Страница 156 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

524 Прочитайте смешанную дробь, запишите её в виде суммы целой и дробной частей:

а) $1\frac{1}{2}$;

б) $3\frac{2}{7}$;

в) $5\frac{1}{9}$;

г) $4\frac{2}{3}$;

д) $2\frac{11}{22}$;

е) $4\frac{2}{5}$.

Смешанная дробь — это число, состоящее из целой части и дробной части. По определению, смешанная дробь равна сумме её целой и дробной частей. Чтобы записать смешанную дробь в виде суммы, нужно поставить знак сложения между целой и дробной частью.

а) Смешанная дробь $1\frac{1}{2}$ читается как «одна целая одна вторая». Она состоит из целой части 1 и дробной части $\frac{1}{2}$. Запись в виде суммы целой и дробной частей: $1\frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2}$.

Ответ: $1\frac{1}{2} = 1 + \frac{1}{2}$.

б) Смешанная дробь $3\frac{2}{7}$ читается как «три целых две седьмых». Она состоит из целой части 3 и дробной части $\frac{2}{7}$. Запись в виде суммы целой и дробной частей: $3\frac{2}{7} = 3 + \frac{2}{7}$.

Ответ: $3\frac{2}{7} = 3 + \frac{2}{7}$.

в) Смешанная дробь $5\frac{1}{9}$ читается как «пять целых одна девятая». Она состоит из целой части 5 и дробной части $\frac{1}{9}$. Запись в виде суммы целой и дробной частей: $5\frac{1}{9} = 5 + \frac{1}{9}$.

Ответ: $5\frac{1}{9} = 5 + \frac{1}{9}$.

г) Смешанная дробь $4\frac{2}{3}$ читается как «четыре целых две третьих». Она состоит из целой части 4 и дробной части $\frac{2}{3}$. Запись в виде суммы целой и дробной частей: $4\frac{2}{3} = 4 + \frac{2}{3}$.

Ответ: $4\frac{2}{3} = 4 + \frac{2}{3}$.

д) Смешанная дробь $2\frac{11}{22}$ читается как «две целых одиннадцать двадцать вторых». Она состоит из целой части 2 и дробной части $\frac{11}{22}$. Запись в виде суммы целой и дробной частей: $2\frac{11}{22} = 2 + \frac{11}{22}$.

Ответ: $2\frac{11}{22} = 2 + \frac{11}{22}$.

е) Смешанная дробь $4\frac{2}{5}$ читается как «четыре целых две пятых». Она состоит из целой части 4 и дробной части $\frac{2}{5}$. Запись в виде суммы целой и дробной частей: $4\frac{2}{5} = 4 + \frac{2}{5}$.

Ответ: $4\frac{2}{5} = 4 + \frac{2}{5}$.

525 Запишите сумму в виде смешанной дроби:

а) $3 + \frac{1}{2};$

б) $7 + \frac{1}{3};$

в) $12 + \frac{1}{11};$

г) $1 + \frac{2}{9}.$

а) Смешанная дробь (или смешанное число) — это число, состоящее из целой части и дробной части. Сумма целого числа и правильной дроби по определению записывается в виде смешанной дроби, где целое число является целой частью, а правильная дробь — дробной частью.
Для суммы $3 + \frac{1}{2}$ целая часть равна 3, а дробная часть равна $\frac{1}{2}$.
Таким образом, получаем смешанную дробь: $3\frac{1}{2}$.
Ответ: $3\frac{1}{2}$

б) Аналогично, для суммы $7 + \frac{1}{3}$ целая часть равна 7, а дробная часть — $\frac{1}{3}$.
Записываем сумму в виде смешанной дроби:
$7 + \frac{1}{3} = 7\frac{1}{3}$
Ответ: $7\frac{1}{3}$

в) В выражении $12 + \frac{1}{11}$ целая часть — это 12, а дробная — $\frac{1}{11}$.
Записываем сумму в виде смешанной дроби:
$12 + \frac{1}{11} = 12\frac{1}{11}$
Ответ: $12\frac{1}{11}$

г) Для суммы $1 + \frac{2}{9}$ целая часть равна 1, а дробная часть — $\frac{2}{9}$.
Записываем сумму в виде смешанной дроби:
$1 + \frac{2}{9} = 1\frac{2}{9}$
Ответ: $1\frac{2}{9}$

526 Сравните дроби:

а) $3\frac{1}{2}$ и $4\frac{1}{3}$;

б) $4\frac{3}{4}$ и $4\frac{1}{4}$;

в) $5\frac{1}{4}$ и $5\frac{1}{3}$;

г) $8\frac{2}{3}$ и $8\frac{2}{5}$.

а) Чтобы сравнить смешанные числа $3\frac{1}{2}$ и $4\frac{1}{3}$, в первую очередь нужно сравнить их целые части.
Целая часть первого числа равна 3, а второго — 4.
Поскольку $3 < 4$, то и всё первое число меньше второго, независимо от их дробных частей.
Таким образом, $3\frac{1}{2} < 4\frac{1}{3}$.
Ответ: $3\frac{1}{2} < 4\frac{1}{3}$.

б) Сравним дроби $4\frac{3}{4}$ и $4\frac{1}{4}$.
Целые части этих чисел равны (4 = 4), поэтому для сравнения необходимо сравнить их дробные части: $\frac{3}{4}$ и $\frac{1}{4}$.
Так как знаменатели у этих дробей одинаковы, то больше та дробь, у которой числитель больше.
Сравниваем числители: $3 > 1$.
Следовательно, $\frac{3}{4} > \frac{1}{4}$, а значит и $4\frac{3}{4} > 4\frac{1}{4}$.
Ответ: $4\frac{3}{4} > 4\frac{1}{4}$.

в) Сравним дроби $5\frac{1}{4}$ и $5\frac{1}{3}$.
Целые части этих чисел равны (5 = 5), поэтому нужно сравнить их дробные части: $\frac{1}{4}$ и $\frac{1}{3}$.
Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, их нужно привести к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 3 равен 12.
Приводим первую дробь: $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12}$.
Приводим вторую дробь: $\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{4}{12}$.
Теперь сравним дроби с одинаковым знаменателем: $\frac{3}{12}$ и $\frac{4}{12}$.
Так как $3 < 4$, то $\frac{3}{12} < \frac{4}{12}$.
Следовательно, $\frac{1}{4} < \frac{1}{3}$, а значит и $5\frac{1}{4} < 5\frac{1}{3}$.
Ответ: $5\frac{1}{4} < 5\frac{1}{3}$.

г) Сравним дроби $8\frac{2}{3}$ и $8\frac{2}{5}$.
Целые части этих чисел равны (8 = 8), поэтому необходимо сравнить их дробные части: $\frac{2}{3}$ и $\frac{2}{5}$.
Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 3 и 5 равен 15.
Приводим первую дробь: $\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15}$.
Приводим вторую дробь: $\frac{2}{5} = \frac{2 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{6}{15}$.
Теперь сравним дроби с одинаковым знаменателем: $\frac{10}{15}$ и $\frac{6}{15}$.
Так как $10 > 6$, то $\frac{10}{15} > \frac{6}{15}$.
Следовательно, $\frac{2}{3} > \frac{2}{5}$, а значит и $8\frac{2}{3} > 8\frac{2}{5}$.
Ответ: $8\frac{2}{3} > 8\frac{2}{5}$.

527 Выразите в граммах:

а) $2\frac{1}{10}$ кг;

б) $4\frac{1}{2}$ кг;

в) $1\frac{3}{4}$ кг;

г) $3\frac{2}{5}$ кг.

Образец. Выразим $3\frac{1}{5}$ кг в граммах.

3 кг = 3000 г, $\frac{1}{5}$ кг = 200 г. Значит, $3\frac{1}{5}$ кг = 3200 г.

Чтобы выразить килограммы в граммах, нужно использовать соотношение: $1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$. Для смешанных чисел, таких как $2\frac{1}{10}$ кг, мы можем перевести целую и дробную части в граммы по отдельности, а затем сложить результаты.

а)

Чтобы выразить $2\frac{1}{10}$ кг в граммах, выполним следующие действия:

1. Переведем целую часть в граммы: $2 \text{ кг} = 2 \times 1000 \text{ г} = 2000 \text{ г}$.

2. Переведем дробную часть в граммы: $\frac{1}{10} \text{ кг} = \frac{1}{10} \times 1000 \text{ г} = \frac{1000}{10} \text{ г} = 100 \text{ г}$.

3. Сложим полученные значения: $2000 \text{ г} + 100 \text{ г} = 2100 \text{ г}$.

Ответ: 2100 г.

б)

Чтобы выразить $4\frac{1}{2}$ кг в граммах, выполним следующие действия:

1. Переведем целую часть в граммы: $4 \text{ кг} = 4 \times 1000 \text{ г} = 4000 \text{ г}$.

2. Переведем дробную часть в граммы: $\frac{1}{2} \text{ кг} = \frac{1}{2} \times 1000 \text{ г} = 500 \text{ г}$.

3. Сложим полученные значения: $4000 \text{ г} + 500 \text{ г} = 4500 \text{ г}$.

Ответ: 4500 г.

в)

Чтобы выразить $1\frac{3}{4}$ кг в граммах, выполним следующие действия:

1. Переведем целую часть в граммы: $1 \text{ кг} = 1000 \text{ г}$.

2. Переведем дробную часть в граммы: $\frac{3}{4} \text{ кг} = \frac{3}{4} \times 1000 \text{ г} = 3 \times 250 \text{ г} = 750 \text{ г}$.

3. Сложим полученные значения: $1000 \text{ г} + 750 \text{ г} = 1750 \text{ г}$.

Ответ: 1750 г.

г)

Чтобы выразить $3\frac{2}{5}$ кг в граммах, выполним следующие действия:

1. Переведем целую часть в граммы: $3 \text{ кг} = 3 \times 1000 \text{ г} = 3000 \text{ г}$.

2. Переведем дробную часть в граммы: $\frac{2}{5} \text{ кг} = \frac{2}{5} \times 1000 \text{ г} = 2 \times 200 \text{ г} = 400 \text{ г}$.

3. Сложим полученные значения: $3000 \text{ г} + 400 \text{ г} = 3400 \text{ г}$.

Ответ: 3400 г.

528 Запишите неправильную дробь в виде смешанной дроби:

а) $\frac{3}{2}$, $\frac{5}{4}$, $\frac{8}{5}$, $\frac{7}{2}$, $\frac{10}{3}$, $\frac{15}{4}$, $\frac{53}{6}$, $\frac{40}{9}$.

б) $\frac{20}{8}$, $\frac{15}{10}$, $\frac{28}{21}$, $\frac{40}{15}$, $\frac{56}{12}$, $\frac{42}{9}$, $\frac{22}{4}$, $\frac{50}{6}$.

Чтобы записать неправильную дробь в виде смешанной, необходимо разделить числитель на знаменатель с остатком. Неполное частное (результат деления) станет целой частью смешанной дроби, остаток от деления — числителем дробной части, а знаменатель останется без изменений.

$ \frac{3}{2} $: Делим 3 на 2, получаем 1 в целой части и 1 в остатке. Результат: $ 1\frac{1}{2} $.
$ \frac{5}{4} $: Делим 5 на 4, получаем 1 в целой части и 1 в остатке. Результат: $ 1\frac{1}{4} $.
$ \frac{8}{5} $: Делим 8 на 5, получаем 1 в целой части и 3 в остатке. Результат: $ 1\frac{3}{5} $.
$ \frac{7}{2} $: Делим 7 на 2, получаем 3 в целой части и 1 в остатке. Результат: $ 3\frac{1}{2} $.
$ \frac{10}{3} $: Делим 10 на 3, получаем 3 в целой части и 1 в остатке. Результат: $ 3\frac{1}{3} $.
$ \frac{15}{4} $: Делим 15 на 4, получаем 3 в целой части и 3 в остатке. Результат: $ 3\frac{3}{4} $.
$ \frac{53}{6} $: Делим 53 на 6, получаем 8 в целой части и 5 в остатке. Результат: $ 8\frac{5}{6} $.
$ \frac{40}{9} $: Делим 40 на 9, получаем 4 в целой части и 4 в остатке. Результат: $ 4\frac{4}{9} $.

Ответ: $ 1\frac{1}{2}; 1\frac{1}{4}; 1\frac{3}{5}; 3\frac{1}{2}; 3\frac{1}{3}; 3\frac{3}{4}; 8\frac{5}{6}; 4\frac{4}{9}. $

В этом пункте после выделения целой части необходимо также сократить дробную часть, если это возможно, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель.

$ \frac{20}{8} $: Делим 20 на 8, получаем 2 и 4 в остатке. Получаем $ 2\frac{4}{8} $. Сокращаем дробь $ \frac{4}{8} $ на 4, получаем $ \frac{1}{2} $. Результат: $ 2\frac{1}{2} $.
$ \frac{15}{10} $: Делим 15 на 10, получаем 1 и 5 в остатке. Получаем $ 1\frac{5}{10} $. Сокращаем дробь $ \frac{5}{10} $ на 5, получаем $ \frac{1}{2} $. Результат: $ 1\frac{1}{2} $.
$ \frac{28}{21} $: Делим 28 на 21, получаем 1 и 7 в остатке. Получаем $ 1\frac{7}{21} $. Сокращаем дробь $ \frac{7}{21} $ на 7, получаем $ \frac{1}{3} $. Результат: $ 1\frac{1}{3} $.
$ \frac{40}{15} $: Делим 40 на 15, получаем 2 и 10 в остатке. Получаем $ 2\frac{10}{15} $. Сокращаем дробь $ \frac{10}{15} $ на 5, получаем $ \frac{2}{3} $. Результат: $ 2\frac{2}{3} $.
$ \frac{56}{12} $: Делим 56 на 12, получаем 4 и 8 в остатке. Получаем $ 4\frac{8}{12} $. Сокращаем дробь $ \frac{8}{12} $ на 4, получаем $ \frac{2}{3} $. Результат: $ 4\frac{2}{3} $.
$ \frac{42}{9} $: Делим 42 на 9, получаем 4 и 6 в остатке. Получаем $ 4\frac{6}{9} $. Сокращаем дробь $ \frac{6}{9} $ на 3, получаем $ \frac{2}{3} $. Результат: $ 4\frac{2}{3} $.
$ \frac{22}{4} $: Делим 22 на 4, получаем 5 и 2 в остатке. Получаем $ 5\frac{2}{4} $. Сокращаем дробь $ \frac{2}{4} $ на 2, получаем $ \frac{1}{2} $. Результат: $ 5\frac{1}{2} $.
$ \frac{50}{6} $: Делим 50 на 6, получаем 8 и 2 в остатке. Получаем $ 8\frac{2}{6} $. Сокращаем дробь $ \frac{2}{6} $ на 2, получаем $ \frac{1}{3} $. Результат: $ 8\frac{1}{3} $.

Ответ: $ 2\frac{1}{2}; 1\frac{1}{2}; 1\frac{1}{3}; 2\frac{2}{3}; 4\frac{2}{3}; 4\frac{2}{3}; 5\frac{1}{2}; 8\frac{1}{3}. $

529 Между какими последовательными натуральными числами заключено число:

а) $\frac{13}{4}$;

б) $\frac{32}{5}$;

в) $\frac{17}{6}$;

г) $\frac{14}{3}$?

В каждом случае отметьте это число на координатной прямой.

а)

Чтобы определить, между какими последовательными натуральными числами находится дробь $\frac{13}{4}$, представим ее в виде смешанного числа. Для этого разделим числитель 13 на знаменатель 4 с остатком.
$13 \div 4 = 3$ (остаток 1).
Следовательно, $\frac{13}{4} = 3\frac{1}{4}$.
Это число больше 3, но меньше 4. Таким образом, число $\frac{13}{4}$ заключено между натуральными числами 3 и 4.
$3 < \frac{13}{4} < 4$.
Отметим это число на координатной прямой. Для этого разделим отрезок между числами 3 и 4 на 4 равные части и отсчитаем одну часть от числа 3.

Ответ: число $\frac{13}{4}$ заключено между 3 и 4.

б)

Представим дробь $\frac{32}{5}$ в виде смешанного числа. Разделим 32 на 5 с остатком.
$32 \div 5 = 6$ (остаток 2).
Следовательно, $\frac{32}{5} = 6\frac{2}{5}$.
Это число больше 6, но меньше 7. Таким образом, число $\frac{32}{5}$ заключено между натуральными числами 6 и 7.
$6 < \frac{32}{5} < 7$.
Отметим это число на координатной прямой. Для этого разделим отрезок между числами 6 и 7 на 5 равных частей и отсчитаем две части от числа 6.

Ответ: число $\frac{32}{5}$ заключено между 6 и 7.

в)

Представим дробь $\frac{17}{6}$ в виде смешанного числа. Разделим 17 на 6 с остатком.
$17 \div 6 = 2$ (остаток 5).
Следовательно, $\frac{17}{6} = 2\frac{5}{6}$.
Это число больше 2, но меньше 3. Таким образом, число $\frac{17}{6}$ заключено между натуральными числами 2 и 3.
$2 < \frac{17}{6} < 3$.
Отметим это число на координатной прямой. Для этого разделим отрезок между числами 2 и 3 на 6 равных частей и отсчитаем пять частей от числа 2.

Ответ: число $\frac{17}{6}$ заключено между 2 и 3.

г)

Представим дробь $\frac{14}{3}$ в виде смешанного числа. Разделим 14 на 3 с остатком.
$14 \div 3 = 4$ (остаток 2).
Следовательно, $\frac{14}{3} = 4\frac{2}{3}$.
Это число больше 4, но меньше 5. Таким образом, число $\frac{14}{3}$ заключено между натуральными числами 4 и 5.
$4 < \frac{14}{3} < 5$.
Отметим это число на координатной прямой. Для этого разделим отрезок между числами 4 и 5 на 3 равные части и отсчитаем две части от числа 4.

Ответ: число $\frac{14}{3}$ заключено между 4 и 5.

530 Выполните сложение и представьте результат в виде смешанной дроби:

а) $\frac{3}{8} + \frac{7}{8}$;

б) $\frac{5}{12} + \frac{2}{3}$;

В) $\frac{3}{4} + \frac{4}{5}$;

Г) $\frac{4}{15} + \frac{17}{20}$;

Д) $\frac{15}{12} + \frac{11}{18}$.

а)

Для сложения дробей $ \frac{3}{8} $ и $ \frac{7}{8} $, у которых одинаковые знаменатели, нужно сложить их числители, а знаменатель оставить прежним:

$ \frac{3}{8} + \frac{7}{8} = \frac{3+7}{8} = \frac{10}{8} $

Получилась неправильная дробь $ \frac{10}{8} $. Чтобы представить ее в виде смешанной дроби, нужно разделить числитель на знаменатель с остатком:

$ 10 \div 8 = 1 $ (остаток $ 2 $)

Целая часть смешанной дроби равна $ 1 $, числитель дробной части равен остатку $ 2 $, а знаменатель остается прежним — $ 8 $. Получаем $ 1\frac{2}{8} $.

Дробную часть $ \frac{2}{8} $ можно сократить, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 2:

$ \frac{2}{8} = \frac{2 \div 2}{8 \div 2} = \frac{1}{4} $

Таким образом, окончательный результат: $ 1\frac{1}{4} $.

Ответ: $ 1\frac{1}{4} $

б)

Чтобы сложить дроби $ \frac{5}{12} $ и $ \frac{2}{3} $ с разными знаменателями, нужно привести их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 12 и 3 — это 12.

Первая дробь $ \frac{5}{12} $ уже имеет нужный знаменатель.

Для второй дроби $ \frac{2}{3} $ найдем дополнительный множитель: $ 12 \div 3 = 4 $. Умножим числитель и знаменатель на 4:

$ \frac{2}{3} = \frac{2 \times 4}{3 \times 4} = \frac{8}{12} $

Теперь сложим дроби с одинаковыми знаменателями:

$ \frac{5}{12} + \frac{8}{12} = \frac{5+8}{12} = \frac{13}{12} $

Преобразуем неправильную дробь $ \frac{13}{12} $ в смешанную. Разделим 13 на 12 с остатком:

$ 13 \div 12 = 1 $ (остаток $ 1 $)

Результат: $ 1\frac{1}{12} $.

Ответ: $ 1\frac{1}{12} $

в)

Для сложения дробей $ \frac{3}{4} $ и $ \frac{4}{5} $ найдем наименьший общий знаменатель для 4 и 5. Так как числа 4 и 5 взаимно простые, их наименьший общий знаменатель равен их произведению: $ 4 \times 5 = 20 $.

Приведем каждую дробь к знаменателю 20.

Для дроби $ \frac{3}{4} $ дополнительный множитель $ 20 \div 4 = 5 $:

$ \frac{3}{4} = \frac{3 \times 5}{4 \times 5} = \frac{15}{20} $

Для дроби $ \frac{4}{5} $ дополнительный множитель $ 20 \div 5 = 4 $:

$ \frac{4}{5} = \frac{4 \times 4}{5 \times 4} = \frac{16}{20} $

Сложим полученные дроби:

$ \frac{15}{20} + \frac{16}{20} = \frac{15+16}{20} = \frac{31}{20} $

Преобразуем неправильную дробь $ \frac{31}{20} $ в смешанную. Разделим 31 на 20 с остатком:

$ 31 \div 20 = 1 $ (остаток $ 11 $)

Результат: $ 1\frac{11}{20} $.

Ответ: $ 1\frac{11}{20} $

г)

Чтобы сложить дроби $ \frac{4}{15} $ и $ \frac{17}{20} $, найдем наименьший общий знаменатель (НОК) для 15 и 20.

Разложим знаменатели на простые множители: $ 15 = 3 \times 5 $; $ 20 = 2 \times 2 \times 5 = 2^2 \times 5 $.

НОК(15, 20) = $ 2^2 \times 3 \times 5 = 60 $. Общий знаменатель — 60.

Приведем дроби к знаменателю 60.

Дополнительный множитель для $ \frac{4}{15} $ равен $ 60 \div 15 = 4 $:

$ \frac{4}{15} = \frac{4 \times 4}{15 \times 4} = \frac{16}{60} $

Дополнительный множитель для $ \frac{17}{20} $ равен $ 60 \div 20 = 3 $:

$ \frac{17}{20} = \frac{17 \times 3}{20 \times 3} = \frac{51}{60} $

Сложим полученные дроби:

$ \frac{16}{60} + \frac{51}{60} = \frac{16+51}{60} = \frac{67}{60} $

Преобразуем неправильную дробь $ \frac{67}{60} $ в смешанную. Разделим 67 на 60 с остатком:

$ 67 \div 60 = 1 $ (остаток $ 7 $)

Результат: $ 1\frac{7}{60} $.

Ответ: $ 1\frac{7}{60} $

д)

Чтобы сложить дроби $ \frac{15}{12} $ и $ \frac{11}{18} $, найдем наименьший общий знаменатель (НОК) для 12 и 18.

Разложим знаменатели на простые множители: $ 12 = 2 \times 2 \times 3 = 2^2 \times 3 $; $ 18 = 2 \times 3 \times 3 = 2 \times 3^2 $.

НОК(12, 18) = $ 2^2 \times 3^2 = 4 \times 9 = 36 $. Общий знаменатель — 36.

Приведем дроби к знаменателю 36.

Дополнительный множитель для $ \frac{15}{12} $ равен $ 36 \div 12 = 3 $:

$ \frac{15}{12} = \frac{15 \times 3}{12 \times 3} = \frac{45}{36} $

Дополнительный множитель для $ \frac{11}{18} $ равен $ 36 \div 18 = 2 $:

$ \frac{11}{18} = \frac{11 \times 2}{18 \times 2} = \frac{22}{36} $

Сложим полученные дроби:

$ \frac{45}{36} + \frac{22}{36} = \frac{45+22}{36} = \frac{67}{36} $

Преобразуем неправильную дробь $ \frac{67}{36} $ в смешанную. Разделим 67 на 36 с остатком:

$ 67 \div 36 = 1 $ (остаток $ 31 $)

Результат: $ 1\frac{31}{36} $.

Ответ: $ 1\frac{31}{36} $