Страница 142 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

474. Сравните дроби:

а) $\frac{2}{5}$ и $\frac{4}{5}$;

б) $\frac{12}{17}$ и $\frac{7}{17}$;

в) $\frac{17}{13}$ и $\frac{15}{13}$.

Чтобы сравнить две дроби с одинаковыми знаменателями, нужно сравнить их числители. Та дробь будет больше, у которой числитель больше.

а) Сравним дроби $\frac{2}{5}$ и $\frac{4}{5}$.

Знаменатели этих дробей одинаковы и равны 5. Сравним их числители: 2 и 4.

Так как $2 < 4$, то и дробь $\frac{2}{5}$ меньше дроби $\frac{4}{5}$.

Ответ: $\frac{2}{5} < \frac{4}{5}$.

б) Сравним дроби $\frac{12}{17}$ и $\frac{7}{17}$.

Знаменатели этих дробей одинаковы и равны 17. Сравним их числители: 12 и 7.

Так как $12 > 7$, то и дробь $\frac{12}{17}$ больше дроби $\frac{7}{17}$.

Ответ: $\frac{12}{17} > \frac{7}{17}$.

в) Сравним дроби $\frac{17}{13}$ и $\frac{15}{13}$.

Знаменатели этих дробей одинаковы и равны 13. Сравним их числители: 17 и 15.

Так как $17 > 15$, то и дробь $\frac{17}{13}$ больше дроби $\frac{15}{13}$.

Ответ: $\frac{17}{13} > \frac{15}{13}$.

475 Определите, какая из дробей $\frac{29}{100}$, $\frac{13}{100}$, $\frac{41}{100}$, $\frac{7}{100}$, $\frac{27}{100}$ наименьшая и какая — наибольшая. Расположите дроби в порядке возрастания.

Для решения данной задачи необходимо сравнить предложенные дроби: $\frac{29}{100}$, $\frac{13}{100}$, $\frac{41}{100}$, $\frac{7}{100}$, $\frac{27}{100}$.

Все эти дроби имеют одинаковый знаменатель, равный 100. Правило сравнения дробей с одинаковыми знаменателями гласит: из двух дробей с одинаковыми знаменателями меньше та, у которой числитель меньше, и больше та, у которой числитель больше.

Чтобы найти наименьшую и наибольшую дроби, сравним их числители: 29, 13, 41, 7, 27.

Найдём наименьшее число среди числителей: 7.

Следовательно, дробь с этим числителем будет наименьшей: $\frac{7}{100}$.

Найдём наибольшее число среди числителей: 41.

Следовательно, дробь с этим числителем будет наибольшей: $\frac{41}{100}$.

Ответ: наименьшая дробь — $\frac{7}{100}$, наибольшая дробь — $\frac{41}{100}$.

Чтобы расположить дроби в порядке возрастания, необходимо расположить в порядке возрастания их числители, так как знаменатели у всех дробей одинаковы.

Расположим числители в порядке возрастания (от меньшего к большему):

$7 < 13 < 27 < 29 < 41$

Теперь запишем дроби в том же порядке:

$\frac{7}{100}, \frac{13}{100}, \frac{27}{100}, \frac{29}{100}, \frac{41}{100}$

Ответ: $\frac{7}{100}, \frac{13}{100}, \frac{27}{100}, \frac{29}{100}, \frac{41}{100}$.

476 От куска верёвки отрезали часть, равную $ \frac{5}{8} $ всего куска. Сравните отрезанную часть верёвки с оставшейся.

Примем всю длину куска верёвки за единицу (1).

Согласно условию задачи, от верёвки отрезали часть, равную $\frac{5}{8}$ от всей длины.

Чтобы найти, какая часть верёвки осталась, нужно из всей длины вычесть отрезанную часть. Для этого представим единицу в виде дроби со знаменателем 8:

$1 = \frac{8}{8}$

Теперь вычислим оставшуюся часть:

$1 - \frac{5}{8} = \frac{8}{8} - \frac{5}{8} = \frac{8 - 5}{8} = \frac{3}{8}$

Итак, отрезанная часть составляет $\frac{5}{8}$ всей верёвки, а оставшаяся часть составляет $\frac{3}{8}$ всей верёвки.

Теперь нам нужно сравнить эти две части: $\frac{5}{8}$ и $\frac{3}{8}$.

При сравнении дробей с одинаковыми знаменателями, большей является та дробь, у которой числитель больше. В данном случае знаменатели обеих дробей равны 8.

Сравним числители: $5 > 3$.

Следовательно, дробь $\frac{5}{8}$ больше дроби $\frac{3}{8}$:

$\frac{5}{8} > \frac{3}{8}$

Это означает, что отрезанная часть верёвки больше, чем оставшаяся.

Ответ: отрезанная часть верёвки больше оставшейся.

477 Приведите к наименьшему общему знаменателю дроби:

a) $ \frac{1}{8} $ и $ \frac{3}{4} $; $ \frac{9}{10} $ и $ \frac{1}{20} $; $ \frac{2}{3} $ и $ \frac{7}{12} $; $ \frac{7}{15} $ и $ \frac{3}{5} $;

б) $ \frac{1}{2} $ и $ \frac{1}{3} $; $ \frac{2}{5} $ и $ \frac{3}{4} $; $ \frac{3}{16} $ и $ \frac{2}{3} $; $ \frac{1}{4} $ и $ \frac{9}{25} $;

в) $ \frac{7}{15} $ и $ \frac{5}{9} $; $ \frac{1}{6} $ и $ \frac{3}{10} $; $ \frac{5}{12} $ и $ \frac{7}{15} $; $ \frac{7}{20} $ и $ \frac{7}{8} $.

а)

Для дробей $\frac{1}{8}$ и $\frac{3}{4}$.
Наименьший общий знаменатель (НОЗ) для 8 и 4 - это наименьшее общее кратное (НОК) этих чисел. Так как 8 делится на 4, то НОК(8, 4) = 8.
Первая дробь $\frac{1}{8}$ уже имеет нужный знаменатель.
Для второй дроби $\frac{3}{4}$ найдем дополнительный множитель: $8 \div 4 = 2$.
$\frac{3}{4} = \frac{3 \cdot 2}{4 \cdot 2} = \frac{6}{8}$.
Ответ: $\frac{1}{8}$ и $\frac{6}{8}$.

Для дробей $\frac{9}{10}$ и $\frac{1}{20}$.
НОК(10, 20) = 20, так как 20 делится на 10.
Для дроби $\frac{9}{10}$ дополнительный множитель равен $20 \div 10 = 2$.
$\frac{9}{10} = \frac{9 \cdot 2}{10 \cdot 2} = \frac{18}{20}$.
Дробь $\frac{1}{20}$ остается без изменений.
Ответ: $\frac{18}{20}$ и $\frac{1}{20}$.

Для дробей $\frac{2}{3}$ и $\frac{7}{12}$.
НОК(3, 12) = 12, так как 12 делится на 3.
Для дроби $\frac{2}{3}$ дополнительный множитель равен $12 \div 3 = 4$.
$\frac{2}{3} = \frac{2 \cdot 4}{3 \cdot 4} = \frac{8}{12}$.
Дробь $\frac{7}{12}$ остается без изменений.
Ответ: $\frac{8}{12}$ и $\frac{7}{12}$.

Для дробей $\frac{7}{15}$ и $\frac{3}{5}$.
НОК(15, 5) = 15, так как 15 делится на 5.
Дробь $\frac{7}{15}$ остается без изменений.
Для дроби $\frac{3}{5}$ дополнительный множитель равен $15 \div 5 = 3$.
$\frac{3}{5} = \frac{3 \cdot 3}{5 \cdot 3} = \frac{9}{15}$.
Ответ: $\frac{7}{15}$ и $\frac{9}{15}$.

б)

Для дробей $\frac{1}{2}$ и $\frac{1}{3}$.
Числа 2 и 3 - взаимно простые, поэтому НОК(2, 3) = $2 \cdot 3 = 6$.
Для $\frac{1}{2}$ дополнительный множитель $6 \div 2 = 3$: $\frac{1 \cdot 3}{2 \cdot 3} = \frac{3}{6}$.
Для $\frac{1}{3}$ дополнительный множитель $6 \div 3 = 2$: $\frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{2}{6}$.
Ответ: $\frac{3}{6}$ и $\frac{2}{6}$.

Для дробей $\frac{2}{5}$ и $\frac{3}{4}$.
Числа 5 и 4 - взаимно простые, поэтому НОК(5, 4) = $5 \cdot 4 = 20$.
Для $\frac{2}{5}$ дополнительный множитель $20 \div 5 = 4$: $\frac{2 \cdot 4}{5 \cdot 4} = \frac{8}{20}$.
Для $\frac{3}{4}$ дополнительный множитель $20 \div 4 = 5$: $\frac{3 \cdot 5}{4 \cdot 5} = \frac{15}{20}$.
Ответ: $\frac{8}{20}$ и $\frac{15}{20}$.

Для дробей $\frac{3}{16}$ и $\frac{2}{3}$.
Числа 16 и 3 - взаимно простые, поэтому НОК(16, 3) = $16 \cdot 3 = 48$.
Для $\frac{3}{16}$ дополнительный множитель $48 \div 16 = 3$: $\frac{3 \cdot 3}{16 \cdot 3} = \frac{9}{48}$.
Для $\frac{2}{3}$ дополнительный множитель $48 \div 3 = 16$: $\frac{2 \cdot 16}{3 \cdot 16} = \frac{32}{48}$.
Ответ: $\frac{9}{48}$ и $\frac{32}{48}$.

Для дробей $\frac{1}{4}$ и $\frac{9}{25}$.
Числа 4 и 25 - взаимно простые, поэтому НОК(4, 25) = $4 \cdot 25 = 100$.
Для $\frac{1}{4}$ дополнительный множитель $100 \div 4 = 25$: $\frac{1 \cdot 25}{4 \cdot 25} = \frac{25}{100}$.
Для $\frac{9}{25}$ дополнительный множитель $100 \div 25 = 4$: $\frac{9 \cdot 4}{25 \cdot 4} = \frac{36}{100}$.
Ответ: $\frac{25}{100}$ и $\frac{36}{100}$.

в)

Для дробей $\frac{7}{15}$ и $\frac{5}{9}$.
Разложим знаменатели на простые множители: $15 = 3 \cdot 5$; $9 = 3^2$.
НОК(15, 9) = $3^2 \cdot 5 = 45$.
Для $\frac{7}{15}$ дополнительный множитель $45 \div 15 = 3$: $\frac{7 \cdot 3}{15 \cdot 3} = \frac{21}{45}$.
Для $\frac{5}{9}$ дополнительный множитель $45 \div 9 = 5$: $\frac{5 \cdot 5}{9 \cdot 5} = \frac{25}{45}$.
Ответ: $\frac{21}{45}$ и $\frac{25}{45}$.

Для дробей $\frac{1}{6}$ и $\frac{3}{10}$.
Разложим знаменатели на простые множители: $6 = 2 \cdot 3$; $10 = 2 \cdot 5$.
НОК(6, 10) = $2 \cdot 3 \cdot 5 = 30$.
Для $\frac{1}{6}$ дополнительный множитель $30 \div 6 = 5$: $\frac{1 \cdot 5}{6 \cdot 5} = \frac{5}{30}$.
Для $\frac{3}{10}$ дополнительный множитель $30 \div 10 = 3$: $\frac{3 \cdot 3}{10 \cdot 3} = \frac{9}{30}$.
Ответ: $\frac{5}{30}$ и $\frac{9}{30}$.

Для дробей $\frac{5}{12}$ и $\frac{7}{15}$.
Разложим знаменатели на простые множители: $12 = 2^2 \cdot 3$; $15 = 3 \cdot 5$.
НОК(12, 15) = $2^2 \cdot 3 \cdot 5 = 60$.
Для $\frac{5}{12}$ дополнительный множитель $60 \div 12 = 5$: $\frac{5 \cdot 5}{12 \cdot 5} = \frac{25}{60}$.
Для $\frac{7}{15}$ дополнительный множитель $60 \div 15 = 4$: $\frac{7 \cdot 4}{15 \cdot 4} = \frac{28}{60}$.
Ответ: $\frac{25}{60}$ и $\frac{28}{60}$.

Для дробей $\frac{7}{20}$ и $\frac{7}{8}$.
Разложим знаменатели на простые множители: $20 = 2^2 \cdot 5$; $8 = 2^3$.
НОК(20, 8) = $2^3 \cdot 5 = 40$.
Для $\frac{7}{20}$ дополнительный множитель $40 \div 20 = 2$: $\frac{7 \cdot 2}{20 \cdot 2} = \frac{14}{40}$.
Для $\frac{7}{8}$ дополнительный множитель $40 \div 8 = 5$: $\frac{7 \cdot 5}{8 \cdot 5} = \frac{35}{40}$.
Ответ: $\frac{14}{40}$ и $\frac{35}{40}$.

478 Сравните дроби и запишите результат с помощью знака > или <:

a) $ \frac{7}{8} $ и $ \frac{3}{4} $;

б) $ \frac{6}{25} $ и $ \frac{1}{4} $;

в) $ \frac{7}{5} $ и $ \frac{3}{2} $;

г) $ \frac{5}{6} $ и $ \frac{5}{8} $;

д) $ \frac{2}{3} $ и $ \frac{13}{15} $;

е) $ \frac{3}{10} $ и $ \frac{7}{12} $;

ж) $ \frac{5}{12} $ и $ \frac{3}{4} $;

з) $ \frac{2}{5} $ и $ \frac{3}{8} $;

и) $ \frac{7}{15} $ и $ \frac{3}{5} $.

а) Чтобы сравнить дроби $\frac{7}{8}$ и $\frac{3}{4}$, приведем их к общему знаменателю. Наименьший общий знаменатель для 8 и 4 — это 8. Домножим числитель и знаменатель второй дроби на 2: $\frac{3}{4} = \frac{3 \times 2}{4 \times 2} = \frac{6}{8}$. Теперь сравним дроби $\frac{7}{8}$ и $\frac{6}{8}$. Так как $7 > 6$, то $\frac{7}{8} > \frac{6}{8}$. Следовательно, $\frac{7}{8} > \frac{3}{4}$. Ответ: $\frac{7}{8} > \frac{3}{4}$

б) Сравним дроби $\frac{6}{25}$ и $\frac{1}{4}$. Найдем наименьший общий знаменатель для 25 и 4. Так как числа 25 и 4 взаимно простые, их наименьшее общее кратное равно их произведению: $25 \times 4 = 100$. Приведем дроби к знаменателю 100: $\frac{6}{25} = \frac{6 \times 4}{25 \times 4} = \frac{24}{100}$ и $\frac{1}{4} = \frac{1 \times 25}{4 \times 25} = \frac{25}{100}$. Сравниваем числители: $24 < 25$. Значит, $\frac{24}{100} < \frac{25}{100}$, и поэтому $\frac{6}{25} < \frac{1}{4}$. Ответ: $\frac{6}{25} < \frac{1}{4}$

в) Сравним дроби $\frac{7}{5}$ и $\frac{3}{2}$. Наименьший общий знаменатель для 5 и 2 равен 10. Приведем дроби к этому знаменателю: $\frac{7}{5} = \frac{7 \times 2}{5 \times 2} = \frac{14}{10}$ и $\frac{3}{2} = \frac{3 \times 5}{2 \times 5} = \frac{15}{10}$. Так как $14 < 15$, то $\frac{14}{10} < \frac{15}{10}$. Следовательно, $\frac{7}{5} < \frac{3}{2}$. Ответ: $\frac{7}{5} < \frac{3}{2}$

г) Сравним дроби $\frac{5}{6}$ и $\frac{5}{8}$. У этих дробей одинаковые числители. Из двух дробей с одинаковыми числителями больше та, у которой знаменатель меньше. Так как $6 < 8$, то $\frac{5}{6} > \frac{5}{8}$. Ответ: $\frac{5}{6} > \frac{5}{8}$

д) Сравним дроби $\frac{2}{3}$ и $\frac{13}{15}$. Наименьший общий знаменатель для 3 и 15 — это 15. Приведем первую дробь к знаменателю 15: $\frac{2}{3} = \frac{2 \times 5}{3 \times 5} = \frac{10}{15}$. Теперь сравним $\frac{10}{15}$ и $\frac{13}{15}$. Так как $10 < 13$, то $\frac{10}{15} < \frac{13}{15}$. Следовательно, $\frac{2}{3} < \frac{13}{15}$. Ответ: $\frac{2}{3} < \frac{13}{15}$

е) Сравним дроби $\frac{3}{10}$ и $\frac{7}{12}$. Найдем наименьший общий знаменатель для 10 и 12. НОК(10, 12) = 60. Приведем дроби к знаменателю 60: $\frac{3}{10} = \frac{3 \times 6}{10 \times 6} = \frac{18}{60}$ и $\frac{7}{12} = \frac{7 \times 5}{12 \times 5} = \frac{35}{60}$. Сравниваем числители: $18 < 35$. Значит, $\frac{18}{60} < \frac{35}{60}$, и поэтому $\frac{3}{10} < \frac{7}{12}$. Ответ: $\frac{3}{10} < \frac{7}{12}$

ж) Сравним дроби $\frac{5}{12}$ и $\frac{3}{4}$. Наименьший общий знаменатель для 12 и 4 — это 12. Приведем вторую дробь к знаменателю 12: $\frac{3}{4} = \frac{3 \times 3}{4 \times 3} = \frac{9}{12}$. Теперь сравним $\frac{5}{12}$ и $\frac{9}{12}$. Так как $5 < 9$, то $\frac{5}{12} < \frac{9}{12}$. Следовательно, $\frac{5}{12} < \frac{3}{4}$. Ответ: $\frac{5}{12} < \frac{3}{4}$

з) Сравним дроби $\frac{2}{5}$ и $\frac{3}{8}$. Наименьший общий знаменатель для 5 и 8 равен $5 \times 8 = 40$. Приведем дроби к этому знаменателю: $\frac{2}{5} = \frac{2 \times 8}{5 \times 8} = \frac{16}{40}$ и $\frac{3}{8} = \frac{3 \times 5}{8 \times 5} = \frac{15}{40}$. Так как $16 > 15$, то $\frac{16}{40} > \frac{15}{40}$. Следовательно, $\frac{2}{5} > \frac{3}{8}$. Ответ: $\frac{2}{5} > \frac{3}{8}$

и) Сравним дроби $\frac{7}{15}$ и $\frac{3}{5}$. Наименьший общий знаменатель для 15 и 5 — это 15. Приведем вторую дробь к знаменателю 15: $\frac{3}{5} = \frac{3 \times 3}{5 \times 3} = \frac{9}{15}$. Теперь сравним $\frac{7}{15}$ и $\frac{9}{15}$. Так как $7 < 9$, то $\frac{7}{15} < \frac{9}{15}$. Следовательно, $\frac{7}{15} < \frac{3}{5}$. Ответ: $\frac{7}{15} < \frac{3}{5}$

479 Сравните дроби, сократив их; запишите результат с помощью знака >, < или =:

а) $&frac{14}{6}$ и $&frac{24}{9}$;

б) $&frac{12}{20}$ и $&frac{9}{15}$;

в) $&frac{25}{100}$ и $&frac{6}{8}$;

г) $&frac{12}{24}$ и $&frac{8}{16}$.

а) Сравним дроби $\frac{14}{6}$ и $\frac{24}{9}$.
Сначала сократим каждую дробь.
Сократим первую дробь $\frac{14}{6}$. Числитель и знаменатель делятся на 2.
$\frac{14}{6} = \frac{14 \div 2}{6 \div 2} = \frac{7}{3}$.
Сократим вторую дробь $\frac{24}{9}$. Числитель и знаменатель делятся на 3.
$\frac{24}{9} = \frac{24 \div 3}{9 \div 3} = \frac{8}{3}$.
Теперь сравним полученные дроби $\frac{7}{3}$ и $\frac{8}{3}$. Так как знаменатели у дробей одинаковые, сравним их числители.
$7 < 8$, следовательно, $\frac{7}{3} < \frac{8}{3}$.
Значит, $\frac{14}{6} < \frac{24}{9}$.
Ответ: $\frac{14}{6} < \frac{24}{9}$.

б) Сравним дроби $\frac{12}{20}$ и $\frac{9}{15}$.
Сократим дробь $\frac{12}{20}$. Числитель и знаменатель делятся на 4.
$\frac{12}{20} = \frac{12 \div 4}{20 \div 4} = \frac{3}{5}$.
Сократим дробь $\frac{9}{15}$. Числитель и знаменатель делятся на 3.
$\frac{9}{15} = \frac{9 \div 3}{15 \div 3} = \frac{3}{5}$.
Полученные дроби равны.
Значит, $\frac{12}{20} = \frac{9}{15}$.
Ответ: $\frac{12}{20} = \frac{9}{15}$.

в) Сравним дроби $\frac{25}{100}$ и $\frac{6}{8}$.
Сократим дробь $\frac{25}{100}$. Числитель и знаменатель делятся на 25.
$\frac{25}{100} = \frac{25 \div 25}{100 \div 25} = \frac{1}{4}$.
Сократим дробь $\frac{6}{8}$. Числитель и знаменатель делятся на 2.
$\frac{6}{8} = \frac{6 \div 2}{8 \div 2} = \frac{3}{4}$.
Теперь сравним дроби $\frac{1}{4}$ и $\frac{3}{4}$. Так как знаменатели одинаковые, сравниваем числители.
$1 < 3$, следовательно, $\frac{1}{4} < \frac{3}{4}$.
Значит, $\frac{25}{100} < \frac{6}{8}$.
Ответ: $\frac{25}{100} < \frac{6}{8}$.

г) Сравним дроби $\frac{12}{24}$ и $\frac{8}{16}$.
Сократим дробь $\frac{12}{24}$. Числитель и знаменатель делятся на 12.
$\frac{12}{24} = \frac{12 \div 12}{24 \div 12} = \frac{1}{2}$.
Сократим дробь $\frac{8}{16}$. Числитель и знаменатель делятся на 8.
$\frac{8}{16} = \frac{8 \div 8}{16 \div 8} = \frac{1}{2}$.
Полученные дроби равны.
Значит, $\frac{12}{24} = \frac{8}{16}$.
Ответ: $\frac{12}{24} = \frac{8}{16}$.

480 Учебники составляют $\frac{3}{7}$ библиотечного фонда, а художественные произведения — $\frac{2}{5}$. Каких книг в библиотеке больше: учебников или художественных произведений?

Чтобы определить, каких книг в библиотеке больше, необходимо сравнить дроби, которые представляют долю каждого вида книг от общего библиотечного фонда. Доля учебников составляет $ \frac{3}{7} $ фонда, а доля художественных произведений — $ \frac{2}{5} $.

Для сравнения этих дробей приведем их к общему знаменателю. Наименьшим общим знаменателем для чисел 7 и 5 будет их произведение, так как они являются простыми числами.
Общий знаменатель: $ 7 \times 5 = 35 $.

Теперь приведем каждую дробь к знаменателю 35. Для этого умножим числитель и знаменатель каждой дроби на соответствующий дополнительный множитель.

Для доли учебников ($ \frac{3}{7} $): дополнительный множитель равен $ 35 \div 7 = 5 $.
$ \frac{3}{7} = \frac{3 \times 5}{7 \times 5} = \frac{15}{35} $

Для доли художественных произведений ($ \frac{2}{5} $): дополнительный множитель равен $ 35 \div 5 = 7 $.
$ \frac{2}{5} = \frac{2 \times 7}{5 \times 7} = \frac{14}{35} $

Теперь, когда дроби имеют одинаковый знаменатель, мы можем сравнить их числители. Сравниваем $ \frac{15}{35} $ и $ \frac{14}{35} $.
Поскольку $ 15 > 14 $, то и дробь $ \frac{15}{35} $ больше дроби $ \frac{14}{35} $.
Следовательно, $ \frac{3}{7} > \frac{2}{5} $.

Это означает, что доля учебников в библиотеке больше, чем доля художественных произведений.

Ответ: в библиотеке больше учебников.