Номер 569, страница 163 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

569 Вычислите значение выражения (постарайтесь найти рациональное решение):

a) $1\frac{1}{12} \cdot 1\frac{1}{13} \cdot 1\frac{1}{14} \cdot 1\frac{1}{15} \cdot 1\frac{1}{16} \cdot 1\frac{1}{17};$

б) $4\frac{3}{7} \cdot 8\frac{4}{9} - 4\frac{3}{7} \cdot 6\frac{4}{9}.$

а) $1\frac{1}{12} \cdot 1\frac{1}{13} \cdot 1\frac{1}{14} \cdot 1\frac{1}{15} \cdot 1\frac{1}{16} \cdot 1\frac{1}{17}$

Для рационального решения представим каждый смешанный множитель в виде неправильной дроби. Общая формула для преобразования смешанного числа $A\frac{b}{c}$ в неправильную дробь: $\frac{A \cdot c + b}{c}$.

$1\frac{1}{12} = \frac{1 \cdot 12 + 1}{12} = \frac{13}{12}$

$1\frac{1}{13} = \frac{1 \cdot 13 + 1}{13} = \frac{14}{13}$

$1\frac{1}{14} = \frac{1 \cdot 14 + 1}{14} = \frac{15}{14}$

$1\frac{1}{15} = \frac{1 \cdot 15 + 1}{15} = \frac{16}{15}$

$1\frac{1}{16} = \frac{1 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{17}{16}$

$1\frac{1}{17} = \frac{1 \cdot 17 + 1}{17} = \frac{18}{17}$

Теперь перепишем исходное выражение, подставив неправильные дроби:

$\frac{13}{12} \cdot \frac{14}{13} \cdot \frac{15}{14} \cdot \frac{16}{15} \cdot \frac{17}{16} \cdot \frac{18}{17}$

Заметим, что числитель каждой дроби (кроме последней) равен знаменателю следующей дроби. Это позволяет нам сократить дроби "цепочкой":

$\frac{\cancel{13}}{12} \cdot \frac{\cancel{14}}{\cancel{13}} \cdot \frac{\cancel{15}}{\cancel{14}} \cdot \frac{\cancel{16}}{\cancel{15}} \cdot \frac{\cancel{17}}{\cancel{16}} \cdot \frac{18}{\cancel{17}}$

После сокращения от всего произведения остаются только знаменатель первой дроби и числитель последней дроби:

$\frac{18}{12}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 6:

$\frac{18 \div 6}{12 \div 6} = \frac{3}{2}$

Представим результат в виде смешанного числа:

$\frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$

Ответ: $1\frac{1}{2}$.

б) $4\frac{3}{7} \cdot 8\frac{4}{9} - 4\frac{3}{7} \cdot 6\frac{4}{9}$

Для рационального решения воспользуемся распределительным свойством умножения относительно вычитания: $a \cdot b - a \cdot c = a \cdot (b - c)$.

В данном выражении общий множитель $a = 4\frac{3}{7}$. Вынесем его за скобки:

$4\frac{3}{7} \cdot (8\frac{4}{9} - 6\frac{4}{9})$

Сначала выполним вычитание в скобках. Так как дробные части у чисел одинаковые, вычитаем целые части:

$8\frac{4}{9} - 6\frac{4}{9} = (8 - 6) + (\frac{4}{9} - \frac{4}{9}) = 2 + 0 = 2$

Теперь исходное выражение сводится к умножению:

$4\frac{3}{7} \cdot 2$

Чтобы выполнить умножение, переведем смешанное число $4\frac{3}{7}$ в неправильную дробь:

$4\frac{3}{7} = \frac{4 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{28 + 3}{7} = \frac{31}{7}$

Выполним умножение:

$\frac{31}{7} \cdot 2 = \frac{31 \cdot 2}{7} = \frac{62}{7}$

Выделим целую часть из неправильной дроби, разделив 62 на 7 с остатком:

$62 \div 7 = 8$ (остаток $6$)

Таким образом, получаем смешанное число:

$\frac{62}{7} = 8\frac{6}{7}$

Ответ: $8\frac{6}{7}$.