Номер 26, страница 13 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

1.2. Прямая. Части прямой. Ломаная. Глава 1. Линии - номер 26, страница 13.

26 НАБЛЮДАЕМ

а) На рисунке 1.20, а показано, как можно спаять каркас куба из четырёх одинаковых кусков проволоки. А можно ли спаять каркас куба из шести одинаковых кусков проволоки?

б) Верно ли, что на рисунках 1.20, а и 1.20, б изображён один и тот же каркас?

Рис. 1.20

а)

Да, можно спаять каркас куба из шести одинаковых кусков проволоки. Вот подробное объяснение, почему это возможно.

1. Каркас куба состоит из 12 рёбер. Пусть длина каждого ребра равна $s$. Тогда общая длина всей проволоки, необходимой для каркаса, составляет $12s$.

2. Если мы используем 6 одинаковых кусков проволоки, то длина каждого куска должна быть $12s / 6 = 2s$.

3. Наиболее естественная форма для такого куска, чтобы из них можно было составить каркас куба — это форма буквы «Г», состоящая из двух отрезков длиной $s$, соединённых под прямым углом. Такой кусок покрывает два смежных ребра куба.

4. Докажем, что из шести таких «Г»-образных кусков можно собрать куб. Рассмотрим каркас куба как граф, у которого 8 вершин и 12 рёбер. Каждая вершина имеет степень 3 (в ней сходятся 3 ребра). Наша задача — разбить 12 рёбер графа на 6 путей длиной 2 (каждый путь — это наш «Г»-образный кусок).

5. Каждый такой путь имеет одну центральную вершину и две концевые. Поскольку у нас 6 кусков (путей), то 6 из 8 вершин куба должны быть центральными для этих путей. Оставшиеся 2 вершины не будут центральными ни для одного из путей.

6. Выберем в качестве этих двух «нецентральных» вершин две любые противоположные вершины куба (например, левую-нижнюю-переднюю и правую-верхнюю-заднюю). Они не соединены ребром.

7. В каждой из этих двух «нецентральных» вершин сходятся три ребра. Каждое из этих рёбер должно быть концом одного из «Г»-образных кусков. Таким образом, к этим двум вершинам будут подходить концы всех шести наших кусков (по три к каждой).

8. Остальные 6 вершин куба будут «центральными». В каждой такой вершине будет сгиб одного «Г»-образного куска, а также конец другого «Г»-образного куска.

Такая конструкция возможна. Например, три куска начинаются у одной противоположной вершины, идут к трём её соседям (где у них сгиб) и заканчиваются на «экваторе» куба. Три других куска аналогично начинаются у второй противоположной вершины и заканчиваются в тех же точках на «экваторе», замыкая конструкцию.

Ответ: Да, можно.

б)

Да, утверждение верно.

1. Понятие «каркас куба» относится к геометрическому объекту — совокупности 8 вершин и 12 рёбер, образующих куб. Это определяет его форму и структуру.

2. На обоих рисунках, 1.20, а и 1.20, б, изображён именно этот объект — каркас куба.

3. Различие между рисунками заключается в раскраске рёбер. Раскраска показывает различные способы сборки (декомпозиции) каркаса из составных частей. На рисунке «а» показана сборка из четырёх одинаковых частей, а на рисунке «б» — другой способ раскраски (возможно, иллюстрирующий сборку из шести частей или просто произвольный).

4. Однако способ сборки или цвет не меняют сам геометрический объект. Как дом, покрашенный в синий цвет, и тот же дом, покрашенный в зелёный, остаются одним и тем же домом, так и каркас куба на обоих рисунках является одним и тем же объектом. Рисунки являются лишь разными изображениями одного и того же каркаса.

Ответ: Да, верно.