Страница 7 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

Рис. 1.3

Развязка автомобильных дорог

3 Возьмите кубик и на его поверхности проведите мелом линию так, как нарисовано на рисунке 1.3. Попробуйте сделать такую же линию из куска проволоки.

Задача предлагает рассмотреть линию, проведенную на поверхности куба, и воспроизвести ее из проволоки. Линия на рисунке 1.3 пересекает три смежные грани куба, которые сходятся в одной вершине. Чтобы понять истинную природу этой линии, представим себе развертку этих трех граней. Если мы расположим три квадратные грани (например, переднюю, верхнюю и правую) в один ряд, они образуют прямоугольник. Линия, показанная на кубе, которая выглядит как ломаная, на этой развертке будет представлять собой прямой отрезок, соединяющий начальную и конечную точки.

Когда мы пытаемся сделать такую же линию из куска проволоки, мы сталкиваемся с ключевым свойством трехмерного пространства. Прямой кусок проволоки соответствует кратчайшему расстоянию между двумя точками в пространстве, но линия на кубе — это кратчайший путь на его поверхности. Этот путь не является прямой линией в трехмерном пространстве. Чтобы проволока повторила путь, нарисованный на кубе, ее необходимо согнуть в двух точках — в тех местах, где линия переходит с одной грани на другую (то есть пересекает ребра куба). В результате получится пространственная ломаная линия, состоящая из трех прямолинейных сегментов, лежащих в трех взаимно перпендикулярных плоскостях.

Таким образом, эксперимент с проволокой наглядно демонстрирует, что "прямая" линия на развертке поверхности куба в реальности является изогнутой линией в трехмерном пространстве.
Ответ: Чтобы сделать из проволоки линию, как на рисунке, проволоку необходимо согнуть в двух местах под прямым углом. Прямой отрезок проволоки не сможет лежать на поверхности куба вдоль указанной линии, так как эта линия располагается на трех разных гранях, то есть в трех взаимно перпендикулярных плоскостях.

Автомобильная развязка, изображённая на фотографии, носит название «бабочка» за внешнее сходство с этим насекомым. А что она представляет собой с точки зрения геометрии? Как здесь решена проблема пересечения автомобильных дорог? Какие ещё способы решения этой проблемы вы знаете?

А что она представляет собой с точки зрения геометрии?
С точки зрения геометрии, автомобильная развязка типа «бабочка» (разновидность «клеверного листа») представляет собой сложную пространственную конструкцию. Во-первых, это две пересекающиеся в проекции на плоскость автомобильные дороги. В трехмерном пространстве они являются скрещивающимися прямыми (или кривыми), так как находятся на разных уровнях высоты. Во-вторых, это соединительные съезды (рампы), которые и образуют характерную форму «крыльев бабочки». Эти съезды представляют собой плавные кривые. В дорожном строительстве для них часто используют не просто дуги окружностей, а более сложные кривые, например, клотоиды (спирали Корню). Клотоида — это кривая, у которой кривизна $k$ изменяется пропорционально длине дуги $s$ ($k = as$), что позволяет обеспечить плавное нарастание центробежной силы при въезде автомобиля в поворот. В-третьих, вся конструкция часто обладает центральной или осевой симметрией относительно точки пересечения главных дорог. Таким образом, это комбинация прямых и криволинейных участков, расположенных в разных плоскостях и соединенных между собой.
Ответ: С точки зрения геометрии, развязка «бабочка» — это пространственная система, состоящая из двух скрещивающихся на разных уровнях дорог, соединенных плавными криволинейными съездами (часто в форме клотоид или дуг окружностей), которые образуют симметричную структуру.

Как здесь решена проблема пересечения автомобильных дорог?
Проблема пересечения потоков автомобилей решается за счет их разделения в пространстве, что является основным принципом многоуровневых развязок. Это достигается двумя основными способами. 1) Разделение по высоте (в разных уровнях): Основные пересекающиеся дороги проходят на разной высоте. Одна дорога строится над другой с помощью моста (эстакады, путепровода) или под ней в тоннеле. Это полностью исключает прямое пересечение сквозных потоков транспорта. 2) Организация поворотов через съезды: Для того чтобы транспорт мог перестроиться с одной дороги на другую, строятся специальные односторонние съезды. В развязке типа «бабочка» водитель, желающий повернуть налево, сначала съезжает направо на петлеобразный съезд. Этот съезд, делая дугу в 270 градусов, выводит автомобиль на пересекаемую дорогу в нужном направлении. Таким образом, потоки не пересекаются, а плавно вливаются друг в друга, что обеспечивает непрерывное и безостановочное движение.
Ответ: Проблема решена путем строительства дорог на разных уровнях (одна над другой) и создания специальных петлеобразных съездов для поворотов, что исключает пересечение транспортных потоков в одной точке.

Какие ещё способы решения этой проблемы вы знаете?
Кроме развязки типа «бабочка» (или «клеверный лист»), существует множество других типов многоуровневых транспортных развязок. Среди наиболее известных можно выделить: Ромбовидную развязку, где съезды образуют фигуру, похожую на ромб, а их пересечение со второстепенной дорогой регулируется светофорами; Кольцевую развязку, где пересечение организовано с помощью одного или нескольких колец, с которыми основные дороги соединены съездами; Турбинную развязку, сложную многоуровневую конструкцию с плавными направленными съездами для высокоскоростного движения; Трубообразную развязку, применяемую на Т-образных пересечениях; SPUI (Single Point Urban Interchange), которая является эффективной модификацией ромбовидной развязки с одним центром регулирования.
Ответ: Существуют и другие типы развязок: ромбовидная, кольцевая, турбинная (многоуровневая с направленными съездами), трубообразная, SPUI и другие.

5 ИЩЕМ ЗАКОНОМЕРНОСТЬ

На рисунке 1.4 изображена спираль, рассмотрите её. Ответьте на вопрос и выполните задания:

1) В каком направлении раскручивается спираль: по часовой стрелке или против часовой стрелки?

2) Этой спирали соответствует последовательность чисел: 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4. Продолжите эту последовательность.

3) Перечертите спираль в тетрадь, добавив ещё несколько звеньев.

4) Начертите такую же спираль, раскручивающуюся по часовой стрелке.

Рис. 1.4 Рис. 1.5

1) В каком направлении раскручивается спираль: по часовой стрелке или против часовой стрелки?

Чтобы определить направление, проследим за движением линии от центра. Первый отрезок идет вверх, второй — влево, третий — вниз, четвертый — вправо, и так далее. Последовательность направлений вверх → влево → вниз → вправо образует цикл движения против часовой стрелки.

Ответ: Спираль раскручивается против часовой стрелки.

2) Этой спирали соответствует последовательность чисел: 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4. Продолжите эту последовательность.

Данная последовательность описывает длины звеньев спирали в условных единицах (клетках). Закономерность заключается в том, что каждое натуральное число, начиная с 1, повторяется дважды, после чего следует следующее по порядку число, также повторенное дважды. То есть, за парой $n, n$ следует пара $n+1, n+1$.

Следуя этому правилу, после пары 4, 4 должна идти пара 5, 5, затем 6, 6, и так далее.

Ответ: 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 5, 5, 6, 6, 7, 7, ...

3) Перечертите спираль в тетрадь, добавив ещё несколько звеньев.

Продолжим строить спираль, следуя установленным закономерностям. Последнее звено на рисунке 1.4 имеет длину 4 и направлено вправо. Следующие звенья будут иметь длины 5, 5, 6, 6 и так далее, а направления будут чередоваться: вверх, влево, вниз, вправо.

• Следующее звено (девятое): длина 5, направление вверх.
• Десятое звено: длина 5, направление влево.
• Одиннадцатое звено: длина 6, направление вниз.
• Двенадцатое звено: длина 6, направление вправо.

На рисунке ниже исходная спираль показана красным цветом, а добавленные звенья — синим.

Ответ: Изображение выше демонстрирует спираль с добавленными звеньями.

4) Начертите такую же спираль, раскручивающуюся по часовой стрелке.

Для того чтобы спираль раскручивалась по часовой стрелке, необходимо изменить последовательность направлений на вверх → вправо → вниз → влево. Длины звеньев остаются прежними, согласно последовательности 1, 1, 2, 2, 3, 3, 4, 4, ...

• Первое звено: длина 1, направление вверх.
• Второе звено: длина 1, направление вправо.
• Третье звено: длина 2, направление вниз.
• Четвертое звено: длина 2, направление влево.
• Пятое звено: длина 3, направление вверх.
• И так далее.

Ниже представлена спираль, раскручивающаяся по часовой стрелке.

Ответ: Изображение выше демонстрирует спираль, раскручивающуюся по часовой стрелке.

6 ИЩЕМ СПОСОБ КОПИРОВАНИЯ

На рисунке 1.5 изображён орнамент.

Он получается повторением одного и того же базового элемента.

1) Мысленно выделите базовый элемент и изобразите его в тетради.

2) Начертите такой орнамент, повторив базовый элемент 5 раз.

Поскольку в условии задачи отсутствует рисунок 1.5, на котором изображён орнамент, мы предположим, что он состоит из простого и часто встречающегося в орнаментах геометрического элемента. Орнаменты, как правило, создаются путем многократного повторения (копирования) одной и той же основной части, называемой базовым элементом.

Базовый элемент — это наименьший фрагмент узора, который можно последовательно сдвигать, чтобы построить весь орнамент. В качестве примера выделим базовый элемент для узора типа "меандр" или "крепостная стена". Он представляет собой ломаную линию, состоящую из четырех равных по длине отрезков. Если представить его построение, то это последовательность шагов: "вверх", "вправо", "вниз", "вправо".

Изображение такого базового элемента в тетради:

(Синяя точка — начало элемента, красная — конец, который будет являться началом следующего элемента).

Ответ: Базовый элемент орнамента — это ломаная линия, образующая один "зубец" узора. Его графическое изображение представлено выше.

Чтобы начертить орнамент, необходимо повторить выбранный базовый элемент 5 раз. Это означает, что мы должны нарисовать первый элемент, а затем к его конечной точке пристроить начальную точку второго такого же элемента, и так далее, пока не будет нарисовано пять одинаковых фрагментов подряд.

В результате этих действий получится непрерывная линия, образующая орнамент из пяти "зубцов".

Орнамент, полученный пятикратным повторением базового элемента, будет выглядеть следующим образом:

Ответ: Итоговый орнамент, состоящий из 5 соединенных друг с другом базовых элементов, изображен на рисунке выше.

7 НАБЛЮДАЕМ

Найдите на карте России область (республику, край), в которой вы живёте. Что представляет собой её граница? Есть ли у этой границы части, совпадающие с границей России? Сколько у вас соседей?

Поскольку ответ на этот вопрос зависит от места проживания, я приведу несколько примеров для разных регионов России, чтобы продемонстрировать возможные варианты ответов.

Пример 1: Московская область (регион, не имеющий внешних границ)

Что представляет собой её граница?
Граница Московской области — это замкнутая извилистая линия, проходящая исключительно по суше и отделяющая её территорию от соседних областей. Она не имеет выхода к морю или государственной границе. Ответ: Сухопутная, внутренняя граница.

Есть ли у этой границы части, совпадающие с границей России?
Нет, Московская область не имеет выхода к государственной границе Российской Федерации. Она полностью окружена другими субъектами России. Ответ: Нет.

Сколько у вас соседей?
Московская область граничит с 8 субъектами Российской Федерации: Тверской, Ярославской, Владимирской, Рязанской, Тульской, Калужской, Смоленской областями и городом федерального значения Москвой. Ответ: 8 соседей.

Пример 2: Псковская область (регион, имеющий сухопутную границу с другими государствами)

Что представляет собой её граница?
Граница Псковской области является смешанной. Часть границы проходит по суше и отделяет область от соседних российских регионов (внутренняя граница), а другая, западная часть, является государственной границей России. Участок границы с Эстонией проходит по акватории Псковско-Чудского озера. Ответ: Смешанная (внутренняя и государственная), сухопутная и озёрная.

Есть ли у этой границы части, совпадающие с границей России?
Да, Псковская область имеет протяженную государственную границу с тремя странами: Эстонией, Латвией и Республикой Беларусь. Эти участки являются частью границы Российской Федерации. Ответ: Да, есть.

Сколько у вас соседей?
Псковская область граничит с 4 субъектами РФ (Ленинградская, Новгородская, Тверская и Смоленская области) и 3 государствами (Эстония, Латвия, Беларусь). Ответ: 7 соседей (4 российских региона и 3 государства).

Пример 3: Мурманская область (регион, имеющий и сухопутную, и морскую внешнюю границу)

Что представляет собой её граница?
Граница Мурманской области имеет сложный характер. На западе и юге это сухопутная граница, а на севере и востоке — морская, проходящая по побережью Баренцева и Белого морей. Ответ: Смешанная, сухопутная и морская, внутренняя и государственная.

Есть ли у этой границы части, совпадающие с границей России?
Да, большая часть границы Мурманской области совпадает с государственной границей РФ. Это сухопутные участки с Норвегией и Финляндией, а также вся морская граница по Северному Ледовитому океану. Ответ: Да, есть.

Сколько у вас соседей?
Мурманская область имеет 3 сухопутных соседа: 2 государства (Норвегия и Финляндия) и 1 субъект РФ (Республика Карелия). Также область имеет протяженную морскую границу. Ответ: 3 сухопутных соседа.