Страница 8 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

8 РАССУЖДАЕМ

Главный судья автомобильных гонок должен обязательно присутствовать и на старте, и на финише. Каким из известных вам свойств линий должна обладать трасса гонок? Какие из нарисованных на рисунке 1.6 линий могут изображать трассу для проведения автомобильных гонок?

Рис. 1.6

Каким из известных вам свойств линий должна обладать трасса гонок?

Исходя из условия, что главный судья автомобильных гонок должен присутствовать одновременно и на старте, и на финише, можно сделать вывод, что точка старта и точка финиша трассы совпадают. В геометрии линия, у которой начало и конец совпадают, называется замкнутой линией или замкнутой кривой. Таким образом, трасса для гонок должна быть замкнутой.

Ответ: Трасса гонок должна обладать свойством замкнутости, то есть быть замкнутой линией.

Какие из нарисованных на рисунке 1.6 линий могут изображать трассу для проведения автомобильных гонок?

Рассмотрим каждую линию на рисунке с точки зрения её пригодности для гоночной трассы:
Линия 1: Эта линия является замкнутой и не имеет точек самопересечения. Такая конфигурация трассы вполне возможна для проведения гонок.
Линия 2: Эта линия также является замкнутой, но у нее есть точка самопересечения. На реальной трассе это означало бы пересечение дорог на одном уровне, что неизбежно привело бы к столкновениям гоночных автомобилей. Поэтому такая трасса, изображенная на плоскости, не подходит для проведения гонок из соображений безопасности.
Линия 3: Эта линия представляет собой простую замкнутую кривую (овал), что является классическим примером гоночного трека. Она подходит для проведения соревнований.
Следовательно, трассу для автомобильных гонок могут изображать линии, которые являются замкнутыми и не имеют самопересечений.

Ответ: Линии 1 и 3.

9 Ищем способ копирования

Скопируйте овал (рис. 1.7), используя клетки. Для этого:

1) Обратите внимание, что четыре точки на овале разбили его на 4 фрагмента.

2) Чтобы нарисовать один из фрагментов, отсчитайте от центральной точки 5 клеток влево и отметьте левую точку, затем отсчитайте от центра 2 клетки вверх и отметьте верхнюю точку. Соедините точки линией так же, как на рисунке.

Рис. 1.7

3) Отметьте правую точку и нарисуйте следующий фрагмент.

4) Так же нарисуйте два нижних фрагмента.

1) На рисунке 1.7 изображен овал, который является эллипсом. Четыре отмеченные точки (синие) — это вершины эллипса, расположенные на его осях симметрии. Они делят эллипс на четыре одинаковых (симметричных) дугообразных фрагмента. Это упрощает построение, так как достаточно понять, как строится один фрагмент, а остальные можно нарисовать симметрично.

Ответ: Четыре точки на овале разбивают его на четыре симметричных фрагмента, что позволяет копировать овал по частям.

2) Для того чтобы нарисовать первый, верхний левый, фрагмент, необходимо выполнить следующие шаги. Выбираем центральную точку овала, которую примем за начало координат $O(0, 0)$. Отсчитываем от нее 5 клеток влево и отмечаем левую вершину в точке $A(-5, 0)$. Затем от центра отсчитываем 2 клетки вверх и отмечаем верхнюю вершину в точке $B(0, 2)$. После этого соединяем точки $A$ и $B$ плавной кривой (дугой), как показано на рисунке. Эта дуга является частью эллипса с горизонтальной полуосью $a=5$ и вертикальной полуосью $b=2$.

Ответ: Верхний левый фрагмент овала нарисован путем соединения левой точки (5 клеток влево от центра) и верхней точки (2 клетки вверх от центра).

3) Для построения следующего фрагмента (верхнего правого) сначала отмечаем правую вершину. Для этого отсчитываем 5 клеток вправо от центральной точки и ставим точку $C(5, 0)$. Теперь соединяем верхнюю точку $B(0, 2)$ и правую точку $C(5, 0)$ плавной дугой. Эта дуга должна быть симметрична уже нарисованному левому верхнему фрагменту относительно вертикальной оси. В результате будет построена вся верхняя половина овала.

Ответ: Правая точка отмечена, и нарисован верхний правый фрагмент, завершая построение верхней половины овала.

4) Аналогично строим два нижних фрагмента. Сначала находим нижнюю вершину, отсчитав 2 клетки вниз от центра, и ставим точку $D(0, -2)$. Затем соединяем правую точку $C(5, 0)$ с нижней точкой $D(0, -2)$ плавной дугой — это нижний правый фрагмент. Наконец, соединяем нижнюю точку $D(0, -2)$ с левой точкой $A(-5, 0)$ — это нижний левый фрагмент. После выполнения всех шагов овал будет полностью скопирован.

Ответ: Нарисованы два нижних фрагмента (нижний правый и нижний левый), и построение овала завершено.

10 Воспроизведите узор, изображённый на рисунке 1.8. Из какого количества линий он состоит?

Рис. 1.8

Для того чтобы определить, из какого количества линий состоит узор, необходимо проследить, можно ли нарисовать его целиком, не отрывая карандаш от бумаги. Это свойство фигур называется уникурсальностью.

Если начать обводить узор с любой произвольной точки (например, с центрального пересечения или с конца одного из завитков) и непрерывно следовать по линии, можно убедиться, что она проходит через все элементы узора: четыре петли и центральное пересечение, — и в итоге возвращается в исходную точку. Таким образом, весь узор можно начертить одним росчерком.

Из какого количества линий он состоит?
Поскольку весь узор можно нарисовать одной непрерывной линией, не отрывая руки от бумаги, он состоит из одной линии.
Ответ: 1

11 НАБЛЮДАЕМ И ЭКСПЕРИМЕНТИРУЕМ

Кусок верёвки выложен так, как показано на рисунке 1.9, а–в. Как вы думаете, завяжется ли узел, если потянуть за концы шнура? Проверьте себя, проведя эксперимент.

Рис. 1.8

а) б) в)

Рис. 1.9

а) В этом случае узел завяжется. Правый конец шнура пропущен через петлю, образованную левой частью шнура. Когда мы потянем за концы, эта петля затянется, и образуется так называемый простой узел (или полуузел). Это самая простая форма узла.
Ответ: да, узел завяжется.

б) В данной конфигурации узел не завяжется. Несмотря на то что верёвка перекрещивается дважды, эти перекрещивания взаимно компенсируются. Верхняя петля сделана так, что верёвка проходит под собой, а нижняя — над собой. Если потянуть за концы, вся конструкция распрямится, не образовав узла. Это пример ложного узла или простого перехлёста.
Ответ: нет, узел не завяжется.

в) Здесь узел также завяжется. Эта конфигурация представляет собой узел "восьмёрка". Он образуется, когда конец верёвки огибает основную часть и затем пропускается через первоначальную петлю. При затягивании получается надёжный и стабильный узел, который широко используется в альпинизме и морском деле.
Ответ: да, узел завяжется.