Номер 555, страница 159 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

555 Запишите две какие-нибудь смешанные дроби, удовлетворяющие условию:

1) сумма этих дробей равна натуральному числу;

2) одна дробь больше другой на $1 \frac{3}{7}$.

Обозначим искомые смешанные дроби как $x$ и $y$, где $x$ — большая дробь, а $y$ — меньшая. Задача ставит два условия:

1) сумма этих дробей равна натуральному числу;

2) одна дробь больше другой на $1\frac{3}{7}$.

Запишем эти условия в виде системы математических уравнений:

$ \begin{cases} x + y = N \\ x - y = 1\frac{3}{7} \end{cases} $

Здесь $N$ — некоторое натуральное число (например, 1, 2, 3, ...).

Чтобы решить эту систему, сначала сложим два уравнения. Это позволит нам найти выражение для $x$:

$(x+y) + (x-y) = N + 1\frac{3}{7}$

$2x = N + 1\frac{3}{7}$

Теперь вычтем второе уравнение из первого, чтобы найти выражение для $y$:

$(x+y) - (x-y) = N - 1\frac{3}{7}$

$2y = N - 1\frac{3}{7}$

Поскольку $x$ и $y$ должны быть смешанными дробями, они должны быть больше 1. Это значит, что меньшая дробь $y$ также должна быть больше 1:

$y > 1$

$\frac{N - 1\frac{3}{7}}{2} > 1$

$N - 1\frac{3}{7} > 2$

$N > 2 + 1\frac{3}{7}$

$N > 3\frac{3}{7}$

Самое маленькое натуральное число $N$, которое больше $3\frac{3}{7}$, — это 4. Давайте выберем $N=4$ и найдем наши дроби.

Подставим $N=4$ в уравнение для $y$:

$2y = 4 - 1\frac{3}{7} = 3\frac{7}{7} - 1\frac{3}{7} = 2\frac{4}{7}$

Переведем $2\frac{4}{7}$ в неправильную дробь: $2\frac{4}{7} = \frac{18}{7}$.

$2y = \frac{18}{7} \implies y = \frac{18}{7 \cdot 2} = \frac{9}{7} = 1\frac{2}{7}$

Теперь, зная $y$, найдем $x$ из второго условия: $x = y + 1\frac{3}{7}$.

$x = 1\frac{2}{7} + 1\frac{3}{7} = 2\frac{5}{7}$

Итак, мы нашли две смешанные дроби, которые могут быть решением: $2\frac{5}{7}$ и $1\frac{2}{7}$.

Проверим, выполняются ли для них оба исходных условия.

1. Сумма: $2\frac{5}{7} + 1\frac{2}{7} = (2+1) + (\frac{5}{7} + \frac{2}{7}) = 3 + \frac{7}{7} = 3 + 1 = 4$. Число 4 является натуральным. Условие выполнено.

2. Разность: $2\frac{5}{7} - 1\frac{2}{7} = (2-1) + (\frac{5}{7} - \frac{2}{7}) = 1 + \frac{3}{7} = 1\frac{3}{7}$. Условие выполнено.

Ответ: $2\frac{5}{7}$ и $1\frac{2}{7}$.