Номер 645, страница 181 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

645 Найдите закономерность, по которой строится последовательность чисел, и запишите следующие два числа; определите, как меняются члены последовательности — увеличиваются или уменьшаются:

а) 1,1; 1,02; 1,003; 1,0004; 1,00005; ... ;

б) 1; 1,7; 1,76; 1,765; 1,7654; 1,76543; ... ;

в) 1; 0,9; 0,89; 0,789; 0,6789; ... .

а) В последовательности 1,1; 1,02; 1,003; 1,0004; 1,00005; ... можно заметить следующую закономерность: $n$-й член последовательности — это число, у которого целая часть равна 1, а в дробной части $n$ знаков после запятой. При этом первые $n-1$ знаков — это нули, а $n$-й знак — это цифра, равная номеру члена $n$.

• 1-й член: 1,1
• 2-й член: 1,02
• 3-й член: 1,003
• 4-й член: 1,0004
• 5-й член: 1,00005

Следуя этому правилу, следующие два члена будут:

• 6-й член: 1,000006 (пять нулей и цифра 6)
• 7-й член: 1,0000007 (шесть нулей и цифра 7)

Для определения характера изменения последовательности сравним её члены: $1,1 > 1,02 > 1,003 > 1,0004 > 1,00005$. Каждый следующий член меньше предыдущего, следовательно, члены последовательности уменьшаются.
Ответ: следующие два числа — 1,000006 и 1,0000007; члены последовательности уменьшаются.

б) В последовательности 1; 1,7; 1,76; 1,765; 1,7654; 1,76543; ... каждый следующий член получается путем дописывания в конец дробной части предыдущего члена новой цифры. Эти добавляемые цифры образуют убывающую последовательность: 7, 6, 5, 4, 3, ... Следующие цифры, которые нужно дописать, — это 2 и 1. Таким образом, следующие два члена последовательности:

• 1,765432 (к 1,76543 добавили 2)
• 1,7654321 (к 1,765432 добавили 1)

Сравним члены последовательности: $1 < 1,7 < 1,76 < 1,765$. Так как к каждому предыдущему числу добавляется положительная величина (например, $1,76 = 1,7 + 0,06$), каждый следующий член больше предыдущего. Следовательно, члены последовательности увеличиваются.
Ответ: следующие два числа — 1,765432 и 1,7654321; члены последовательности увеличиваются.

в) В последовательности 1; 0,9; 0,89; 0,789; 0,6789; ... закономерность, начиная со второго члена, заключается в следующем: цифры после запятой образуют возрастающую последовательность целых чисел, которая заканчивается на 9. При этом первая цифра в этой последовательности с каждым новым членом уменьшается на единицу: 9; 8; 7; 6; ...

• 2-й член: 0,9 (цифры: 9)
• 3-й член: 0,89 (цифры: 8, 9)
• 4-й член: 0,789 (цифры: 7, 8, 9)
• 5-й член: 0,6789 (цифры: 6, 7, 8, 9)

Следуя этой закономерности, следующие два члена будут:

• 6-й член: 0,56789 (цифры начинаются с 5: 5, 6, 7, 8, 9)
• 7-й член: 0,456789 (цифры начинаются с 4: 4, 5, 6, 7, 8, 9)

Сравним члены последовательности: $1 > 0,9 > 0,89 > 0,789 > 0,6789$. Каждый следующий член меньше предыдущего (например, $0,9 > 0,89$, так как в разряде десятых $9 > 8$). Следовательно, члены последовательности уменьшаются.
Ответ: следующие два числа — 0,56789 и 0,456789; члены последовательности уменьшаются.