Номер 512, страница 152 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

512 Сравните значения выражений:

а) $\frac{7}{12} + \frac{1}{24}$ и $\frac{3}{7}$;

б) $\frac{11}{15} + \frac{7}{30}$ и $\frac{3}{4}$;

в) $\frac{3}{16} + \frac{7}{10}$ и $\frac{3}{10} + \frac{3}{8}$.

а)

Сначала вычислим значение первого выражения: $\frac{7}{12} + \frac{1}{24}$.

Чтобы сложить дроби, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 12 и 24 равен 24. Домножим числитель и знаменатель первой дроби на 2:

$\frac{7}{12} + \frac{1}{24} = \frac{7 \cdot 2}{12 \cdot 2} + \frac{1}{24} = \frac{14}{24} + \frac{1}{24} = \frac{14+1}{24} = \frac{15}{24}$.

Сократим полученную дробь, разделив числитель и знаменатель на их наибольший общий делитель, равный 3:

$\frac{15 \div 3}{24 \div 3} = \frac{5}{8}$.

Теперь сравним результат $\frac{5}{8}$ с дробью $\frac{3}{7}$.

Для сравнения приведем эти дроби к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 8 и 7 это их произведение: $8 \cdot 7 = 56$.

$\frac{5}{8} = \frac{5 \cdot 7}{8 \cdot 7} = \frac{35}{56}$

$\frac{3}{7} = \frac{3 \cdot 8}{7 \cdot 8} = \frac{24}{56}$

Сравниваем числители полученных дробей: так как $35 > 24$, то $\frac{35}{56} > \frac{24}{56}$.

Следовательно, $\frac{7}{12} + \frac{1}{24} > \frac{3}{7}$.

Ответ: $\frac{7}{12} + \frac{1}{24} > \frac{3}{7}$.

б)

Вычислим значение первого выражения: $\frac{11}{15} + \frac{7}{30}$.

Общий знаменатель для дробей сo знаменателями 15 и 30 равен 30. Домножим первую дробь на 2:

$\frac{11}{15} + \frac{7}{30} = \frac{11 \cdot 2}{15 \cdot 2} + \frac{7}{30} = \frac{22}{30} + \frac{7}{30} = \frac{22+7}{30} = \frac{29}{30}$.

Теперь сравним результат $\frac{29}{30}$ с дробью $\frac{3}{4}$.

Найдем для них общий знаменатель. Наименьшее общее кратное (НОК) для 30 и 4 равно 60.

Приведем дроби к знаменателю 60:

$\frac{29}{30} = \frac{29 \cdot 2}{30 \cdot 2} = \frac{58}{60}$

$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 15}{4 \cdot 15} = \frac{45}{60}$

Сравниваем числители: так как $58 > 45$, то $\frac{58}{60} > \frac{45}{60}$.

Следовательно, $\frac{11}{15} + \frac{7}{30} > \frac{3}{4}$.

Ответ: $\frac{11}{15} + \frac{7}{30} > \frac{3}{4}$.

в)

Сравним выражения $\frac{3}{16} + \frac{7}{10}$ и $\frac{3}{10} + \frac{3}{8}$.

Вместо прямого вычисления значений, можно упростить задачу. Сравнение $A > B$ равносильно сравнению $A - C > B - C$ для любого числа $C$. Вычтем из обеих частей $\frac{7}{10}$.

Тогда сравнение $\frac{3}{16} + \frac{7}{10}$ и $\frac{3}{10} + \frac{3}{8}$ эквивалентно сравнению $\frac{3}{16}$ и $\frac{3}{10} + \frac{3}{8} - \frac{7}{10}$.

Упростим правую часть:

$\frac{3}{10} + \frac{3}{8} - \frac{7}{10} = \frac{3}{8} + (\frac{3}{10} - \frac{7}{10}) = \frac{3}{8} - \frac{4}{10}$.

Сократим дробь $\frac{4}{10}$ на 2, получим $\frac{2}{5}$. Теперь правая часть равна $\frac{3}{8} - \frac{2}{5}$.

Приведем дроби к общему знаменателю $8 \cdot 5 = 40$:

$\frac{3 \cdot 5}{8 \cdot 5} - \frac{2 \cdot 8}{5 \cdot 8} = \frac{15}{40} - \frac{16}{40} = -\frac{1}{40}$.

Теперь задача сводится к сравнению $\frac{3}{16}$ и $-\frac{1}{40}$.

Так как $\frac{3}{16}$ является положительным числом, а $-\frac{1}{40}$ — отрицательным, то очевидно, что $\frac{3}{16} > -\frac{1}{40}$.

Следовательно, и в исходном сравнении первое выражение больше второго.

Ответ: $\frac{3}{16} + \frac{7}{10} > \frac{3}{10} + \frac{3}{8}$.