Страница 148 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

1 В классе 30 учеников, из них 17 — мальчики. Выразите дробью часть класса, которую составляют девочки. Назовите числитель и знаменатель дроби.

Для решения задачи сначала необходимо найти количество девочек в классе. Зная общее количество учеников и количество мальчиков, мы можем это сделать с помощью вычитания.

1. Найдем количество девочек в классе:

Всего учеников — 30.

Мальчиков — 17.

$30 - 17 = 13$ (девочек).

Теперь, зная количество девочек, можно ответить на вопросы задачи.

Выразите дробью часть класса, которую составляют девочки

Чтобы выразить часть чего-либо дробью, нужно в знаменатель (нижнюю часть дроби) записать общее количество (целое), а в числитель (верхнюю часть дроби) — ту часть, о которой идет речь. В данном случае, целое — это все ученики класса (30), а интересующая нас часть — это девочки (13).

Таким образом, дробь, выражающая часть класса, которую составляют девочки, равна $ \frac{13}{30} $.

Ответ: $ \frac{13}{30} $.

Назовите числитель и знаменатель дроби

В дроби $ \frac{13}{30} $:

Число над чертой называется числителем. Он показывает, сколько частей взято. Числитель равен 13.

Число под чертой называется знаменателем. Он показывает, на сколько всего частей разделено целое. Знаменатель равен 30.

Ответ: Числитель — 13, знаменатель — 30.

2 Какая дробь называется правильной и какая — неправильной? Приведите примеры.

Правильная дробь — это обыкновенная дробь, у которой числитель (число над чертой) меньше знаменателя (числа под чертой). Для дроби вида $\frac{a}{b}$ это означает, что $a < b$. Значение правильной дроби всегда меньше единицы.
Например, дроби $\frac{2}{5}$, $\frac{7}{12}$ и $\frac{99}{100}$ являются правильными, так как в каждом случае числитель меньше знаменателя ($2 < 5$, $7 < 12$, $99 < 100$).
Ответ: Дробь называется правильной, если её числитель меньше знаменателя.

Неправильная дробь — это обыкновенная дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю. Для дроби вида $\frac{a}{b}$ это означает, что $a \ge b$. Значение неправильной дроби всегда больше или равно единице.
Например, дроби $\frac{5}{3}$, $\frac{8}{8}$ и $\frac{15}{4}$ являются неправильными, так как в каждом случае числитель не меньше знаменателя ($5 > 3$, $8 = 8$, $15 > 4$).
Ответ: Дробь называется неправильной, если её числитель больше или равен знаменателю.

3 На примере дроби $3 \over 5$ покажите, как дробь изображают точкой на координатной прямой. На этой же координатной прямой отметьте точку, соответствующую дроби $7 \over 5$.

Чтобы изобразить дробь на координатной прямой, необходимо выполнить несколько шагов на примере дроби $\frac{3}{5}$.

1. Начертим координатную прямую. Отметим на ней начало отсчета — точку 0, и выберем единичный отрезок, например, от 0 до 1.
2. Знаменатель дроби (число 5) показывает, на сколько равных частей нужно разделить единичный отрезок. Разделим отрезок от 0 до 1 на 5 равных долей. Длина каждой такой доли будет равна $\frac{1}{5}$ единичного отрезка.
3. Числитель дроби (число 3) показывает, сколько таких долей нужно отсчитать от начала отсчета (точки 0) вправо (в положительном направлении). Отсчитав 3 доли, мы найдем точку, которая соответствует дроби $\frac{3}{5}$.

Теперь на этой же координатной прямой отметим точку, соответствующую дроби $\frac{7}{5}$.

Знаменатель дроби такой же — 5. Это значит, что мы продолжаем использовать деления длиной в $\frac{1}{5}$ единичного отрезка.

Числитель равен 7. Следовательно, от точки 0 нужно отсчитать 7 таких долей. Мы уже знаем, что 5 долей составляют 1, поэтому нам нужно отсчитать еще 2 доли вправо от точки 1. Дробь $\frac{7}{5}$ также можно записать как смешанное число $1\frac{2}{5}$, что наглядно показывает, что точка находится на 2 доли правее единицы.

Визуально это будет выглядеть так:

Ответ: На координатной прямой единичный отрезок от 0 до 1 делится на 5 равных частей. Точка, соответствующая дроби $\frac{3}{5}$, находится на третьем делении от нуля. Точка, соответствующая дроби $\frac{7}{5}$ (или $1\frac{2}{5}$), находится на седьмом таком же делении от нуля, или на втором делении после единицы. Выше приведена иллюстрация.

4) а) Сколько граммов содержится в $\frac{1}{2}$ кг; в $\frac{3}{5}$ кг?

б) Сколько сантиметров содержится в $\frac{1}{4}$ м; в $\frac{7}{10}$ м?

в) Сколько секунд содержится в $\frac{1}{6}$ мин; в $\frac{2}{3}$ мин?

а)

Чтобы найти, сколько граммов содержится в указанной части килограмма, необходимо вспомнить, что 1 килограмм (кг) равен 1000 граммам (г). Затем нужно умножить 1000 г на заданную дробь, чтобы найти соответствующую часть.

1. Найдём, сколько граммов в $\frac{1}{2}$ кг:
$1000 \cdot \frac{1}{2} = \frac{1000}{2} = 500$ г.

2. Найдём, сколько граммов в $\frac{3}{5}$ кг:
$1000 \cdot \frac{3}{5} = \frac{1000 \cdot 3}{5} = 200 \cdot 3 = 600$ г.

Ответ: в $\frac{1}{2}$ кг содержится 500 граммов; в $\frac{3}{5}$ кг содержится 600 граммов.

б)

Чтобы найти, сколько сантиметров содержится в указанной части метра, необходимо вспомнить, что 1 метр (м) равен 100 сантиметрам (см). Затем нужно умножить 100 см на заданную дробь.

1. Найдём, сколько сантиметров в $\frac{1}{4}$ м:
$100 \cdot \frac{1}{4} = \frac{100}{4} = 25$ см.

2. Найдём, сколько сантиметров в $\frac{7}{10}$ м:
$100 \cdot \frac{7}{10} = \frac{100 \cdot 7}{10} = 10 \cdot 7 = 70$ см.

Ответ: в $\frac{1}{4}$ м содержится 25 сантиметров; в $\frac{7}{10}$ м содержится 70 сантиметров.

в)

Чтобы найти, сколько секунд содержится в указанной части минуты, необходимо вспомнить, что 1 минута (мин) равна 60 секундам (с). Затем нужно умножить 60 с на заданную дробь.

1. Найдём, сколько секунд в $\frac{1}{6}$ мин:
$60 \cdot \frac{1}{6} = \frac{60}{6} = 10$ с.

2. Найдём, сколько секунд в $\frac{2}{3}$ мин:
$60 \cdot \frac{2}{3} = \frac{60 \cdot 2}{3} = 20 \cdot 2 = 40$ с.

Ответ: в $\frac{1}{6}$ мин содержится 10 секунд; в $\frac{2}{3}$ мин содержится 40 секунд.

5 1) Сформулируйте основное свойство дроби и запишите его с помощью букв. На примере дроби $\frac{3}{4}$ расскажите, как дробь приводят к новому знаменателю (например, к знаменателю 20).

2) Приведите дробь $\frac{2}{3}$ к знаменателю 12; 15; 36.

3) Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби:

а) $\frac{3}{5}$ и $\frac{2}{3}$;

б) $\frac{3}{4}$ и $\frac{5}{16}$;

в) $\frac{1}{4}$ и $\frac{1}{6}$.

1) Основное свойство дроби: если числитель и знаменатель дроби умножить или разделить на одно и то же натуральное число, то получится равная ей дробь. В буквенном виде это записывается так: $ \frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c} $.
Чтобы привести дробь $ \frac{3}{4} $ к знаменателю 20, сначала находим дополнительный множитель, разделив новый знаменатель на старый: $ 20 \div 4 = 5 $. Затем умножаем числитель и знаменатель исходной дроби на этот множитель: $ \frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{15}{20} $. Ответ: $ \frac{a}{b} = \frac{a \cdot c}{b \cdot c} $; $ \frac{15}{20} $.

2) Приведем дробь $ \frac{2}{3} $ к указанным знаменателям:
К знаменателю 12: дополнительный множитель $ 12 \div 3 = 4 $. Получаем $ \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12} $.
К знаменателю 15: дополнительный множитель $ 15 \div 3 = 5 $. Получаем $ \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15} $.
К знаменателю 36: дополнительный множитель $ 36 \div 3 = 12 $. Получаем $ \frac{2 \cdot 12}{3 \cdot 12} = \frac{24}{36} $.
Ответ: $ \frac{8}{12}; \frac{10}{15}; \frac{24}{36} $.

3) Чтобы привести дроби к наименьшему общему знаменателю (НОЗ), нужно найти наименьшее общее кратное (НОК) их знаменателей.

а) Дроби $ \frac{3}{5} $ и $ \frac{2}{3} $. Знаменатели 5 и 3 — взаимно простые числа, поэтому их НОК равен их произведению: $ 5 \cdot 3 = 15 $.
Приводим дроби к знаменателю 15:
Для $ \frac{3}{5} $ дополнительный множитель равен 3: $ \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{9}{15} $.
Для $ \frac{2}{3} $ дополнительный множитель равен 5: $ \frac{2 \cdot 5}{3 \cdot 5} = \frac{10}{15} $.
Ответ: $ \frac{9}{15} $ и $ \frac{10}{15} $.

б) Дроби $ \frac{3}{4} $ и $ \frac{5}{16} $. Знаменатель 16 делится на 4, поэтому НОК(4, 16) = 16. Это и будет наименьший общий знаменатель.
Приводим дробь $ \frac{3}{4} $ к знаменателю 16, дополнительный множитель равен $ 16 \div 4 = 4 $: $ \frac{3 \cdot 4}{4 \cdot 4} = \frac{12}{16} $.
Дробь $ \frac{5}{16} $ уже имеет нужный знаменатель.
Ответ: $ \frac{12}{16} $ и $ \frac{5}{16} $.

в) Дроби $ \frac{1}{4} $ и $ \frac{1}{6} $. Найдем НОК для знаменателей 4 и 6. НОК(4, 6) = 12. Значит, НОЗ равен 12.
Приводим дроби к знаменателю 12:
Для $ \frac{1}{4} $ дополнительный множитель равен $ 12 \div 4 = 3 $: $ \frac{1 \cdot 3}{4 \cdot 3} = \frac{3}{12} $.
Для $ \frac{1}{6} $ дополнительный множитель равен $ 12 \div 6 = 2 $: $ \frac{1 \cdot 2}{6 \cdot 2} = \frac{2}{12} $.
Ответ: $ \frac{3}{12} $ и $ \frac{2}{12} $.

6 1) Можно ли сократить дробь $\frac{41}{100}$? Приведите свои примеры несократимых дробей.

2) Сократите дробь: а) $\frac{8}{10}$; б) $\frac{12}{48}$; в) $\frac{75}{100}$; г) $\frac{100}{1000}$.

1) Дробь можно сократить, если ее числитель и знаменатель имеют общий делитель, который больше 1. Чтобы определить, можно ли сократить дробь $\frac{41}{100}$, нужно найти общие делители для чисел 41 и 100.

Число 41 является простым, так как оно делится без остатка только на 1 и на само себя.

Найдем простые множители знаменателя 100: $100 = 10 \cdot 10 = (2 \cdot 5) \cdot (2 \cdot 5) = 2^2 \cdot 5^2$.

Поскольку у числителя 41 и знаменателя 100 нет общих простых множителей, их единственный общий делитель — это 1. Следовательно, дробь $\frac{41}{100}$ сократить нельзя, она является несократимой.

Примеры других несократимых дробей (числитель и знаменатель которых являются взаимно простыми числами): $\frac{3}{5}$, $\frac{7}{12}$, $\frac{11}{20}$.

Ответ: Дробь $\frac{41}{100}$ сократить нельзя. Примеры несократимых дробей: $\frac{3}{5}$, $\frac{7}{12}$, $\frac{11}{20}$.

2) Чтобы сократить дробь, необходимо разделить ее числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель (НОД).

а) Для дроби $\frac{8}{10}$ найдем наибольший общий делитель для 8 и 10. НОД(8, 10) = 2.
$\frac{8}{10} = \frac{8 \div 2}{10 \div 2} = \frac{4}{5}$.
Ответ: $\frac{4}{5}$.

б) Для дроби $\frac{12}{48}$ можно заметить, что 48 делится на 12 без остатка ($48 = 12 \cdot 4$), поэтому НОД(12, 48) = 12.
$\frac{12}{48} = \frac{12 \div 12}{48 \div 12} = \frac{1}{4}$.
Ответ: $\frac{1}{4}$.

в) Для дроби $\frac{75}{100}$ найдем наибольший общий делитель. $75 = 3 \cdot 25$, а $100 = 4 \cdot 25$. Значит, НОД(75, 100) = 25.
$\frac{75}{100} = \frac{75 \div 25}{100 \div 25} = \frac{3}{4}$.
Ответ: $\frac{3}{4}$.

г) Для дроби $\frac{100}{1000}$ наибольшим общим делителем является 100.
$\frac{100}{1000} = \frac{100 \div 100}{1000 \div 100} = \frac{1}{10}$.
Ответ: $\frac{1}{10}$.

7 а) Выразите в метрах: 50 см, 55 см.

б) Выразите в часах: 30 мин, 48 мин.

а) Чтобы выразить сантиметры (см) в метрах (м), необходимо знать соотношение между этими единицами измерения: $1 \text{ м} = 100 \text{ см}$. Это означает, что для перевода сантиметров в метры, нужно разделить значение в сантиметрах на 100.

Выполним перевод для 50 см:

$50 \text{ см} = \frac{50}{100} \text{ м} = 0,5 \text{ м}$

Выполним перевод для 55 см:

$55 \text{ см} = \frac{55}{100} \text{ м} = 0,55 \text{ м}$

Ответ: $0,5$ м; $0,55$ м.

б) Чтобы выразить минуты (мин) в часах (ч), необходимо знать соотношение между этими единицами времени: $1 \text{ ч} = 60 \text{ мин}$. Это означает, что для перевода минут в часы, нужно разделить значение в минутах на 60.

Выполним перевод для 30 мин:

$30 \text{ мин} = \frac{30}{60} \text{ ч} = \frac{1}{2} \text{ ч} = 0,5 \text{ ч}$

Выполним перевод для 48 мин:

$48 \text{ мин} = \frac{48}{60} \text{ ч}$. Эту дробь можно сократить. Наибольший общий делитель для 48 и 60 это 12. Разделим числитель и знаменатель на 12: $\frac{48 \div 12}{60 \div 12} = \frac{4}{5}$. Чтобы представить эту дробь в виде десятичной, разделим 4 на 5: $\frac{4}{5} = 0,8$. Таким образом, $48 \text{ мин} = 0,8 \text{ ч}$.

Ответ: $0,5$ ч; $0,8$ ч.

8 1) Расскажите, как сравнивают дроби с одинаковыми знаменателями; с разными знаменателями.

2) Сравните дроби:

а) $\frac{8}{17}$ и $\frac{6}{17}$;

б) $\frac{5}{8}$ и $\frac{4}{7}$;

в) $\frac{1}{10}$ и $\frac{1}{100}$;

г) $\frac{7}{10}$ и $\frac{10}{7}$.

1)

Чтобы сравнить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сравнить их числители. Больше будет та дробь, у которой числитель больше. Меньше та, у которой числитель меньше. Если числители равны, то дроби равны.

Например, при сравнении дробей $\frac{a}{c}$ и $\frac{b}{c}$:
- если $a > b$, то $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$;
- если $a < b$, то $\frac{a}{c} < \frac{b}{c}$.

Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, их необходимо сначала привести к общему знаменателю. В качестве общего знаменателя обычно выбирают наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей данных дробей. После приведения дробей к общему знаменателю их сравнивают по правилу сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.

Например, чтобы сравнить дроби $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$, нужно:
1. Найти общий знаменатель, например, $b \cdot d$.
2. Найти дополнительные множители для каждой дроби: $d$ для первой и $b$ для второй.
3. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель: $\frac{a \cdot d}{b \cdot d}$ и $\frac{c \cdot b}{b \cdot d}$.
4. Сравнить полученные числители $a \cdot d$ и $c \cdot b$. Если $a \cdot d > c \cdot b$, то $\frac{a}{b} > \frac{c}{d}$.

2)

а) $\frac{8}{17}$ и $\frac{6}{17}$
Знаменатели дробей одинаковы (равны 17). Сравниваем числители: $8 > 6$. Следовательно, первая дробь больше второй.
Ответ: $\frac{8}{17} > \frac{6}{17}$.

б) $\frac{5}{8}$ и $\frac{4}{7}$
Знаменатели дробей разные. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 8 и 7 равен их произведению: $8 \cdot 7 = 56$.
Приводим первую дробь к знаменателю 56: $\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 7}{8 \cdot 7} = \frac{35}{56}$.
Приводим вторую дробь к знаменателю 56: $\frac{4}{7} = \frac{4 \cdot 8}{7 \cdot 8} = \frac{32}{56}$.
Теперь сравниваем дроби с одинаковым знаменателем: $\frac{35}{56}$ и $\frac{32}{56}$. Так как $35 > 32$, то $\frac{35}{56} > \frac{32}{56}$.
Ответ: $\frac{5}{8} > \frac{4}{7}$.

в) $\frac{1}{10}$ и $\frac{1}{100}$
Знаменатели дробей разные. Приведем дроби к общему знаменателю 100.
Первая дробь: $\frac{1}{10} = \frac{1 \cdot 10}{10 \cdot 10} = \frac{10}{100}$.
Вторая дробь уже имеет знаменатель 100: $\frac{1}{100}$.
Сравниваем дроби $\frac{10}{100}$ и $\frac{1}{100}$. Так как $10 > 1$, то $\frac{10}{100} > \frac{1}{100}$.
Также можно воспользоваться правилом: из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Поскольку $10 < 100$, то $\frac{1}{10} > \frac{1}{100}$.
Ответ: $\frac{1}{10} > \frac{1}{100}$.

г) $\frac{7}{10}$ и $\frac{10}{7}$
Дробь $\frac{7}{10}$ — правильная, так как ее числитель (7) меньше знаменателя (10), поэтому $\frac{7}{10} < 1$.
Дробь $\frac{10}{7}$ — неправильная, так как ее числитель (10) больше знаменателя (7), поэтому $\frac{10}{7} > 1$.
Поскольку одна дробь меньше единицы, а вторая больше единицы, то первая дробь меньше второй.
Ответ: $\frac{7}{10} < \frac{10}{7}$.

9 Запишите в виде дроби частное двух натуральных чисел:

а) $3 : 5;$

б) $20 : 25;$

в) $m : n.$

а) Частное двух натуральных чисел, представленное в виде $a : b$, можно записать как обыкновенную дробь, где делимое $a$ является числителем, а делитель $b$ — знаменателем. Для частного $3 : 5$ делимое равно $3$, а делитель равен $5$.

Следовательно, частное $3 : 5$ в виде дроби записывается как $\frac{3}{5}$.

Ответ: $\frac{3}{5}$

б) Аналогично пункту а), чтобы записать частное $20 : 25$ в виде дроби, мы помещаем делимое $20$ в числитель, а делитель $25$ — в знаменатель.

Таким образом, $20 : 25 = \frac{20}{25}$.

Эту дробь можно сократить, найдя наибольший общий делитель (НОД) для числителя и знаменателя. НОД(20, 25) = 5. Разделив числитель и знаменатель на 5, получим $\frac{20 \div 5}{25 \div 5} = \frac{4}{5}$. Однако, запись $\frac{20}{25}$ является прямым ответом на поставленный вопрос.

Ответ: $\frac{20}{25}$

в) Для общего случая, где необходимо записать частное двух натуральных чисел $m$ и $n$ в виде дроби, мы следуем тому же правилу. Делимое $m$ становится числителем, а делитель $n$ — знаменателем.

Таким образом, частное $m : n$ записывается как дробь $\frac{m}{n}$.

Ответ: $\frac{m}{n}$