Номер 507, страница 147 - гдз по математике 5 класс учебник Бунимович, Дорофеев

507. Подставьте в дробь $\frac{a}{b}$ вместо $a$ и $b$ числа от 1 до 5 всеми возможными способами.

а) Сколько среди полученных чисел правильных дробей и сколько — неправильных?

б) Сколько дробей представляют натуральные числа и сколько среди них представляют число 1?

В задаче требуется подставить в дробь $\frac{a}{b}$ вместо $a$ и $b$ числа от 1 до 5. Это означает, что и числитель $a$, и знаменатель $b$ могут принимать любое целое значение из множества {1, 2, 3, 4, 5}.

Общее количество возможных дробей можно найти, перемножив количество вариантов для числителя на количество вариантов для знаменателя: $5 \times 5 = 25$ дробей.

а)

Правильная дробь — это дробь, у которой числитель меньше знаменателя ($a < b$). Посчитаем количество таких дробей для каждого возможного знаменателя:

- при $b=1$ правильных дробей нет;
- при $b=2$ числитель может быть равен 1 (1 дробь: $\frac{1}{2}$);
- при $b=3$ числитель может быть равен 1, 2 (2 дроби: $\frac{1}{3}, \frac{2}{3}$);
- при $b=4$ числитель может быть равен 1, 2, 3 (3 дроби: $\frac{1}{4}, \frac{2}{4}, \frac{3}{4}$);
- при $b=5$ числитель может быть равен 1, 2, 3, 4 (4 дроби: $\frac{1}{5}, \frac{2}{5}, \frac{3}{5}, \frac{4}{5}$).

Суммарное количество правильных дробей: $1 + 2 + 3 + 4 = 10$.

Неправильная дробь — это дробь, у которой числитель больше или равен знаменателю ($a \ge b$). Их количество можно найти, вычтя из общего числа дробей количество правильных:

$25 - 10 = 15$.

Ответ: 10 правильных дробей и 15 неправильных.

б)

Дробь представляет натуральное число, если ее числитель $a$ делится на знаменатель $b$ без остатка. Перечислим все такие дроби:

- со знаменателем 1: $\frac{1}{1}, \frac{2}{1}, \frac{3}{1}, \frac{4}{1}, \frac{5}{1}$ (5 дробей);
- со знаменателем 2: $\frac{2}{2}, \frac{4}{2}$ (2 дроби);
- со знаменателем 3: $\frac{3}{3}$ (1 дробь);
- со знаменателем 4: $\frac{4}{4}$ (1 дробь);
- со знаменателем 5: $\frac{5}{5}$ (1 дробь).

Общее количество дробей, представляющих натуральные числа: $5 + 2 + 1 + 1 + 1 = 10$.

Дробь представляет число 1, если ее числитель равен знаменателю ($a = b$). Из перечисленных выше это дроби:

$\frac{1}{1}, \frac{2}{2}, \frac{3}{3}, \frac{4}{4}, \frac{5}{5}$

Всего таких дробей 5.

Ответ: 10 дробей представляют натуральные числа, из них 5 дробей представляют число 1.