1} = \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 1} = \frac{2}{4} $
Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 2:
$ \frac{2}{4} = \frac{2 \div 2}{4 \div 2} = \frac{1}{2} $
Ответ: $ \frac{1}{2} $

в) Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь. Обратная дробь для $ \frac{1}{2} $ - это $ \frac{2}{1} $.
$ \frac{3}{4} \div \frac{1}{2} = \frac{3}{4} \cdot \frac{2}{1} = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 1} = \frac{6}{4} $
Сократим дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 2:
$ \frac{6}{4} = \frac{6 \div 2}{4 \div 2} = \frac{3}{2} $
Этот результат можно также записать в виде смешанного числа: $ 1\frac{1}{2} $.
Ответ: $ \frac{3}{2} $

г) Для деления $ \frac{4}{9} $ на $ \frac{8}{9} $ умножим $ \frac{4}{9} $ на дробь, обратную $ \frac{8}{9} $, то есть на $ \frac{9}{8} $.
$ \frac{4}{9} \div \frac{8}{9} = \frac{4}{9} \cdot \frac{9}{8} = \frac{4 \cdot 9}{9 \cdot 8} $
Перед умножением можно сократить числитель и знаменатель на общие множители. Сократим на 9, а также сократим 4 и 8 на 4:
$ \frac{4 \cdot 9}{9 \cdot 8} = \frac{4}{8} = \frac{4 \div 4}{8 \div 4} = \frac{1}{2} $
Ответ: $ \frac{1}{2} $

д) Чтобы разделить $ \frac{5}{6} $ на $ \frac{7}{12} $, умножим $ \frac{5}{6} $ на обратную дробь $ \frac{12}{7} $.
$ \frac{5}{6} \div \frac{7}{12} = \frac{5}{6} \cdot \frac{12}{7} $
Перед умножением сократим 6 и 12 на их общий делитель 6:
$ \frac{5}{6 \div 6} \cdot \frac{12 \div 6}{7} = \frac{5}{1} \cdot \frac{2}{7} = \frac{5 \cdot 2}{1 \cdot 7} = \frac{10}{7} $
Этот результат можно также записать в виде смешанного числа: $ 1\frac{3}{7} $.
Ответ: $ \frac{10}{7} $

580 а) $2 : \frac{1}{7}$;

б) $4 : \frac{2}{3}$;

в) $3 : \frac{1}{2}$;

г) $1 : \frac{2}{7}$;

д) $1 : \frac{1}{4}$.

а) Чтобы разделить целое число на дробь, нужно это число умножить на дробь, обратную данной (перевернутую). Обратной для дроби $ \frac{1}{7} $ является дробь $ \frac{7}{1} $, или просто $ 7 $.
Выполним умножение:$ 2 : \frac{1}{7} = 2 \times \frac{7}{1} = 14 $.
Ответ: 14

б) Чтобы разделить целое число на дробь, нужно это число умножить на дробь, обратную данной. Обратной для дроби $ \frac{2}{3} $ является дробь $ \frac{3}{2} $.
Выполним умножение:$ 4 : \frac{2}{3} = 4 \times \frac{3}{2} = \frac{4 \times 3}{2} = \frac{12}{2} = 6 $.
Ответ: 6

в) Чтобы разделить целое число на дробь, нужно это число умножить на дробь, обратную данной. Обратной для дроби $ \frac{1}{2} $ является дробь $ \frac{2}{1} $, или просто $ 2 $.
Выполним умножение:$ 3 : \frac{1}{2} = 3 \times \frac{2}{1} = 6 $.
Ответ: 6

г) Чтобы разделить целое число на дробь, нужно это число умножить на дробь, обратную данной. Обратной для дроби $ \frac{2}{7} $ является дробь $ \frac{7}{2} $.
Выполним умножение:$ 1 : \frac{2}{7} = 1 \times \frac{7}{2} = \frac{7}{2} $.
Представим неправильную дробь в виде смешанного числа: $ \frac{7}{2} = 3\frac{1}{2} $.
Ответ: $ 3\frac{1}{2} $

д) Чтобы разделить целое число на дробь, нужно это число умножить на дробь, обратную данной. Обратной для дроби $ \frac{1}{4} $ является дробь $ \frac{4}{1} $, или просто $ 4 $.
Выполним умножение:$ 1 : \frac{1}{4} = 1 \times \frac{4}{1} = 4 $.
Ответ: 4

581 а) $ \frac{4}{9} : 2;$

б) $ \frac{5}{7} : 3;$

в) $ \frac{10}{21} : 5;$

г) $ \frac{2}{3} : 4;$

д) $ \frac{9}{10} : 3.$

а)

Чтобы разделить обыкновенную дробь на натуральное число, нужно знаменатель дроби умножить на это число, а числитель оставить прежним. После этого, если возможно, сократить полученную дробь.

$ \frac{4}{9} : 2 = \frac{4}{9 \times 2} = \frac{4}{18} $

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 2:

$ \frac{4 \div 2}{18 \div 2} = \frac{2}{9} $

Другой способ — это заменить деление на число умножением на обратное ему число (дробь). Для числа 2 обратным является $ \frac{1}{2} $.

$ \frac{4}{9} : 2 = \frac{4}{9} \times \frac{1}{2} = \frac{4 \times 1}{9 \times 2} = \frac{\cancel{4}^2 \times 1}{9 \times \cancel{2}_1} = \frac{2}{9} $

Ответ: $ \frac{2}{9} $

б)

Воспользуемся правилом деления дроби на натуральное число: умножим знаменатель на это число, оставив числитель без изменений.

$ \frac{5}{7} : 3 = \frac{5}{7 \times 3} = \frac{5}{21} $

Данная дробь является несократимой, так как у числителя 5 и знаменателя 21 нет общих делителей, кроме 1.

Ответ: $ \frac{5}{21} $

в)

Чтобы разделить дробь на натуральное число, можно умножить ее на число, обратное делителю. Обратное число для 5 это $ \frac{1}{5} $.

$ \frac{10}{21} : 5 = \frac{10}{21} \times \frac{1}{5} $

Перед тем как перемножить дроби, можно выполнить сокращение. Числитель первой дроби (10) и знаменатель второй (5) делятся на 5.

$ \frac{\cancel{10}^2}{21} \times \frac{1}{\cancel{5}_1} = \frac{2 \times 1}{21 \times 1} = \frac{2}{21} $

Ответ: $ \frac{2}{21} $

г)

Для деления дроби на натуральное число, умножим знаменатель дроби на это число.

$ \frac{2}{3} : 4 = \frac{2}{3 \times 4} = \frac{2}{12} $

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 2.

$ \frac{2 \div 2}{12 \div 2} = \frac{1}{6} $

Ответ: $ \frac{1}{6} $

д)

Заменим деление на натуральное число умножением на обратную ему дробь. Для числа 3 обратной является дробь $ \frac{1}{3} $.

$ \frac{9}{10} : 3 = \frac{9}{10} \times \frac{1}{3} $

Сократим числитель первой дроби (9) и знаменатель второй (3) на их общий делитель 3.

$ \frac{\cancel{9}^3}{10} \times \frac{1}{\cancel{3}_1} = \frac{3 \times 1}{10 \times 1} = \frac{3}{10} $

Ответ: $ \frac{3}{10} $

582 а) $ \frac{1}{4} : 3\frac{1}{2} $;

б) $ 3\frac{1}{2} : 2\frac{1}{3} $;

в) $ 10\frac{1}{2} : 3\frac{1}{2} $;

г) $ 5\frac{1}{2} : 3\frac{2}{3} $;

д) $ 3\frac{3}{5} : 6\frac{3}{4} $.

а) $ \frac{1}{4} : 3 \frac{1}{2} $

Для того чтобы разделить дробь на смешанное число, нужно сначала представить смешанное число в виде неправильной дроби.

$ 3 \frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2} $

Теперь выполним деление. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй.

$ \frac{1}{4} : \frac{7}{2} = \frac{1}{4} \cdot \frac{2}{7} = \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 7} = \frac{2}{28} $

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их общий делитель 2:

$ \frac{2 \div 2}{28 \div 2} = \frac{1}{14} $

Ответ: $ \frac{1}{14} $

б) $ 3 \frac{1}{2} : 2 \frac{1}{3} $

Сначала преобразуем оба смешанных числа в неправильные дроби.

$ 3 \frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2} $

$ 2 \frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3} $

Теперь разделим полученные дроби, умножив делимое на дробь, обратную делителю:

$ \frac{7}{2} : \frac{7}{3} = \frac{7}{2} \cdot \frac{3}{7} = \frac{7 \cdot 3}{2 \cdot 7} $

Сократим одинаковые множители (число 7) в числителе и знаменателе:

$ \frac{\cancel{7} \cdot 3}{2 \cdot \cancel{7}} = \frac{3}{2} $

Преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число:

$ \frac{3}{2} = 1 \frac{1}{2} $

Ответ: $ 1 \frac{1}{2} $

в) $ 10 \frac{1}{2} : 3 \frac{1}{2} $

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.

$ 10 \frac{1}{2} = \frac{10 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{21}{2} $

$ 3 \frac{1}{2} = \frac{3 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{7}{2} $

Выполним деление дробей:

$ \frac{21}{2} : \frac{7}{2} = \frac{21}{2} \cdot \frac{2}{7} = \frac{21 \cdot 2}{2 \cdot 7} $

Сократим дробь на 2, а затем разделим 21 на 7:

$ \frac{21 \cdot \cancel{2}}{\cancel{2} \cdot 7} = \frac{21}{7} = 3 $

Ответ: $ 3 $

г) $ 5 \frac{1}{2} : 3 \frac{2}{3} $

Переведем смешанные числа в неправильные дроби.

$ 5 \frac{1}{2} = \frac{5 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{11}{2} $

$ 3 \frac{2}{3} = \frac{3 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{11}{3} $

Разделим полученные дроби:

$ \frac{11}{2} : \frac{11}{3} = \frac{11}{2} \cdot \frac{3}{11} = \frac{11 \cdot 3}{2 \cdot 11} $

Сократим общий множитель 11:

$ \frac{\cancel{11} \cdot 3}{2 \cdot \cancel{11}} = \frac{3}{2} $

Переведем результат в смешанное число:

$ \frac{3}{2} = 1 \frac{1}{2} $

Ответ: $ 1 \frac{1}{2} $

д) $ 3 \frac{3}{5} : 6 \frac{3}{4} $

Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.

$ 3 \frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{18}{5} $

$ 6 \frac{3}{4} = \frac{6 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{27}{4} $

Теперь выполним деление, умножив первую дробь на обратную второй:

$ \frac{18}{5} : \frac{27}{4} = \frac{18}{5} \cdot \frac{4}{27} = \frac{18 \cdot 4}{5 \cdot 27} $

Сократим дробь перед умножением. Числитель 18 и знаменатель 27 делятся на 9:

$ \frac{(18 \div 9) \cdot 4}{5 \cdot (27 \div 9)} = \frac{2 \cdot 4}{5 \cdot 3} = \frac{8}{15} $

Ответ: $ \frac{8}{15} $

583 a) $\frac{4}{7} \cdot \frac{5}{24} : 1 \frac{1}{14}$;

б) $25 \cdot \frac{7}{15} : \frac{7}{9}$;

В) $\frac{7}{18} : \frac{20}{21} : \frac{5}{12}$;

Г) $\frac{5}{9} \cdot 2 \frac{1}{4} : 20$.

а)

Для решения примера $\frac{4}{7} \cdot \frac{5}{24} : 1\frac{1}{14}$ необходимо выполнить действия по порядку. Сначала умножение, затем деление.

1. Переведем смешанное число $1\frac{1}{14}$ в неправильную дробь:

$1\frac{1}{14} = \frac{1 \cdot 14 + 1}{14} = \frac{15}{14}$

2. Выполним умножение $\frac{4}{7} \cdot \frac{5}{24}$. Сократим числитель и знаменатель на 4:

$\frac{4}{7} \cdot \frac{5}{24} = \frac{\cancel{4}^1}{7} \cdot \frac{5}{\cancel{24}^6} = \frac{1 \cdot 5}{7 \cdot 6} = \frac{5}{42}$

3. Выполним деление. Чтобы разделить на дробь, нужно умножить на обратную ей дробь:

$\frac{5}{42} : \frac{15}{14} = \frac{5}{42} \cdot \frac{14}{15}$

4. Сократим дроби: 5 и 15 на 5; 42 и 14 на 14:

$\frac{\cancel{5}^1}{\cancel{42}^3} \cdot \frac{\cancel{14}^1}{\cancel{15}^3} = \frac{1 \cdot 1}{3 \cdot 3} = \frac{1}{9}$

Ответ: $\frac{1}{9}$.

б)

Решим пример $25 \cdot \frac{7}{15} : \frac{7}{9}$ по действиям.

1. Выполним умножение $25 \cdot \frac{7}{15}$. Представим 25 как дробь $\frac{25}{1}$ и сократим 25 и 15 на 5:

$25 \cdot \frac{7}{15} = \frac{25}{1} \cdot \frac{7}{15} = \frac{\cancel{25}^5 \cdot 7}{1 \cdot \cancel{15}^3} = \frac{35}{3}$

2. Выполним деление. Умножим на обратную дробь:

$\frac{35}{3} : \frac{7}{9} = \frac{35}{3} \cdot \frac{9}{7}$

3. Сократим дроби: 35 и 7 на 7; 9 и 3 на 3:

$\frac{\cancel{35}^5}{\cancel{3}^1} \cdot \frac{\cancel{9}^3}{\cancel{7}^1} = \frac{5 \cdot 3}{1 \cdot 1} = 15$

Ответ: 15.

в)

Решим пример $\frac{7}{18} : \frac{20}{21} : \frac{5}{12}$, выполняя действия слева направо.

1. Выполним первое деление $\frac{7}{18} : \frac{20}{21}$. Заменим деление умножением на обратную дробь:

$\frac{7}{18} \cdot \frac{21}{20}$

2. Сократим 18 и 21 на 3 и перемножим:

$\frac{7}{\cancel{18}^6} \cdot \frac{\cancel{21}^7}{20} = \frac{7 \cdot 7}{6 \cdot 20} = \frac{49}{120}$

3. Выполним второе деление, умножив на обратную дробь:

$\frac{49}{120} : \frac{5}{12} = \frac{49}{120} \cdot \frac{12}{5}$

4. Сократим 120 и 12 на 12:

$\frac{49}{\cancel{120}^{10}} \cdot \frac{\cancel{12}^1}{5} = \frac{49 \cdot 1}{10 \cdot 5} = \frac{49}{50}$

Ответ: $\frac{49}{50}$.

г)

Решим пример $\frac{5}{9} \cdot 2\frac{1}{4} : 20$.

1. Переведем смешанное число $2\frac{1}{4}$ в неправильную дробь, а целое число 20 представим в виде дроби:

$2\frac{1}{4} = \frac{2 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{9}{4}$

$20 = \frac{20}{1}$

2. Выполним умножение $\frac{5}{9} \cdot \frac{9}{4}$. Сократим 9 в числителе и знаменателе:

$\frac{5}{\cancel{9}^1} \cdot \frac{\cancel{9}^1}{4} = \frac{5}{4}$

3. Выполним деление, заменив его умножением на обратную дробь:

$\frac{5}{4} : 20 = \frac{5}{4} : \frac{20}{1} = \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{20}$

4. Сократим 5 и 20 на 5 и перемножим:

$\frac{\cancel{5}^1}{4} \cdot \frac{1}{\cancel{20}^4} = \frac{1 \cdot 1}{4 \cdot 4} = \frac{1}{16}$

Ответ: $\frac{1}{16}$.

584 а) $14 : 42$;

б) $2 : 3 : 5$;

в) $2 : 8 \cdot 3$;

г) $100 \cdot 6 : 40$;

д) $5 : 15 \cdot 3$.

а) Чтобы упростить отношение $14 : 42$, необходимо найти наибольший общий делитель (НОД) для чисел 14 и 42.
Разложим числа на простые множители:
$14 = 2 \cdot 7$
$42 = 2 \cdot 3 \cdot 7$
НОД(14, 42) = $2 \cdot 7 = 14$.
Теперь разделим каждый член отношения на их НОД:
$14 \div 14 = 1$
$42 \div 14 = 3$
Следовательно, упрощенное отношение равно $1 : 3$.
Ответ: $1 : 3$.

б) Рассмотрим отношение $2 : 3 : 5$. Для его упрощения нужно найти наибольший общий делитель для всех трех чисел: 2, 3 и 5.
Числа 2, 3 и 5 являются простыми, поэтому их единственный общий делитель — это 1.
Так как НОД(2, 3, 5) = 1, данное отношение уже представлено в простейшем виде и не может быть сокращено.
Ответ: $2 : 3 : 5$.

в) Рассмотрим отношение $2 : 8 : 3$. Чтобы его упростить, найдем наибольший общий делитель для чисел 2, 8 и 3.
Делители числа 2: 1, 2.
Делители числа 8: 1, 2, 4, 8.
Делители числа 3: 1, 3.
Единственный общий делитель для всех трех чисел — это 1.
Поскольку НОД(2, 8, 3) = 1, это отношение является несократимым.
Ответ: $2 : 8 : 3$.

г) В отношении $100 \cdot 6 : 40$ сначала выполним умножение в левой части:
$100 \cdot 6 = 600$.
Теперь отношение имеет вид $600 : 40$.
Чтобы упростить это отношение, можно разделить оба члена на их общий делитель. Например, на 10:
$600 \div 10 = 60$
$40 \div 10 = 4$
Получаем отношение $60 : 4$.
Теперь разделим оба члена на 4:
$60 \div 4 = 15$
$4 \div 4 = 1$
Итоговое упрощенное отношение равно $15 : 1$.
Ответ: $15 : 1$.

д) В отношении $5 : 15 \cdot 3$ сначала выполним умножение в правой части:
$15 \cdot 3 = 45$.
Отношение принимает вид $5 : 45$.
Найдем наибольший общий делитель для чисел 5 и 45. Это число 5.
Разделим каждый член отношения на 5:
$5 \div 5 = 1$
$45 \div 5 = 9$
Упрощенное отношение равно $1 : 9$.
Ответ: $1 : 9$.

585 а) Отрезок длиной $3\frac{3}{4}$ дм разделили на 5 равных частей. Какова длина одной части?

б) Ленту длиной 14 м разрезали на 4 равные части. Какова длина одной части?

а) Чтобы найти длину одной части, необходимо общую длину отрезка разделить на количество равных частей.

1. Переведем длину отрезка из смешанного числа в неправильную дробь:

$3\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{15}{4}$ дм.

2. Разделим полученную длину на 5 частей. Чтобы разделить дробь на целое число, нужно знаменатель дроби умножить на это число:

$\frac{15}{4} \div 5 = \frac{15}{4 \cdot 5} = \frac{15}{20}$ дм.

3. Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, который равен 5:

$\frac{15 \div 5}{20 \div 5} = \frac{3}{4}$ дм.

Ответ: $\frac{3}{4}$ дм.

б) Чтобы найти длину одной части ленты, нужно ее общую длину разделить на количество равных частей.

1. Разделим длину ленты 14 м на 4 части:

$14 \div 4 = \frac{14}{4}$ м.

2. Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на 2:

$\frac{14}{4} = \frac{7}{2}$ м.

3. Преобразуем неправильную дробь в смешанное число, разделив числитель на знаменатель с остатком:

$7 \div 2 = 3$ (остаток 1), значит $\frac{7}{2} = 3\frac{1}{2}$ м.

Это значение также можно записать в виде десятичной дроби: $3,5$ м.

Ответ: $3\frac{1}{2}$ м.

586 Сколько порций получится, если трёхкилограммовый пирог разрезать на порции:

а) по $ \frac{1}{5} $ кг;

б) по $ \frac{1}{4} $ кг;

в) по $ \frac{1}{8} $ кг?

Чтобы найти количество порций, необходимо общую массу пирога (3 кг) разделить на массу одной порции.

а) Если масса одной порции составляет $ \frac{1}{5} $ кг, то для нахождения количества порций нужно 3 кг разделить на $ \frac{1}{5} $ кг. Деление на дробь равносильно умножению на обратную ей дробь:

$ 3 : \frac{1}{5} = 3 \cdot \frac{5}{1} = 15 $ порций.

Ответ: 15 порций.

б) Если масса одной порции составляет $ \frac{1}{4} $ кг, то количество порций будет равно:

$ 3 : \frac{1}{4} = 3 \cdot \frac{4}{1} = 12 $ порций.

Ответ: 12 порций.

в) Если масса одной порции составляет $ \frac{1}{8} $ кг, то количество порций будет равно:

$ 3 : \frac{1}{8} = 3 \cdot \frac{8}{1} = 24 $ порции.

Ответ: 24 порции.

587 В мешке $5 \frac{1}{2}$ кг семян травы. Все семена надо разложить в пакеты, по $\frac{1}{4}$ кг в каждый. Сколько потребуется пакетов?

Для того чтобы найти, сколько потребуется пакетов, необходимо общее количество семян разделить на количество семян, которое помещается в один пакет.

1. Переведем смешанное число, обозначающее общее количество семян, в неправильную дробь:

$5\frac{1}{2} = \frac{5 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{11}{2}$ кг.

2. Теперь разделим общее количество семян на вместимость одного пакета ($\frac{1}{4}$ кг):

$\frac{11}{2} \div \frac{1}{4}$

3. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй (перевернутую):

$\frac{11}{2} \times \frac{4}{1} = \frac{11 \times 4}{2 \times 1} = \frac{44}{2}$

4. Вычислим результат:

$\frac{44}{2} = 22$

Следовательно, для того чтобы разложить все семена, потребуется 22 пакета.

Ответ: 22 пакета.

588 Расфасовали $4\frac{1}{2}$ кг конфет в упаковки, по $\frac{1}{2}$ кг в каждую. Сколько получилось таких упаковок конфет?

Чтобы найти, сколько получилось упаковок, нужно общую массу конфет разделить на массу конфет в одной упаковке.

1. Переведем смешанное число, обозначающее общую массу конфет, в неправильную дробь:

$4\frac{1}{2} = \frac{4 \times 2 + 1}{2} = \frac{9}{2}$ кг.

2. Теперь выполним деление. Разделим общую массу конфет на массу конфет в одной упаковке. Чтобы разделить одну дробь на другую, нужно первую дробь умножить на дробь, обратную второй:

$\frac{9}{2} \div \frac{1}{2} = \frac{9}{2} \times \frac{2}{1} = \frac{9 \times 2}{2 \times 1} = \frac{18}{2} = 9$.

Таким образом, получилось 9 упаковок конфет.

Ответ: 9 упаковок.