Номер 576, страница 163 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

576 ЗАДАЧА-ИССЛЕДОВАНИЕ

(Отвечая на вопросы 1 и 2, поэкспериментируйте с числами.)

1) Известно, что $m > 1$. Сравните числа: $m$ и $m^2$; $m^2$ и $m^3$.

2) Известно, что $m < 1$. Сравните числа: $m$ и $m^2$; $m^2$ и $m^3$.

3) Как меняется число при возведении его в степень, если оно больше 1? меньше 1?

4) Сравните $m^{20}$ и $m^{30}$, если: а) $m > 1$; б) $m < 1$.

1)

Известно, что $m > 1$. Для сравнения чисел будем рассматривать их разность.

Сравним $m$ и $m^2$. Разность $m^2 - m = m(m-1)$. По условию $m > 1$, следовательно, множитель $m$ положителен, и множитель $(m-1)$ также положителен. Произведение двух положительных чисел есть число положительное, поэтому $m(m-1) > 0$. Отсюда следует, что $m^2 - m > 0$, а значит $m^2 > m$.

Сравним $m^2$ и $m^3$. Разность $m^3 - m^2 = m^2(m-1)$. Так как $m > 1$, то $m^2$ — положительное число, и $(m-1)$ — также положительное число. Их произведение $m^2(m-1) > 0$. Отсюда следует, что $m^3 - m^2 > 0$, а значит $m^3 > m^2$.

Ответ: $m < m^2$; $m^2 < m^3$.

2)

Известно, что $m < 1$. Поскольку в задаче речь идет о возведении в степень, будем рассматривать наиболее общий случай для таких задач — положительное основание, то есть $0 < m < 1$.

Сравним $m$ и $m^2$. Разность $m^2 - m = m(m-1)$. По условию $0 < m < 1$, следовательно, множитель $m$ положителен, а множитель $(m-1)$ отрицателен. Произведение положительного и отрицательного чисел есть число отрицательное, поэтому $m(m-1) < 0$. Отсюда следует, что $m^2 - m < 0$, а значит $m^2 < m$.

Сравним $m^2$ и $m^3$. Разность $m^3 - m^2 = m^2(m-1)$. Так как $0 < m < 1$, то $m^2$ — положительное число, а $(m-1)$ — отрицательное число. Их произведение $m^2(m-1) < 0$. Отсюда следует, что $m^3 - m^2 < 0$, а значит $m^3 < m^2$.

Ответ: $m > m^2$; $m^2 > m^3$.

3)

На основе предыдущих пунктов можно сделать следующие выводы о том, как меняется число при возведении в степень (с натуральным показателем).

Если число больше 1 ($m > 1$), то при возведении его в большую степень оно увеличивается. То есть, для любых натуральных показателей $n_2 > n_1$ будет выполняться неравенство $m^{n_2} > m^{n_1}$.

Если положительное число меньше 1 ($0 < m < 1$), то при возведении его в большую степень оно уменьшается. То есть, для любых натуральных показателей $n_2 > n_1$ будет выполняться неравенство $m^{n_2} < m^{n_1}$.

Ответ: Если число больше 1, оно увеличивается при возведении в большую степень. Если положительное число меньше 1, оно уменьшается при возведении в большую степень.

4)

Используем выводы, сделанные в пункте 3, для сравнения чисел $m^{20}$ и $m^{30}$.

а) если $m > 1$:

При возведении числа, большего 1, в степень, большему показателю степени соответствует большее значение. Так как показатель $30$ больше показателя $20$, то $m^{30} > m^{20}$.

б) если $m < 1$:

Предполагая, что $0 < m < 1$, при возведении такого числа в степень, большему показателю степени соответствует меньшее значение. Так как показатель $30$ больше показателя $20$, то $m^{30} < m^{20}$.

Ответ: а) $m^{20} < m^{30}$; б) $m^{20} > m^{30}$.