Страница 163 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

567 а) $ \left(\frac{18}{25} + \frac{3}{5}\right) \cdot \frac{25}{33} $;

б) $ \frac{3}{8} \cdot 5 + 4\frac{1}{6} \cdot 2\frac{1}{10} - \frac{9}{20} \cdot 6 $.

а) $(\frac{18}{25} + \frac{3}{5}) \cdot \frac{25}{33}$

Решим по действиям. Сначала выполним сложение в скобках, а затем умножение.

1) Сначала выполним сложение дробей в скобках. Для этого приведем их к общему знаменателю. Общий знаменатель для 25 и 5 это 25.

$\frac{18}{25} + \frac{3}{5} = \frac{18}{25} + \frac{3 \cdot 5}{5 \cdot 5} = \frac{18}{25} + \frac{15}{25} = \frac{18 + 15}{25} = \frac{33}{25}$

2) Теперь умножим результат, полученный в первом действии, на дробь $\frac{25}{33}$.

$\frac{33}{25} \cdot \frac{25}{33} = \frac{33 \cdot 25}{25 \cdot 33} = 1$

При умножении дроби на обратную ей дробь, результат всегда равен единице. Числители и знаменатели сокращаются.

Ответ: 1

б) $\frac{3}{8} \cdot 5 + 4\frac{1}{6} \cdot 2\frac{1}{10} - \frac{9}{20} \cdot 6$

Решим по действиям, соблюдая порядок: сначала умножение, затем сложение и вычитание слева направо.

1) Выполним первое умножение:

$\frac{3}{8} \cdot 5 = \frac{3}{8} \cdot \frac{5}{1} = \frac{3 \cdot 5}{8} = \frac{15}{8}$

2) Выполним второе умножение. Сначала преобразуем смешанные числа в неправильные дроби.

$4\frac{1}{6} = \frac{4 \cdot 6 + 1}{6} = \frac{25}{6}$

$2\frac{1}{10} = \frac{2 \cdot 10 + 1}{10} = \frac{21}{10}$

$4\frac{1}{6} \cdot 2\frac{1}{10} = \frac{25}{6} \cdot \frac{21}{10} = \frac{25 \cdot 21}{6 \cdot 10} = \frac{(5 \cdot 5) \cdot (3 \cdot 7)}{(2 \cdot 3) \cdot (2 \cdot 5)} = \frac{5 \cdot 7}{2 \cdot 2} = \frac{35}{4}$

3) Выполним третье умножение:

$\frac{9}{20} \cdot 6 = \frac{9}{20} \cdot \frac{6}{1} = \frac{9 \cdot 6}{20} = \frac{54}{20} = \frac{27}{10}$

4) Теперь подставим полученные результаты в исходное выражение и выполним сложение и вычитание.

$\frac{15}{8} + \frac{35}{4} - \frac{27}{10}$

Найдем общий знаменатель для дробей. Наименьшее общее кратное для 8, 4 и 10 это 40.

$\frac{15 \cdot 5}{8 \cdot 5} + \frac{35 \cdot 10}{4 \cdot 10} - \frac{27 \cdot 4}{10 \cdot 4} = \frac{75}{40} + \frac{350}{40} - \frac{108}{40} = \frac{75 + 350 - 108}{40} = \frac{425 - 108}{40} = \frac{317}{40}$

5) Преобразуем неправильную дробь в смешанное число.

$\frac{317}{40} = 7\frac{37}{40}$

Ответ: $7\frac{37}{40}$

568 Найдите произведение:

а) $3\frac{3}{8} \cdot 2$;

б) $10\frac{3}{8} \cdot 9$;

в) $12\frac{3}{8} \cdot 5$;

г) $11\frac{3}{8} \cdot 10$.

Образец. $3\frac{1}{4} \cdot 2 = \left(3 + \frac{1}{4}\right) \cdot 2 = 3 \cdot 2 + \frac{1}{4} \cdot 2 = 6 + \frac{1}{2} = 6\frac{1}{2}$.

а) Чтобы умножить смешанное число на натуральное число, можно представить смешанное число в виде суммы его целой и дробной частей и воспользоваться распределительным свойством умножения:

$3\frac{3}{8} \cdot 2 = (3 + \frac{3}{8}) \cdot 2 = 3 \cdot 2 + \frac{3}{8} \cdot 2 = 6 + \frac{3 \cdot 2}{8} = 6 + \frac{6}{8} = 6 + \frac{3}{4} = 6\frac{3}{4}$

Ответ: $6\frac{3}{4}$

б) Применим тот же метод:

$10\frac{3}{8} \cdot 9 = (10 + \frac{3}{8}) \cdot 9 = 10 \cdot 9 + \frac{3}{8} \cdot 9 = 90 + \frac{27}{8}$

Преобразуем неправильную дробь $\frac{27}{8}$ в смешанное число: $27 \div 8 = 3$ (остаток $3$), значит $\frac{27}{8} = 3\frac{3}{8}$.

$90 + 3\frac{3}{8} = 93\frac{3}{8}$

Ответ: $93\frac{3}{8}$

в) Выполним умножение:

$12\frac{3}{8} \cdot 5 = (12 + \frac{3}{8}) \cdot 5 = 12 \cdot 5 + \frac{3}{8} \cdot 5 = 60 + \frac{15}{8}$

Преобразуем неправильную дробь $\frac{15}{8}$ в смешанное число: $15 \div 8 = 1$ (остаток $7$), значит $\frac{15}{8} = 1\frac{7}{8}$.

$60 + 1\frac{7}{8} = 61\frac{7}{8}$

Ответ: $61\frac{7}{8}$

г) Найдем произведение:

$11\frac{3}{8} \cdot 10 = (11 + \frac{3}{8}) \cdot 10 = 11 \cdot 10 + \frac{3}{8} \cdot 10 = 110 + \frac{30}{8}$

Сократим дробь $\frac{30}{8}$, разделив числитель и знаменатель на 2: $\frac{30 \div 2}{8 \div 2} = \frac{15}{4}$.

Преобразуем неправильную дробь $\frac{15}{4}$ в смешанное число: $15 \div 4 = 3$ (остаток $3$), значит $\frac{15}{4} = 3\frac{3}{4}$.

$110 + 3\frac{3}{4} = 113\frac{3}{4}$

Ответ: $113\frac{3}{4}$

569 Вычислите значение выражения (постарайтесь найти рациональное решение):

a) $1\frac{1}{12} \cdot 1\frac{1}{13} \cdot 1\frac{1}{14} \cdot 1\frac{1}{15} \cdot 1\frac{1}{16} \cdot 1\frac{1}{17};$

б) $4\frac{3}{7} \cdot 8\frac{4}{9} - 4\frac{3}{7} \cdot 6\frac{4}{9}.$

а) $1\frac{1}{12} \cdot 1\frac{1}{13} \cdot 1\frac{1}{14} \cdot 1\frac{1}{15} \cdot 1\frac{1}{16} \cdot 1\frac{1}{17}$

Для рационального решения представим каждый смешанный множитель в виде неправильной дроби. Общая формула для преобразования смешанного числа $A\frac{b}{c}$ в неправильную дробь: $\frac{A \cdot c + b}{c}$.

$1\frac{1}{12} = \frac{1 \cdot 12 + 1}{12} = \frac{13}{12}$

$1\frac{1}{13} = \frac{1 \cdot 13 + 1}{13} = \frac{14}{13}$

$1\frac{1}{14} = \frac{1 \cdot 14 + 1}{14} = \frac{15}{14}$

$1\frac{1}{15} = \frac{1 \cdot 15 + 1}{15} = \frac{16}{15}$

$1\frac{1}{16} = \frac{1 \cdot 16 + 1}{16} = \frac{17}{16}$

$1\frac{1}{17} = \frac{1 \cdot 17 + 1}{17} = \frac{18}{17}$

Теперь перепишем исходное выражение, подставив неправильные дроби:

$\frac{13}{12} \cdot \frac{14}{13} \cdot \frac{15}{14} \cdot \frac{16}{15} \cdot \frac{17}{16} \cdot \frac{18}{17}$

Заметим, что числитель каждой дроби (кроме последней) равен знаменателю следующей дроби. Это позволяет нам сократить дроби "цепочкой":

$\frac{\cancel{13}}{12} \cdot \frac{\cancel{14}}{\cancel{13}} \cdot \frac{\cancel{15}}{\cancel{14}} \cdot \frac{\cancel{16}}{\cancel{15}} \cdot \frac{\cancel{17}}{\cancel{16}} \cdot \frac{18}{\cancel{17}}$

После сокращения от всего произведения остаются только знаменатель первой дроби и числитель последней дроби:

$\frac{18}{12}$

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 6:

$\frac{18 \div 6}{12 \div 6} = \frac{3}{2}$

Представим результат в виде смешанного числа:

$\frac{3}{2} = 1\frac{1}{2}$

Ответ: $1\frac{1}{2}$.

б) $4\frac{3}{7} \cdot 8\frac{4}{9} - 4\frac{3}{7} \cdot 6\frac{4}{9}$

Для рационального решения воспользуемся распределительным свойством умножения относительно вычитания: $a \cdot b - a \cdot c = a \cdot (b - c)$.

В данном выражении общий множитель $a = 4\frac{3}{7}$. Вынесем его за скобки:

$4\frac{3}{7} \cdot (8\frac{4}{9} - 6\frac{4}{9})$

Сначала выполним вычитание в скобках. Так как дробные части у чисел одинаковые, вычитаем целые части:

$8\frac{4}{9} - 6\frac{4}{9} = (8 - 6) + (\frac{4}{9} - \frac{4}{9}) = 2 + 0 = 2$

Теперь исходное выражение сводится к умножению:

$4\frac{3}{7} \cdot 2$

Чтобы выполнить умножение, переведем смешанное число $4\frac{3}{7}$ в неправильную дробь:

$4\frac{3}{7} = \frac{4 \cdot 7 + 3}{7} = \frac{28 + 3}{7} = \frac{31}{7}$

Выполним умножение:

$\frac{31}{7} \cdot 2 = \frac{31 \cdot 2}{7} = \frac{62}{7}$

Выделим целую часть из неправильной дроби, разделив 62 на 7 с остатком:

$62 \div 7 = 8$ (остаток $6$)

Таким образом, получаем смешанное число:

$\frac{62}{7} = 8\frac{6}{7}$

Ответ: $8\frac{6}{7}$.

570 Значение какого из трёх данных выражений наименьшее:

$1 - \frac{1}{100}$, $1 - \left(\frac{1}{100}\right)^2$, $\left(1 - \frac{1}{100}\right)^2$?

Чтобы определить, какое из выражений имеет наименьшее значение, вычислим значение каждого из них.

$1 - \frac{1}{100}$

Выполним вычитание: $1 - \frac{1}{100} = \frac{100}{100} - \frac{1}{100} = \frac{99}{100} = 0,99$

$1 - (\frac{1}{100})^2$

Сначала возведём дробь в квадрат, а затем выполним вычитание: $1 - (\frac{1}{100})^2 = 1 - \frac{1^2}{100^2} = 1 - \frac{1}{10000} = \frac{10000}{10000} - \frac{1}{10000} = \frac{9999}{10000} = 0,9999$

$(1 - \frac{1}{100})^2$

Сначала выполним вычитание в скобках, а затем возведём результат в квадрат: $(1 - \frac{1}{100})^2 = (\frac{99}{100})^2 = \frac{99^2}{100^2} = \frac{9801}{10000} = 0,9801$

Теперь сравним полученные значения: $0,99$, $0,9999$ и $0,9801$. Расположив числа в порядке возрастания, получаем: $0,9801 < 0,99 < 0,9999$. Таким образом, наименьшим является значение $0,9801$, которое соответствует третьему выражению.

Ответ: наименьшее значение имеет выражение $(1 - \frac{1}{100})^2$.

571 В одном часе 60 мин. Сколько минут:

а) в $2\frac{1}{2}$ ч;

б) в $3\frac{5}{6}$ ч;

в) в $1\frac{3}{4}$ ч;

г) в $4\frac{2}{3}$ ч?

а) Чтобы найти, сколько минут в $2\frac{1}{2}$ часах, нужно умножить это количество часов на 60, так как в одном часе 60 минут.
Способ 1: Переведем смешанное число в неправильную дробь и умножим на 60.
$2\frac{1}{2} = \frac{2 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{5}{2}$ ч.
$\frac{5}{2} \cdot 60 = \frac{5 \cdot 60}{2} = 5 \cdot 30 = 150$ мин.
Способ 2: Посчитаем минуты для целой и дробной части отдельно и сложим их.
$2$ часа = $2 \cdot 60 = 120$ мин.
$\frac{1}{2}$ часа = $\frac{1}{2} \cdot 60 = 30$ мин.
$120 + 30 = 150$ мин.
Ответ: 150 мин.

б) Чтобы найти, сколько минут в $3\frac{5}{6}$ часах, нужно умножить это количество часов на 60.
Способ 1: Переведем смешанное число в неправильную дробь и умножим на 60.
$3\frac{5}{6} = \frac{3 \cdot 6 + 5}{6} = \frac{18 + 5}{6} = \frac{23}{6}$ ч.
$\frac{23}{6} \cdot 60 = \frac{23 \cdot 60}{6} = 23 \cdot 10 = 230$ мин.
Способ 2: Посчитаем минуты для целой и дробной части отдельно и сложим их.
$3$ часа = $3 \cdot 60 = 180$ мин.
$\frac{5}{6}$ часа = $\frac{5}{6} \cdot 60 = 5 \cdot 10 = 50$ мин.
$180 + 50 = 230$ мин.
Ответ: 230 мин.

в) Чтобы найти, сколько минут в $1\frac{3}{4}$ часах, нужно умножить это количество часов на 60.
Способ 1: Переведем смешанное число в неправильную дробь и умножим на 60.
$1\frac{3}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 3}{4} = \frac{7}{4}$ ч.
$\frac{7}{4} \cdot 60 = \frac{7 \cdot 60}{4} = 7 \cdot 15 = 105$ мин.
Способ 2: Посчитаем минуты для целой и дробной части отдельно и сложим их.
$1$ час = $1 \cdot 60 = 60$ мин.
$\frac{3}{4}$ часа = $\frac{3}{4} \cdot 60 = 3 \cdot 15 = 45$ мин.
$60 + 45 = 105$ мин.
Ответ: 105 мин.

г) Чтобы найти, сколько минут в $4\frac{2}{3}$ часах, нужно умножить это количество часов на 60.
Способ 1: Переведем смешанное число в неправильную дробь и умножим на 60.
$4\frac{2}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 2}{3} = \frac{12 + 2}{3} = \frac{14}{3}$ ч.
$\frac{14}{3} \cdot 60 = \frac{14 \cdot 60}{3} = 14 \cdot 20 = 280$ мин.
Способ 2: Посчитаем минуты для целой и дробной части отдельно и сложим их.
$4$ часа = $4 \cdot 60 = 240$ мин.
$\frac{2}{3}$ часа = $\frac{2}{3} \cdot 60 = 2 \cdot 20 = 40$ мин.
$240 + 40 = 280$ мин.
Ответ: 280 мин.

572 В одном килограмме 1000 г. Сколько граммов:

а) в $5\frac{2}{5}$ кг;

б) в $2\frac{3}{10}$ кг;

в) в $4\frac{1}{4}$ кг;

г) в $3\frac{7}{20}$ кг?

Для того чтобы перевести килограммы в граммы, необходимо данное значение умножить на 1000, так как в одном килограмме 1000 граммов ($1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$).

а) Чтобы найти, сколько граммов в $5 \frac{2}{5}$ кг, сначала переведем смешанное число в неправильную дробь:
$5 \frac{2}{5} = \frac{5 \times 5 + 2}{5} = \frac{27}{5}$ кг.
Теперь умножим полученное значение на 1000, чтобы перевести килограммы в граммы:
$\frac{27}{5} \times 1000 = 27 \times \frac{1000}{5} = 27 \times 200 = 5400$ г.
Ответ: 5400 г.

б) Чтобы найти, сколько граммов в $2 \frac{3}{10}$ кг, сначала переведем смешанное число в неправильную дробь:
$2 \frac{3}{10} = \frac{2 \times 10 + 3}{10} = \frac{23}{10}$ кг.
Теперь умножим полученное значение на 1000:
$\frac{23}{10} \times 1000 = 23 \times \frac{1000}{10} = 23 \times 100 = 2300$ г.
Ответ: 2300 г.

в) Чтобы найти, сколько граммов в $4 \frac{1}{4}$ кг, сначала переведем смешанное число в неправильную дробь:
$4 \frac{1}{4} = \frac{4 \times 4 + 1}{4} = \frac{17}{4}$ кг.
Теперь умножим полученное значение на 1000:
$\frac{17}{4} \times 1000 = 17 \times \frac{1000}{4} = 17 \times 250 = 4250$ г.
Ответ: 4250 г.

г) Чтобы найти, сколько граммов в $3 \frac{7}{20}$ кг, сначала переведем смешанное число в неправильную дробь:
$3 \frac{7}{20} = \frac{3 \times 20 + 7}{20} = \frac{67}{20}$ кг.
Теперь умножим полученное значение на 1000:
$\frac{67}{20} \times 1000 = 67 \times \frac{1000}{20} = 67 \times 50 = 3350$ г.
Ответ: 3350 г.

573 Кассир работает ежедневно $7 \frac{1}{2}$ ч. Сколько часов в неделю он работает при пятидневной рабочей неделе?

Чтобы найти общее количество часов, которое кассир работает в неделю, необходимо умножить продолжительность его рабочего дня на количество рабочих дней в неделе.

Продолжительность рабочего дня кассира составляет $7\frac{1}{2}$ часа.

Количество рабочих дней в неделе — 5.

Для выполнения умножения $7\frac{1}{2} \times 5$ представим смешанное число $7\frac{1}{2}$ в виде неправильной дроби:

$7\frac{1}{2} = \frac{7 \times 2 + 1}{2} = \frac{14 + 1}{2} = \frac{15}{2}$

Теперь умножим полученную дробь на количество рабочих дней:

$\frac{15}{2} \times 5 = \frac{15 \times 5}{2} = \frac{75}{2}$

Чтобы получить ответ в более понятном виде, преобразуем неправильную дробь $\frac{75}{2}$ обратно в смешанное число, разделив числитель на знаменатель:

$75 \div 2 = 37$ (остаток 1)

Следовательно, $\frac{75}{2} = 37\frac{1}{2}$ часа.

Таким образом, при пятидневной рабочей неделе кассир работает $37\frac{1}{2}$ часов.

Ответ: $37\frac{1}{2}$ ч.

574 Масса дыни 5 кг, а масса арбуза в полтора раза больше. На сколько килограммов масса арбуза больше массы дыни?

Для решения этой задачи необходимо выполнить два действия: сначала найти массу арбуза, а затем вычислить разницу между массой арбуза и массой дыни.

1. Найдем массу арбуза.

Из условия известно, что масса дыни составляет 5 кг, а масса арбуза в полтора раза больше. "В полтора раза" эквивалентно умножению на 1,5.

$5 \cdot 1,5 = 7,5$ (кг) – масса арбуза.

2. Найдем, на сколько килограммов масса арбуза больше массы дыни.

Чтобы найти разницу, нужно из большей массы (массы арбуза) вычесть меньшую (массу дыни).

$7,5 - 5 = 2,5$ (кг).

Ответ: масса арбуза больше массы дыни на 2,5 кг.

575 Из посёлка Сосенки в деревню Ельники выехал велосипедист со скоростью 9 км/ч. Одновременно навстречу ему из деревни Ельники выехал велосипедист со скоростью 15 км/ч. Какое расстояние будет между ними через 40 мин, если расстояние между посёлком и деревней составляет 20 км? А через 50 мин?

Для решения задачи сначала найдем скорость сближения велосипедистов. Так как они движутся навстречу друг другу, их скорости складываются.

1) Скорость сближения велосипедистов:
$v_{сбл} = v_1 + v_2 = 9 \text{ км/ч} + 15 \text{ км/ч} = 24 \text{ км/ч}$.

Это означает, что расстояние между ними сокращается на 24 километра каждый час.

Какое расстояние будет между ними через 40 мин

2) Переведем время из минут в часы, так как скорость дана в км/ч. В одном часе 60 минут.
$t_1 = 40 \text{ мин} = \frac{40}{60} \text{ ч} = \frac{2}{3} \text{ ч}$.

3) Найдем, на какое расстояние велосипедисты сблизятся за это время. Для этого умножим скорость сближения на время.
$S_{сбл1} = v_{сбл} \times t_1 = 24 \text{ км/ч} \times \frac{2}{3} \text{ ч} = 16 \text{ км}$.

4) Чтобы найти, какое расстояние будет между ними через 40 минут, вычтем из начального расстояния то расстояние, на которое они сблизились.
$S_{ост1} = S - S_{сбл1} = 20 \text{ км} - 16 \text{ км} = 4 \text{ км}$.

Ответ: через 40 минут расстояние между ними будет 4 км.

А через 50 мин

5) Аналогично первому случаю, переведем 50 минут в часы.
$t_2 = 50 \text{ мин} = \frac{50}{60} \text{ ч} = \frac{5}{6} \text{ ч}$.

6) Найдем, на какое расстояние велосипедисты сблизятся за 50 минут.
$S_{сбл2} = v_{сбл} \times t_2 = 24 \text{ км/ч} \times \frac{5}{6} \text{ ч} = 20 \text{ км}$.

7) Вычтем из начального расстояния расстояние сближения.
$S_{ост2} = S - S_{сбл2} = 20 \text{ км} - 20 \text{ км} = 0 \text{ км}$.

Это означает, что ровно через 50 минут велосипедисты встретятся.

Ответ: через 50 минут расстояние между ними будет 0 км (они встретятся).

576 ЗАДАЧА-ИССЛЕДОВАНИЕ

(Отвечая на вопросы 1 и 2, поэкспериментируйте с числами.)

1) Известно, что $m > 1$. Сравните числа: $m$ и $m^2$; $m^2$ и $m^3$.

2) Известно, что $m < 1$. Сравните числа: $m$ и $m^2$; $m^2$ и $m^3$.

3) Как меняется число при возведении его в степень, если оно больше 1? меньше 1?

4) Сравните $m^{20}$ и $m^{30}$, если: а) $m > 1$; б) $m < 1$.

1)

Известно, что $m > 1$. Для сравнения чисел будем рассматривать их разность.

Сравним $m$ и $m^2$. Разность $m^2 - m = m(m-1)$. По условию $m > 1$, следовательно, множитель $m$ положителен, и множитель $(m-1)$ также положителен. Произведение двух положительных чисел есть число положительное, поэтому $m(m-1) > 0$. Отсюда следует, что $m^2 - m > 0$, а значит $m^2 > m$.

Сравним $m^2$ и $m^3$. Разность $m^3 - m^2 = m^2(m-1)$. Так как $m > 1$, то $m^2$ — положительное число, и $(m-1)$ — также положительное число. Их произведение $m^2(m-1) > 0$. Отсюда следует, что $m^3 - m^2 > 0$, а значит $m^3 > m^2$.

Ответ: $m < m^2$; $m^2 < m^3$.

2)

Известно, что $m < 1$. Поскольку в задаче речь идет о возведении в степень, будем рассматривать наиболее общий случай для таких задач — положительное основание, то есть $0 < m < 1$.

Сравним $m$ и $m^2$. Разность $m^2 - m = m(m-1)$. По условию $0 < m < 1$, следовательно, множитель $m$ положителен, а множитель $(m-1)$ отрицателен. Произведение положительного и отрицательного чисел есть число отрицательное, поэтому $m(m-1) < 0$. Отсюда следует, что $m^2 - m < 0$, а значит $m^2 < m$.

Сравним $m^2$ и $m^3$. Разность $m^3 - m^2 = m^2(m-1)$. Так как $0 < m < 1$, то $m^2$ — положительное число, а $(m-1)$ — отрицательное число. Их произведение $m^2(m-1) < 0$. Отсюда следует, что $m^3 - m^2 < 0$, а значит $m^3 < m^2$.

Ответ: $m > m^2$; $m^2 > m^3$.

3)

На основе предыдущих пунктов можно сделать следующие выводы о том, как меняется число при возведении в степень (с натуральным показателем).

Если число больше 1 ($m > 1$), то при возведении его в большую степень оно увеличивается. То есть, для любых натуральных показателей $n_2 > n_1$ будет выполняться неравенство $m^{n_2} > m^{n_1}$.

Если положительное число меньше 1 ($0 < m < 1$), то при возведении его в большую степень оно уменьшается. То есть, для любых натуральных показателей $n_2 > n_1$ будет выполняться неравенство $m^{n_2} < m^{n_1}$.

Ответ: Если число больше 1, оно увеличивается при возведении в большую степень. Если положительное число меньше 1, оно уменьшается при возведении в большую степень.

4)

Используем выводы, сделанные в пункте 3, для сравнения чисел $m^{20}$ и $m^{30}$.

а) если $m > 1$:

При возведении числа, большего 1, в степень, большему показателю степени соответствует большее значение. Так как показатель $30$ больше показателя $20$, то $m^{30} > m^{20}$.

б) если $m < 1$:

Предполагая, что $0 < m < 1$, при возведении такого числа в степень, большему показателю степени соответствует меньшее значение. Так как показатель $30$ больше показателя $20$, то $m^{30} < m^{20}$.

Ответ: а) $m^{20} < m^{30}$; б) $m^{20} > m^{30}$.