Страница 159 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

548 a) $1\frac{1}{2} - \frac{2}{3}$

б) $1\frac{1}{4} - \frac{1}{3}$

в) $1\frac{1}{8} - \frac{1}{4}$

г) $1\frac{2}{3} - \frac{5}{6}$

д) $2\frac{3}{10} - \frac{4}{15}$

Подсказка. Сделайте так, чтобы знаменатели дробей были одинаковыми.

а) Чтобы вычесть $\frac{2}{3}$ из $1\frac{1}{2}$, сначала приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 2 и 3 - это 6.
Представим смешанное число $1\frac{1}{2}$ в виде неправильной дроби: $1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$.
Приведем дроби к знаменателю 6:
$\frac{3}{2} = \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{9}{6}$
$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6}$
Теперь выполним вычитание:
$1\frac{1}{2} - \frac{2}{3} = \frac{9}{6} - \frac{4}{6} = \frac{9 - 4}{6} = \frac{5}{6}$.
Ответ: $\frac{5}{6}$

б) Для решения примера $1\frac{1}{4} - \frac{1}{3}$ найдем общий знаменатель для 4 и 3. Это 12.
Переведем $1\frac{1}{4}$ в неправильную дробь: $1\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{5}{4}$.
Приведем дроби к знаменателю 12:
$\frac{5}{4} = \frac{5 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{15}{12}$
$\frac{1}{3} = \frac{1 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{4}{12}$
Выполним вычитание:
$1\frac{1}{4} - \frac{1}{3} = \frac{15}{12} - \frac{4}{12} = \frac{15 - 4}{12} = \frac{11}{12}$.
Ответ: $\frac{11}{12}$

в) Решим пример $1\frac{1}{8} - \frac{1}{4}$. Общий знаменатель для 8 и 4 - это 8.
Приведем дробь $\frac{1}{4}$ к знаменателю 8: $\frac{1}{4} = \frac{1 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{2}{8}$.
Пример принимает вид: $1\frac{1}{8} - \frac{2}{8}$.
Так как дробная часть уменьшаемого ($\frac{1}{8}$) меньше дробной части вычитаемого ($\frac{2}{8}$), "займем" единицу у целой части и представим ее в виде дроби $\frac{8}{8}$:
$1\frac{1}{8} = 1 + \frac{1}{8} = \frac{8}{8} + \frac{1}{8} = \frac{9}{8}$.
Теперь вычитаем:
$\frac{9}{8} - \frac{2}{8} = \frac{9 - 2}{8} = \frac{7}{8}$.
Ответ: $\frac{7}{8}$

г) Чтобы решить $1\frac{2}{3} - \frac{5}{6}$, приведем дроби к общему знаменателю 6.
Приведем дробную часть $1\frac{2}{3}$ к знаменателю 6: $\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{4}{6}$. Получаем $1\frac{4}{6}$.
Пример: $1\frac{4}{6} - \frac{5}{6}$.
Дробная часть $\frac{4}{6}$ меньше, чем $\frac{5}{6}$, поэтому "займем" единицу у целой части:
$1\frac{4}{6} = \frac{6}{6} + \frac{4}{6} = \frac{10}{6}$.
Выполним вычитание:
$\frac{10}{6} - \frac{5}{6} = \frac{10 - 5}{6} = \frac{5}{6}$.
Ответ: $\frac{5}{6}$

д) Решим пример $2\frac{3}{10} - \frac{4}{15}$. Найдем наименьший общий знаменатель для 10 и 15. Это 30.
Приведем дробные части к знаменателю 30:
$\frac{3}{10} = \frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{9}{30}$
$\frac{4}{15} = \frac{4 \cdot 2}{15 \cdot 2} = \frac{8}{30}$
Пример принимает вид: $2\frac{9}{30} - \frac{8}{30}$.
Так как дробная часть уменьшаемого ($\frac{9}{30}$) больше дробной части вычитаемого ($\frac{8}{30}$), вычитаем дробные части:
$2\frac{9}{30} - \frac{8}{30} = 2 + (\frac{9}{30} - \frac{8}{30}) = 2 + \frac{9 - 8}{30} = 2\frac{1}{30}$.
Ответ: $2\frac{1}{30}$

549 а) $2\frac{1}{3} - 1\frac{1}{2}$

б) $4\frac{1}{5} - 2\frac{3}{10}$

в) $7\frac{1}{9} - 4\frac{1}{3}$

г) $2\frac{2}{7} - 1\frac{3}{5}$

д) $6\frac{1}{4} - 3\frac{2}{5}$

а) $2\frac{1}{3} - 1\frac{1}{2}$

Чтобы вычесть смешанные числа, сначала преобразуем их в неправильные дроби. Для этого умножим целую часть на знаменатель и прибавим числитель, а знаменатель оставим прежним.

$2\frac{1}{3} = \frac{2 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{7}{3}$

$1\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2 + 1}{2} = \frac{3}{2}$

Теперь нужно привести дроби к общему знаменателю. Наименьшее общее кратное для знаменателей 3 и 2 равно 6. Умножим числитель и знаменатель первой дроби на 2, а второй - на 3.

$\frac{7}{3} = \frac{7 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{14}{6}$

$\frac{3}{2} = \frac{3 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{9}{6}$

Теперь выполним вычитание дробей с одинаковыми знаменателями:

$\frac{14}{6} - \frac{9}{6} = \frac{14 - 9}{6} = \frac{5}{6}$

Ответ: $\frac{5}{6}$

б) $4\frac{1}{5} - 2\frac{3}{10}$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$4\frac{1}{5} = \frac{4 \cdot 5 + 1}{5} = \frac{21}{5}$

$2\frac{3}{10} = \frac{2 \cdot 10 + 3}{10} = \frac{23}{10}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 5 и 10 - это 10. Первую дробь нужно домножить на 2.

$\frac{21}{5} = \frac{21 \cdot 2}{5 \cdot 2} = \frac{42}{10}$

Выполним вычитание:

$\frac{42}{10} - \frac{23}{10} = \frac{42 - 23}{10} = \frac{19}{10}$

Преобразуем неправильную дробь обратно в смешанное число, разделив числитель на знаменатель с остатком:

$19 \div 10 = 1$ (остаток $9$)

$\frac{19}{10} = 1\frac{9}{10}$

Ответ: $1\frac{9}{10}$

в) $7\frac{1}{9} - 4\frac{1}{3}$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$7\frac{1}{9} = \frac{7 \cdot 9 + 1}{9} = \frac{64}{9}$

$4\frac{1}{3} = \frac{4 \cdot 3 + 1}{3} = \frac{13}{3}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 9 и 3 - это 9. Вторую дробь нужно домножить на 3.

$\frac{13}{3} = \frac{13 \cdot 3}{3 \cdot 3} = \frac{39}{9}$

Выполним вычитание:

$\frac{64}{9} - \frac{39}{9} = \frac{64 - 39}{9} = \frac{25}{9}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$25 \div 9 = 2$ (остаток $7$)

$\frac{25}{9} = 2\frac{7}{9}$

Ответ: $2\frac{7}{9}$

г) $2\frac{2}{7} - 1\frac{3}{5}$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$2\frac{2}{7} = \frac{2 \cdot 7 + 2}{7} = \frac{16}{7}$

$1\frac{3}{5} = \frac{1 \cdot 5 + 3}{5} = \frac{8}{5}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 7 и 5 - это $7 \cdot 5 = 35$.

$\frac{16}{7} = \frac{16 \cdot 5}{7 \cdot 5} = \frac{80}{35}$

$\frac{8}{5} = \frac{8 \cdot 7}{5 \cdot 7} = \frac{56}{35}$

Выполним вычитание:

$\frac{80}{35} - \frac{56}{35} = \frac{80 - 56}{35} = \frac{24}{35}$

Дробь является правильной и несократимой.

Ответ: $\frac{24}{35}$

д) $6\frac{1}{4} - 3\frac{2}{5}$

Преобразуем смешанные числа в неправильные дроби:

$6\frac{1}{4} = \frac{6 \cdot 4 + 1}{4} = \frac{25}{4}$

$3\frac{2}{5} = \frac{3 \cdot 5 + 2}{5} = \frac{17}{5}$

Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 4 и 5 - это $4 \cdot 5 = 20$.

$\frac{25}{4} = \frac{25 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{125}{20}$

$\frac{17}{5} = \frac{17 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{68}{20}$

Выполним вычитание:

$\frac{125}{20} - \frac{68}{20} = \frac{125 - 68}{20} = \frac{57}{20}$

Преобразуем неправильную дробь в смешанное число:

$57 \div 20 = 2$ (остаток $17$)

$\frac{57}{20} = 2\frac{17}{20}$

Ответ: $2\frac{17}{20}$

550 a) Из $7\frac{1}{2}$ т картофеля магазин продал $3\frac{1}{4}$ т. Сколько тонн картофеля осталось?

б) В куске было $10\frac{3}{4}$ м материи. Израсходовали на платья $8\frac{1}{2}$ м. Сколько метров материи осталось в куске?

а) Чтобы найти, сколько тонн картофеля осталось, нужно из начального количества вычесть количество проданного картофеля.

Для этого выполним вычитание смешанных чисел: $7\frac{1}{2} - 3\frac{1}{4}$.

Сначала приведем дробные части к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 2 и 4 это 4.

$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4}$

Теперь выражение выглядит так:

$7\frac{2}{4} - 3\frac{1}{4}$

Вычтем отдельно целые части и дробные части:

$7 - 3 = 4$ (целые части)

$\frac{2}{4} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4}$ (дробные части)

Сложив результаты, получаем $4\frac{1}{4}$ тонны.

Ответ: $4\frac{1}{4}$ т картофеля осталось.

б) Чтобы найти, сколько метров материи осталось в куске, необходимо из начальной длины вычесть израсходованную длину.

Составим выражение: $10\frac{3}{4} - 8\frac{1}{2}$.

Приведем дробные части к общему знаменателю 4:

$\frac{1}{2} = \frac{1 \cdot 2}{2 \cdot 2} = \frac{2}{4}$

Подставим преобразованную дробь в выражение:

$10\frac{3}{4} - 8\frac{2}{4}$

Выполним вычитание целых и дробных частей по отдельности:

$10 - 8 = 2$ (целые части)

$\frac{3}{4} - \frac{2}{4} = \frac{1}{4}$ (дробные части)

Объединив результаты, получаем $2\frac{1}{4}$ метра.

Ответ: $2\frac{1}{4}$ м материи осталось в куске.

551 От куска проволоки длиной $5\frac{1}{2}$ м отрезали $2\frac{7}{10}$ м проволоки. Сколько метров проволоки осталось? Какой кусок длиннее: отрезанный или оставшийся? На сколько?

Сколько метров проволоки осталось?
Чтобы найти длину оставшейся проволоки, нужно из первоначальной длины вычесть длину отрезанного куска.
$5\frac{1}{2} - 2\frac{7}{10}$
Приведем дроби к общему знаменателю 10:
$5\frac{1}{2} = 5\frac{1 \cdot 5}{2 \cdot 5} = 5\frac{5}{10}$
Теперь наше вычисление выглядит так:
$5\frac{5}{10} - 2\frac{7}{10}$
Поскольку дробная часть уменьшаемого ($ \frac{5}{10} $) меньше дробной части вычитаемого ($ \frac{7}{10} $), нам нужно занять единицу у целой части:
$5\frac{5}{10} = 4 + 1 + \frac{5}{10} = 4 + \frac{10}{10} + \frac{5}{10} = 4\frac{15}{10}$
Теперь производим вычитание:
$4\frac{15}{10} - 2\frac{7}{10} = (4 - 2) + (\frac{15}{10} - \frac{7}{10}) = 2\frac{8}{10}$
Сократим дробную часть:
$2\frac{8}{10} = 2\frac{4}{5}$
Ответ: осталось $2\frac{4}{5}$ м проволоки.

Какой кусок длиннее: отрезанный или оставшийся?
Сравним длину отрезанного куска ($2\frac{7}{10}$ м) и длину оставшегося куска ($2\frac{4}{5}$ м).
Для сравнения приведем оба числа к общему знаменателю 10:
Отрезанный кусок: $2\frac{7}{10}$ м.
Оставшийся кусок: $2\frac{4}{5} = 2\frac{4 \cdot 2}{5 \cdot 2} = 2\frac{8}{10}$ м.
Сравниваем $2\frac{8}{10}$ и $2\frac{7}{10}$. Так как целые части равны, сравниваем дробные части: $\frac{8}{10} > \frac{7}{10}$.
Следовательно, $2\frac{8}{10} > 2\frac{7}{10}$, значит оставшийся кусок длиннее.
Ответ: оставшийся кусок длиннее.

На сколько?
Чтобы найти разницу в длине, вычтем из длины оставшегося куска длину отрезанного:
$2\frac{8}{10} - 2\frac{7}{10} = (2 - 2) + (\frac{8}{10} - \frac{7}{10}) = 0 + \frac{1}{10} = \frac{1}{10}$
Разница составляет $\frac{1}{10}$ м.
Ответ: оставшийся кусок длиннее на $\frac{1}{10}$ м.

552 a) Найдите скорость лодки по течению реки и против течения, если её собственная скорость 8 км/ч, а скорость течения реки $1 \frac{1}{2}$ км/ч.

б) Скорость лодки по течению реки равна $17 \frac{1}{2}$ км/ч, а скорость течения реки равна $2 \frac{3}{4}$ км/ч. Найдите скорость лодки против течения реки.

а)

Чтобы найти скорость лодки по течению, необходимо сложить её собственную скорость и скорость течения реки. Чтобы найти скорость лодки против течения, нужно из её собственной скорости вычесть скорость течения.

1. Находим скорость лодки по течению реки:
$8 + 1\frac{1}{2} = 9\frac{1}{2}$ км/ч.

2. Находим скорость лодки против течения реки:
$8 - 1\frac{1}{2} = 7\frac{2}{2} - 1\frac{1}{2} = 6\frac{1}{2}$ км/ч.

Ответ: скорость лодки по течению $9\frac{1}{2}$ км/ч, скорость против течения $6\frac{1}{2}$ км/ч.

б)

Для того чтобы найти скорость лодки против течения, сначала нужно определить её собственную скорость. Собственная скорость равна скорости по течению минус скорость течения.

1. Находим собственную скорость лодки. Для этого приводим дроби к общему знаменателю:
$V_{собственная} = 17\frac{1}{2} - 2\frac{3}{4} = 17\frac{2}{4} - 2\frac{3}{4} = 16\frac{6}{4} - 2\frac{3}{4} = 14\frac{3}{4}$ км/ч.

2. Теперь, зная собственную скорость, находим скорость лодки против течения, вычитая из собственной скорости скорость течения:
$V_{против\;течения} = 14\frac{3}{4} - 2\frac{3}{4} = 12$ км/ч.

Ответ: скорость лодки против течения реки 12 км/ч.

553 По какому правилу составлена последовательность чисел? Запишите три следующих числа этой последовательности. Найдите сумму всех шести записанных чисел:

а) $5, 4\frac{2}{3}, 4\frac{1}{3}, \dots$;

б) $3\frac{1}{2}, 3, 2\frac{1}{2}, \dots$.

а) Для того чтобы определить правило, по которому составлена последовательность $5, 4\frac{2}{3}, 4\frac{1}{3}, ...$, найдем разность между соседними членами:
$a_2 - a_1 = 4\frac{2}{3} - 5 = 4\frac{2}{3} - 4\frac{3}{3} = -\frac{1}{3}$
$a_3 - a_2 = 4\frac{1}{3} - 4\frac{2}{3} = -\frac{1}{3}$
Правило: каждое следующее число последовательности на $\frac{1}{3}$ меньше предыдущего. Это арифметическая прогрессия с разностью $d = -\frac{1}{3}$.
Найдем три следующих числа последовательности:
Четвертое число: $a_4 = a_3 - \frac{1}{3} = 4\frac{1}{3} - \frac{1}{3} = 4$
Пятое число: $a_5 = a_4 - \frac{1}{3} = 4 - \frac{1}{3} = 3\frac{2}{3}$
Шестое число: $a_6 = a_5 - \frac{1}{3} = 3\frac{2}{3} - \frac{1}{3} = 3\frac{1}{3}$
Итак, следующие три числа: $4, 3\frac{2}{3}, 3\frac{1}{3}$.
Теперь найдем сумму всех шести записанных чисел: $5, 4\frac{2}{3}, 4\frac{1}{3}, 4, 3\frac{2}{3}, 3\frac{1}{3}$.
Сумма $S_6 = 5 + 4\frac{2}{3} + 4\frac{1}{3} + 4 + 3\frac{2}{3} + 3\frac{1}{3} = (5 + 4 + 4 + 4 + 3 + 3) + (\frac{2}{3} + \frac{1}{3} + \frac{2}{3} + \frac{1}{3}) = 23 + \frac{6}{3} = 23 + 2 = 25$.
Ответ: правило - каждое следующее число меньше предыдущего на $\frac{1}{3}$; следующие три числа - $4, 3\frac{2}{3}, 3\frac{1}{3}$; сумма шести чисел равна 25.

б) Для того чтобы определить правило, по которому составлена последовательность $3\frac{1}{2}, 3, 2\frac{1}{2}, ...$, найдем разность между соседними членами:
$b_2 - b_1 = 3 - 3\frac{1}{2} = -\frac{1}{2}$
$b_3 - b_2 = 2\frac{1}{2} - 3 = -\frac{1}{2}$
Правило: каждое следующее число последовательности на $\frac{1}{2}$ меньше предыдущего. Это арифметическая прогрессия с разностью $d = -\frac{1}{2}$.
Найдем три следующих числа последовательности:
Четвертое число: $b_4 = b_3 - \frac{1}{2} = 2\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 2$
Пятое число: $b_5 = b_4 - \frac{1}{2} = 2 - \frac{1}{2} = 1\frac{1}{2}$
Шестое число: $b_6 = b_5 - \frac{1}{2} = 1\frac{1}{2} - \frac{1}{2} = 1$
Итак, следующие три числа: $2, 1\frac{1}{2}, 1$.
Теперь найдем сумму всех шести записанных чисел: $3\frac{1}{2}, 3, 2\frac{1}{2}, 2, 1\frac{1}{2}, 1$.
Сумма $S_6 = 3\frac{1}{2} + 3 + 2\frac{1}{2} + 2 + 1\frac{1}{2} + 1 = (3 + 3 + 2 + 2 + 1 + 1) + (\frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}) = 12 + \frac{3}{2} = 12 + 1\frac{1}{2} = 13\frac{1}{2}$.
Ответ: правило - каждое следующее число меньше предыдущего на $\frac{1}{2}$; следующие три числа - $2, 1\frac{1}{2}, 1$; сумма шести чисел равна $13\frac{1}{2}$.

554 Вычислите $1 - \frac{1}{2}$, $2 - \frac{1}{3}$, $3 - \frac{1}{4}$, $4 - \frac{1}{5}$, ... . Продолжите эту цепочку разностей, записав ещё три выражения. Чему равна 100-я разность?

Вычислите 1 - 1/2, 2 - 1/3, 3 - 1/4, 4 - 1/5, ...

Для вычисления каждой разности представим целое число в виде дроби с нужным знаменателем и выполним вычитание:

• $1 - \frac{1}{2} = \frac{2}{2} - \frac{1}{2} = \frac{1}{2}$

• $2 - \frac{1}{3} = \frac{6}{3} - \frac{1}{3} = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3}$

• $3 - \frac{1}{4} = \frac{12}{4} - \frac{1}{4} = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4}$

• $4 - \frac{1}{5} = \frac{20}{5} - \frac{1}{5} = \frac{19}{5} = 3\frac{4}{5}$

Ответ: $\frac{1}{2}; \ 1\frac{2}{3}; \ 2\frac{3}{4}; \ 3\frac{4}{5}$.

Продолжите эту цепочку разностей, записав ещё три выражения

Чтобы продолжить цепочку, необходимо выявить закономерность. Заметим, что в каждом выражении из натурального числа $n$ вычитается дробь $\frac{1}{n+1}$.

Таким образом, общая формула для n-го члена последовательности: $n - \frac{1}{n+1}$.

Первые четыре выражения соответствуют $n=1, 2, 3, 4$. Следующие три выражения будут для $n=5, 6, 7$:

• Пятое выражение ($n=5$): $5 - \frac{1}{5+1} = 5 - \frac{1}{6}$

• Шестое выражение ($n=6$): $6 - \frac{1}{6+1} = 6 - \frac{1}{7}$

• Седьмое выражение ($n=7$): $7 - \frac{1}{7+1} = 7 - \frac{1}{8}$

Ответ: $5 - \frac{1}{6}, \ 6 - \frac{1}{7}, \ 7 - \frac{1}{8}$.

Чему равна 100-я разность?

Для нахождения 100-й разности воспользуемся установленной закономерностью $n - \frac{1}{n+1}$, подставив вместо $n$ число 100.

Получаем выражение: $100 - \frac{1}{100+1} = 100 - \frac{1}{101}$.

Вычислим его значение:

$100 - \frac{1}{101} = 99 + 1 - \frac{1}{101} = 99 + \frac{101}{101} - \frac{1}{101} = 99 + \frac{100}{101} = 99\frac{100}{101}$.

Ответ: $99\frac{100}{101}$.

555 Запишите две какие-нибудь смешанные дроби, удовлетворяющие условию:

1) сумма этих дробей равна натуральному числу;

2) одна дробь больше другой на $1 \frac{3}{7}$.

Обозначим искомые смешанные дроби как $x$ и $y$, где $x$ — большая дробь, а $y$ — меньшая. Задача ставит два условия:

1) сумма этих дробей равна натуральному числу;

2) одна дробь больше другой на $1\frac{3}{7}$.

Запишем эти условия в виде системы математических уравнений:

$ \begin{cases} x + y = N \\ x - y = 1\frac{3}{7} \end{cases} $

Здесь $N$ — некоторое натуральное число (например, 1, 2, 3, ...).

Чтобы решить эту систему, сначала сложим два уравнения. Это позволит нам найти выражение для $x$:

$(x+y) + (x-y) = N + 1\frac{3}{7}$

$2x = N + 1\frac{3}{7}$

Теперь вычтем второе уравнение из первого, чтобы найти выражение для $y$:

$(x+y) - (x-y) = N - 1\frac{3}{7}$

$2y = N - 1\frac{3}{7}$

Поскольку $x$ и $y$ должны быть смешанными дробями, они должны быть больше 1. Это значит, что меньшая дробь $y$ также должна быть больше 1:

$y > 1$

$\frac{N - 1\frac{3}{7}}{2} > 1$

$N - 1\frac{3}{7} > 2$

$N > 2 + 1\frac{3}{7}$

$N > 3\frac{3}{7}$

Самое маленькое натуральное число $N$, которое больше $3\frac{3}{7}$, — это 4. Давайте выберем $N=4$ и найдем наши дроби.

Подставим $N=4$ в уравнение для $y$:

$2y = 4 - 1\frac{3}{7} = 3\frac{7}{7} - 1\frac{3}{7} = 2\frac{4}{7}$

Переведем $2\frac{4}{7}$ в неправильную дробь: $2\frac{4}{7} = \frac{18}{7}$.

$2y = \frac{18}{7} \implies y = \frac{18}{7 \cdot 2} = \frac{9}{7} = 1\frac{2}{7}$

Теперь, зная $y$, найдем $x$ из второго условия: $x = y + 1\frac{3}{7}$.

$x = 1\frac{2}{7} + 1\frac{3}{7} = 2\frac{5}{7}$

Итак, мы нашли две смешанные дроби, которые могут быть решением: $2\frac{5}{7}$ и $1\frac{2}{7}$.

Проверим, выполняются ли для них оба исходных условия.

1. Сумма: $2\frac{5}{7} + 1\frac{2}{7} = (2+1) + (\frac{5}{7} + \frac{2}{7}) = 3 + \frac{7}{7} = 3 + 1 = 4$. Число 4 является натуральным. Условие выполнено.

2. Разность: $2\frac{5}{7} - 1\frac{2}{7} = (2-1) + (\frac{5}{7} - \frac{2}{7}) = 1 + \frac{3}{7} = 1\frac{3}{7}$. Условие выполнено.

Ответ: $2\frac{5}{7}$ и $1\frac{2}{7}$.

556 Составьте все возможные суммы и разности из чисел $ \frac{5}{6} $, $ \frac{8}{9} $, $ \frac{11}{12} $. Найдите их значения.

Для того чтобы найти все возможные суммы и разности данных дробей, сначала приведем их к общему знаменателю. Даны дроби: $\frac{5}{6}$, $\frac{8}{9}$, $\frac{11}{12}$.

Знаменатели дробей: 6, 9 и 12. Найдем наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел.

Разложим знаменатели на простые множители:

$6 = 2 \cdot 3$

$9 = 3^2$

$12 = 2^2 \cdot 3$

НОК(6, 9, 12) = $2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9 = 36$.

Теперь приведем каждую дробь к знаменателю 36:

$\frac{5}{6} = \frac{5 \cdot 6}{6 \cdot 6} = \frac{30}{36}$

$\frac{8}{9} = \frac{8 \cdot 4}{9 \cdot 4} = \frac{32}{36}$

$\frac{11}{12} = \frac{11 \cdot 3}{12 \cdot 3} = \frac{33}{36}$

Теперь составим все возможные суммы и разности и найдем их значения.

Суммы

1. Сумма $\frac{5}{6}$ и $\frac{8}{9}$:

$\frac{5}{6} + \frac{8}{9} = \frac{30}{36} + \frac{32}{36} = \frac{30 + 32}{36} = \frac{62}{36} = \frac{31}{18} = 1\frac{13}{18}$

Ответ: $1\frac{13}{18}$

2. Сумма $\frac{5}{6}$ и $\frac{11}{12}$:

$\frac{5}{6} + \frac{11}{12} = \frac{30}{36} + \frac{33}{36} = \frac{30 + 33}{36} = \frac{63}{36} = \frac{7}{4} = 1\frac{3}{4}$

Ответ: $1\frac{3}{4}$

3. Сумма $\frac{8}{9}$ и $\frac{11}{12}$:

$\frac{8}{9} + \frac{11}{12} = \frac{32}{36} + \frac{33}{36} = \frac{32 + 33}{36} = \frac{65}{36} = 1\frac{29}{36}$

Ответ: $1\frac{29}{36}$

Разности

1. Разность $\frac{8}{9}$ и $\frac{5}{6}$:

$\frac{8}{9} - \frac{5}{6} = \frac{32}{36} - \frac{30}{36} = \frac{32 - 30}{36} = \frac{2}{36} = \frac{1}{18}$

Ответ: $\frac{1}{18}$

2. Разность $\frac{5}{6}$ и $\frac{8}{9}$:

$\frac{5}{6} - \frac{8}{9} = \frac{30}{36} - \frac{32}{36} = \frac{30 - 32}{36} = -\frac{2}{36} = -\frac{1}{18}$

Ответ: $-\frac{1}{18}$

3. Разность $\frac{11}{12}$ и $\frac{5}{6}$:

$\frac{11}{12} - \frac{5}{6} = \frac{33}{36} - \frac{30}{36} = \frac{33 - 30}{36} = \frac{3}{36} = \frac{1}{12}$

Ответ: $\frac{1}{12}$

4. Разность $\frac{5}{6}$ и $\frac{11}{12}$:

$\frac{5}{6} - \frac{11}{12} = \frac{30}{36} - \frac{33}{36} = \frac{30 - 33}{36} = -\frac{3}{36} = -\frac{1}{12}$

Ответ: $-\frac{1}{12}$

5. Разность $\frac{11}{12}$ и $\frac{8}{9}$:

$\frac{11}{12} - \frac{8}{9} = \frac{33}{36} - \frac{32}{36} = \frac{33 - 32}{36} = \frac{1}{36}$

Ответ: $\frac{1}{36}$

6. Разность $\frac{8}{9}$ и $\frac{11}{12}$:

$\frac{8}{9} - \frac{11}{12} = \frac{32}{36} - \frac{33}{36} = \frac{32 - 33}{36} = -\frac{1}{36}$

Ответ: $-\frac{1}{36}$