Номер 25, страница 12 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

1.2. Прямая. Части прямой. Ломаная. Глава 1. Линии - номер 25, страница 12.

25 АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ

1) Начертите две пересекающиеся прямые. Проведите третью прямую, пересекающую каждую из этих прямых и не проходящую через их точку пересечения. Сколько точек пересечения прямых у вас получилось?

2) В некотором городке всего три попарно пересекающиеся прямолинейные улицы. На каждом перекрёстке установлен светофор. Сколько

$B$

$A$

a)

б)

Рис. 1.18

Рис. 1.19

Рис. 1.20

всего светофоров в этом городке? Было решено проложить новую улицу, пересекающую все старые и не проходящую через уже имеющиеся перекрёстки. Сколько придётся установить светофоров? А если прокладка улиц в городке будет продолжена таким же образом, можно ли сказать, сколько будет светофоров в городке с десятью улицами?

1)

Пусть даны две пересекающиеся прямые, назовем их l₁ и l₂. Они пересекаются в одной точке, назовем ее P₁.
Далее проведем третью прямую, l₃, так, чтобы она пересекала l₁ и l₂, но не проходила через их точку пересечения P₁.
Прямая l₃ пересечет прямую l₁ в новой точке, назовем ее P₂.
Прямая l₃ пересечет прямую l₂ в еще одной новой точке, назовем ее P₃.
Таким образом, мы получили три различные точки пересечения: P₁ (пересечение l₁ и l₂), P₂ (пересечение l₁ и l₃) и P₃ (пересечение l₂ и l₃). Эти три точки образуют вершины треугольника.

Ответ: 3 точки пересечения.

2)

В этой задаче каждая улица представляет собой прямую, а каждый перекрёсток, где устанавливают светофор, является точкой пересечения двух прямых. Условие, что улицы "попарно пересекающиеся" и новая улица "не проходит через уже имеющиеся перекрёстки", означает, что в данной модели никакие две улицы не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке.

Сколько всего светофоров в этом городке?

Изначально в городке 3 улицы. Количество светофоров равно количеству перекрёстков. Чтобы найти число перекрёстков, нужно найти, сколько уникальных пар улиц можно составить из трёх имеющихся. Это задача на нахождение числа сочетаний из 3 элементов по 2.
Формула для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
Для 3 улиц ($n=3$), которые пересекаются парами ($k=2$), получаем:
$C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(1)} = 3$.
Следовательно, в городке с тремя улицами 3 перекрёстка.

Ответ: 3 светофора.

Сколько придётся установить светофоров?

К трём существующим улицам добавляют новую, четвёртую. По условию, она пересекает все три старые улицы, причём в новых точках (не проходя через старые перекрёстки).
Это означает, что четвёртая улица создаст по одному новому перекрёстку с каждой из трёх существующих улиц.
Количество новых светофоров, которые придётся установить, равно количеству уже существующих улиц.
$1 + 1 + 1 = 3$.

Ответ: 3 светофора.

А если прокладка улиц в городке будет продолжена таким же образом, можно ли сказать, сколько будет светофоров в городке с десятью улицами?

Да, можно. Если прокладка улиц продолжается по тому же принципу (каждая новая улица пересекает все старые, и никакие три не пересекаются в одной точке), то общее число светофоров для n улиц будет равно числу всех возможных пар улиц.
Это число вычисляется по формуле для числа сочетаний из n по 2:
$N = C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$, где N — количество светофоров, а n — количество улиц.
Для городка с 10 улицами (n = 10) количество светофоров будет:
$N = \frac{10 \times (10-1)}{2} = \frac{10 \times 9}{2} = \frac{90}{2} = 45$.

Ответ: Да, можно сказать. В городке будет 45 светофоров.