Страница 12 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

22 НАБЛЮДАЕМ На рисунке 1.17 изображён куб.

1) Назовите: а) все отрезки, одним из концов которых является точка $M$; б) какую-нибудь ломаную, состоящую из трёх отрезков; в) несколько ломаных, по которым можно пройти из точки $A$ в точку $K$.

2) Какой путь короче: $ABKM$ или $ABCDNM$? Назовите ещё какой-нибудь путь такой же длины, что и $ABKM$, и путь такой же длины, что и $ABCDNM$.

3) Сколько кусков проволоки нужно взять, чтобы спаять из них каркас куба?

Рис. 1.17

1) а) Точка M является одной из восьми вершин куба. Из каждой вершины куба выходят три ребра. В соответствии с изображением, вершина M соединена рёбрами с вершинами K, C и N. Следовательно, отрезки, одним из концов которых является точка М, — это рёбра MK, MC и MN.
Ответ: MK, MC, MN.

1) б) Ломаная, состоящая из трёх отрезков, представляет собой путь по трём последовательным рёбрам куба, соединяющий четыре вершины. Например, ломаная ABKM состоит из трёх отрезков-рёбер: AB, BK и KM.
Ответ: ABKM.

1) в) Пройти из точки A в точку K можно по разным путям (ломаным). Вот несколько примеров:

• Кратчайший путь по двум рёбрам: ломаная ABK (состоит из отрезков AB и BK).
• Другой кратчайший путь по двум рёбрам: ломаная ALK (состоит из отрезков AL и LK).
• Более длинный путь, например, по четырём рёбрам: ломаная ADCBK (состоит из отрезков AD, DC, CB и BK).

Ответ: ABK, ALK, ADCBK.

2) Для сравнения путей ABKM и ABCDNM необходимо найти их длины. Длина пути — это сумма длин составляющих его отрезков. Пусть длина ребра куба равна $a$.
Путь ABKM состоит из трёх рёбер: AB, BK и KM. Его длина составляет $a + a + a = 3a$.
Путь ABCDNM состоит из пяти рёбер: AB, BC, CD, DN и NM. Его длина составляет $a + a + a + a + a = 5a$.
Сравнивая длины, получаем, что $3a < 5a$. Следовательно, путь ABKM короче.
Теперь назовём другие пути с такими же длинами, соединяющие начальную точку A и конечную точку M.
Путь такой же длины, что и ABKM (длиной $3a$), является кратчайшим путём между диагонально противоположными вершинами куба. Пример такого пути: ADNM.
Путь такой же длины, что и ABCDNM (длиной $5a$), является более длинным, неоптимальным маршрутом. Пример такого пути: ABKLNM.
Ответ: Путь ABKM короче. Путь такой же длины, что и ABKM: ADNM. Путь такой же длины, что и ABCDNM: ABKLNM.

3) Каркас куба представляет собой его рёбра. У куба 12 рёбер. Чтобы спаять каркас куба, необходимо взять по одному куску проволоки для каждого ребра. Таким образом, общее количество необходимых кусков проволоки равно количеству рёбер у куба.
Ответ: 12.

23 ИЩЕМ ЗАКОНОМЕРНОСТЬ

Скопируйте отрезок $AB$ (рис. 1.18). От точки $A$ отсчитайте 5 клеток вправо, 2 клетки вниз и отметьте точку $C$. Проведите отрезок $AC$. От точки $A$ отсчитайте 5 клеток влево, 2 клетки вверх и отметьте точку $D$. Проведите отрезок $AD$. Отрезок $AC$ равен отрезку $AB$. Отрезки $AC$ и $AD$ равны отрезку $AB$. Поступая аналогично, начертите отрезки $AM$ и $AK$, равные $AB$.

Рис. 1.18

Для решения этой задачи необходимо найти закономерность, по которой строятся отрезки равной длины на клетчатой бумаге. Длина отрезка, такого как AB, может быть найдена по теореме Пифагора, если представить его гипотенузой прямоугольного треугольника. Катеты этого треугольника будут параллельны линиям сетки.

Чтобы попасть из точки A в точку B, нужно сместиться на 2 клетки влево и 5 клеток вверх. Таким образом, катеты воображаемого прямоугольного треугольника равны 2 и 5. Квадрат длины отрезка AB равен $2^2 + 5^2 = 4 + 25 = 29$.

В условии показано, что отрезки AC (смещение на 5 вправо, 2 вниз) и AD (смещение на 5 влево, 2 вверх) также имеют квадрат длины $5^2 + 2^2 = 29$, а значит, они равны отрезку AB. Закономерность заключается в том, что для построения равного отрезка с началом в точке A нужно использовать смещения (катеты) длиной 2 и 5 клеток в любых направлениях (вверх, вниз, влево, вправо) и в любом порядке.

Поступая аналогично, начертите отрезки АМ и АК, равные АВ.

Для построения отрезков AM и AK необходимо выбрать две комбинации смещений от точки А, которые еще не были использованы для точек B, C и D. Всего существует 8 таких комбинаций:

• смещение на 2 клетки по горизонтали и 5 по вертикали;
• смещение на 5 клеток по горизонтали и 2 по вертикали.

Точки B, C и D соответствуют смещениям: (2 влево, 5 вверх), (5 вправо, 2 вниз) и (5 влево, 2 вверх). Выберем две любые другие комбинации для точек M и K. Например:

1. Для точки M выберем смещение "2 клетки влево и 5 клеток вниз". От точки A отсчитайте 2 клетки влево и 5 клеток вниз. Отметьте полученную точку как M и проведите отрезок AM.
2. Для точки K выберем смещение "5 клеток вправо и 2 клетки вверх". От точки A отсчитайте 5 клеток вправо и 2 клетки вверх. Отметьте полученную точку как K и проведите отрезок AK.

Оба построенных отрезка, AM и AK, будут равны исходному отрезку AB, так как они являются гипотенузами прямоугольных треугольников с катетами 2 и 5.

Ответ: Для построения точки M от точки A отсчитайте 2 клетки влево и 5 клеток вниз, затем проведите отрезок AM. Для построения точки K от точки A отсчитайте 5 клеток вправо и 2 клетки вверх, затем проведите отрезок AK. (Существуют и другие правильные варианты построения).

24 Ищем способ копирования Рассмотрите звезду (рис. 1.19). Верно ли, что её образует замкнутая ломаная, состоящая из пяти отрезков? Начертите звезду в тетради.

Подсказка. Сначала отметьте все вершины, а затем соедините их последовательно отрезками.

Рис. 1.19

Верно ли, что её образует замкнутая ломаная, состоящая из пяти отрезков?

Да, это утверждение верно. Ломаная линия — это фигура, которая состоит из нескольких отрезков, последовательно соединённых друг с другом. Если конец последнего отрезка совпадает с началом первого, то такая ломаная называется замкнутой.

Пятиконечную звезду можно начертить одной непрерывной линией, не отрывая руки от бумаги. Для этого нужно последовательно соединить пять её вершин. Если мы обозначим вершины, начиная с верхней и двигаясь по часовой стрелке, как A, B, C, D, E, то звезду можно нарисовать, соединяя точки в следующем порядке: A → C → E → B → D → A.

В результате мы получаем пять отрезков: AC, CE, EB, BD, DA. Эта линия начинается в точке А и заканчивается в той же точке А, следовательно, она является замкнутой ломаной, состоящей из пяти отрезков.

Ответ: Верно.

Начертите звезду в тетради.

Чтобы начертить звезду в тетради, нужно выполнить следующие действия, как и предложено в подсказке:

1. Сначала отметьте в тетради пять точек — будущих вершин звезды. Для ровной звезды расположите их так, как располагаются вершины правильного пятиугольника (можно мысленно вписать их в окружность на равном расстоянии друг от друга).

2. Затем последовательно соедините эти вершины отрезками. Удобнее всего соединять каждую вершину со второй по счёту от неё (то есть, пропуская соседнюю). Например, если пронумеровать вершины по часовой стрелке от 1 до 5, то соединять нужно в таком порядке:
- вершину 1 с вершиной 3;
- вершину 3 с вершиной 5;
- вершину 5 с вершиной 2;
- вершину 2 с вершиной 4;
- вершину 4 с вершиной 1.

Выполнив эти шаги, вы получите пятиконечную звезду.

Ответ: Для построения звезды необходимо отметить пять вершин и соединить их отрезками в последовательности: первая с третьей, третья с пятой, пятая со второй, вторая с четвёртой и четвёртая с первой.

25 АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ

1) Начертите две пересекающиеся прямые. Проведите третью прямую, пересекающую каждую из этих прямых и не проходящую через их точку пересечения. Сколько точек пересечения прямых у вас получилось?

2) В некотором городке всего три попарно пересекающиеся прямолинейные улицы. На каждом перекрёстке установлен светофор. Сколько

$B$

$A$

a)

б)

Рис. 1.18

Рис. 1.19

Рис. 1.20

всего светофоров в этом городке? Было решено проложить новую улицу, пересекающую все старые и не проходящую через уже имеющиеся перекрёстки. Сколько придётся установить светофоров? А если прокладка улиц в городке будет продолжена таким же образом, можно ли сказать, сколько будет светофоров в городке с десятью улицами?

1)

Пусть даны две пересекающиеся прямые, назовем их l₁ и l₂. Они пересекаются в одной точке, назовем ее P₁.
Далее проведем третью прямую, l₃, так, чтобы она пересекала l₁ и l₂, но не проходила через их точку пересечения P₁.
Прямая l₃ пересечет прямую l₁ в новой точке, назовем ее P₂.
Прямая l₃ пересечет прямую l₂ в еще одной новой точке, назовем ее P₃.
Таким образом, мы получили три различные точки пересечения: P₁ (пересечение l₁ и l₂), P₂ (пересечение l₁ и l₃) и P₃ (пересечение l₂ и l₃). Эти три точки образуют вершины треугольника.

Ответ: 3 точки пересечения.

2)

В этой задаче каждая улица представляет собой прямую, а каждый перекрёсток, где устанавливают светофор, является точкой пересечения двух прямых. Условие, что улицы "попарно пересекающиеся" и новая улица "не проходит через уже имеющиеся перекрёстки", означает, что в данной модели никакие две улицы не параллельны и никакие три не пересекаются в одной точке.

Сколько всего светофоров в этом городке?

Изначально в городке 3 улицы. Количество светофоров равно количеству перекрёстков. Чтобы найти число перекрёстков, нужно найти, сколько уникальных пар улиц можно составить из трёх имеющихся. Это задача на нахождение числа сочетаний из 3 элементов по 2.
Формула для числа сочетаний: $C_n^k = \frac{n!}{k!(n-k)!}$.
Для 3 улиц ($n=3$), которые пересекаются парами ($k=2$), получаем:
$C_3^2 = \frac{3!}{2!(3-2)!} = \frac{3 \times 2 \times 1}{(2 \times 1)(1)} = 3$.
Следовательно, в городке с тремя улицами 3 перекрёстка.

Ответ: 3 светофора.

Сколько придётся установить светофоров?

К трём существующим улицам добавляют новую, четвёртую. По условию, она пересекает все три старые улицы, причём в новых точках (не проходя через старые перекрёстки).
Это означает, что четвёртая улица создаст по одному новому перекрёстку с каждой из трёх существующих улиц.
Количество новых светофоров, которые придётся установить, равно количеству уже существующих улиц.
$1 + 1 + 1 = 3$.

Ответ: 3 светофора.

А если прокладка улиц в городке будет продолжена таким же образом, можно ли сказать, сколько будет светофоров в городке с десятью улицами?

Да, можно. Если прокладка улиц продолжается по тому же принципу (каждая новая улица пересекает все старые, и никакие три не пересекаются в одной точке), то общее число светофоров для n улиц будет равно числу всех возможных пар улиц.
Это число вычисляется по формуле для числа сочетаний из n по 2:
$N = C_n^2 = \frac{n(n-1)}{2}$, где N — количество светофоров, а n — количество улиц.
Для городка с 10 улицами (n = 10) количество светофоров будет:
$N = \frac{10 \times (10-1)}{2} = \frac{10 \times 9}{2} = \frac{90}{2} = 45$.

Ответ: Да, можно сказать. В городке будет 45 светофоров.