Номер 578, страница 166 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

578 Найдите произведение:

a) $\frac{3}{8} \cdot \frac{8}{3}$;

б) $\frac{8}{9} \cdot \frac{9}{10} \cdot \frac{9}{8}$;

в) $2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}$;

а) Чтобы найти произведение двух дробей, нужно перемножить их числители и их знаменатели. Результат произведения числителей записывается в числитель новой дроби, а результат произведения знаменателей — в её знаменатель.

$\frac{3}{8} \cdot \frac{8}{3} = \frac{3 \cdot 8}{8 \cdot 3}$

Перед вычислением можно сократить дробь. Мы видим, что в числителе и знаменателе есть одинаковые множители (3 и 8). Сократим их:

$\frac{\cancel{3} \cdot \cancel{8}}{\cancel{8} \cdot \cancel{3}} = \frac{1 \cdot 1}{1 \cdot 1} = 1$

Также стоит отметить, что дроби $\frac{3}{8}$ и $\frac{8}{3}$ являются взаимно обратными, а произведение взаимно обратных чисел всегда равно 1.

Ответ: 1

б) Для нахождения произведения трёх дробей применяется то же правило: нужно перемножить все числители и все знаменатели.

$\frac{8}{9} \cdot \frac{9}{10} \cdot \frac{9}{8} = \frac{8 \cdot 9 \cdot 9}{9 \cdot 10 \cdot 8}$

Сократим одинаковые множители в числителе и знаменателе. Множитель 8 есть и в числителе, и в знаменателе. Также в числителе и знаменателе есть множитель 9.

$\frac{\cancel{8} \cdot \cancel{9} \cdot 9}{\cancel{9} \cdot 10 \cdot \cancel{8}} = \frac{9}{10}$

Ответ: $\frac{9}{10}$

в) В данном выражении умножаются целые числа и дроби. Для удобства представим каждое целое число в виде дроби со знаменателем 1.

$2 = \frac{2}{1}; \quad 3 = \frac{3}{1}; \quad 4 = \frac{4}{1}$

Теперь перепишем выражение, заменяя целые числа на дроби:

$2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} = \frac{2}{1} \cdot \frac{3}{1} \cdot \frac{4}{1} \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4}$

Перемножим все числители и все знаменатели:

$\frac{2 \cdot 3 \cdot 4 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 1}{1 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 4} = \frac{2 \cdot 3 \cdot 4}{2 \cdot 3 \cdot 4}$

Числитель и знаменатель равны, следовательно, значение дроби равно 1. Можно также сократить все множители:

$\frac{\cancel{2} \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{4}}{\cancel{2} \cdot \cancel{3} \cdot \cancel{4}} = 1$

Другой способ решения — сгруппировать взаимно обратные числа. Произведение числа на обратное ему число равно 1.

$(2 \cdot \frac{1}{2}) \cdot (3 \cdot \frac{1}{3}) \cdot (4 \cdot \frac{1}{4}) = 1 \cdot 1 \cdot 1 = 1$

Ответ: 1