Номер 8, страница 148 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

8 1) Расскажите, как сравнивают дроби с одинаковыми знаменателями; с разными знаменателями.

2) Сравните дроби:

а) $\frac{8}{17}$ и $\frac{6}{17}$;

б) $\frac{5}{8}$ и $\frac{4}{7}$;

в) $\frac{1}{10}$ и $\frac{1}{100}$;

г) $\frac{7}{10}$ и $\frac{10}{7}$.

1)

Чтобы сравнить дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сравнить их числители. Больше будет та дробь, у которой числитель больше. Меньше та, у которой числитель меньше. Если числители равны, то дроби равны.

Например, при сравнении дробей $\frac{a}{c}$ и $\frac{b}{c}$:
- если $a > b$, то $\frac{a}{c} > \frac{b}{c}$;
- если $a < b$, то $\frac{a}{c} < \frac{b}{c}$.

Чтобы сравнить дроби с разными знаменателями, их необходимо сначала привести к общему знаменателю. В качестве общего знаменателя обычно выбирают наименьшее общее кратное (НОК) знаменателей данных дробей. После приведения дробей к общему знаменателю их сравнивают по правилу сравнения дробей с одинаковыми знаменателями.

Например, чтобы сравнить дроби $\frac{a}{b}$ и $\frac{c}{d}$, нужно:
1. Найти общий знаменатель, например, $b \cdot d$.
2. Найти дополнительные множители для каждой дроби: $d$ для первой и $b$ для второй.
3. Умножить числитель и знаменатель каждой дроби на ее дополнительный множитель: $\frac{a \cdot d}{b \cdot d}$ и $\frac{c \cdot b}{b \cdot d}$.
4. Сравнить полученные числители $a \cdot d$ и $c \cdot b$. Если $a \cdot d > c \cdot b$, то $\frac{a}{b} > \frac{c}{d}$.

2)

а) $\frac{8}{17}$ и $\frac{6}{17}$
Знаменатели дробей одинаковы (равны 17). Сравниваем числители: $8 > 6$. Следовательно, первая дробь больше второй.
Ответ: $\frac{8}{17} > \frac{6}{17}$.

б) $\frac{5}{8}$ и $\frac{4}{7}$
Знаменатели дробей разные. Приведем дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 8 и 7 равен их произведению: $8 \cdot 7 = 56$.
Приводим первую дробь к знаменателю 56: $\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 7}{8 \cdot 7} = \frac{35}{56}$.
Приводим вторую дробь к знаменателю 56: $\frac{4}{7} = \frac{4 \cdot 8}{7 \cdot 8} = \frac{32}{56}$.
Теперь сравниваем дроби с одинаковым знаменателем: $\frac{35}{56}$ и $\frac{32}{56}$. Так как $35 > 32$, то $\frac{35}{56} > \frac{32}{56}$.
Ответ: $\frac{5}{8} > \frac{4}{7}$.

в) $\frac{1}{10}$ и $\frac{1}{100}$
Знаменатели дробей разные. Приведем дроби к общему знаменателю 100.
Первая дробь: $\frac{1}{10} = \frac{1 \cdot 10}{10 \cdot 10} = \frac{10}{100}$.
Вторая дробь уже имеет знаменатель 100: $\frac{1}{100}$.
Сравниваем дроби $\frac{10}{100}$ и $\frac{1}{100}$. Так как $10 > 1$, то $\frac{10}{100} > \frac{1}{100}$.
Также можно воспользоваться правилом: из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Поскольку $10 < 100$, то $\frac{1}{10} > \frac{1}{100}$.
Ответ: $\frac{1}{10} > \frac{1}{100}$.

г) $\frac{7}{10}$ и $\frac{10}{7}$
Дробь $\frac{7}{10}$ — правильная, так как ее числитель (7) меньше знаменателя (10), поэтому $\frac{7}{10} < 1$.
Дробь $\frac{10}{7}$ — неправильная, так как ее числитель (10) больше знаменателя (7), поэтому $\frac{10}{7} > 1$.
Поскольку одна дробь меньше единицы, а вторая больше единицы, то первая дробь меньше второй.
Ответ: $\frac{7}{10} < \frac{10}{7}$.