Страница 11 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

15 Начертите две пересекающиеся прямые и обозначьте точку пересечения буквой $D$. Проведите через точку $D$ ещё одну прямую. Закончите предложение: Через одну точку можно провести ... . Сколько лучей с началом в точке $D$? Обозначьте лучи буквами.

Согласно условию задачи, начертим две пересекающиеся прямые, например a и b. Точку их пересечения обозначим буквой D. Затем проведем через точку D еще одну прямую, которую назовем c. В результате мы получим три прямые (a, b, c), пересекающиеся в одной общей точке D.

Закончите предложение: Через одну точку можно провести ... .

Это одна из основных аксиом планиметрии. Она утверждает, что через любую точку на плоскости можно провести неограниченное (бесконечное) количество прямых. Таким образом, законченное предложение звучит следующим образом: Через одну точку можно провести бесконечно много прямых.

Ответ: бесконечно много прямых.

Сколько лучей с началом в точке D? Обозначьте лучи буквами.

Каждая прямая, проходящая через точку D, делится этой точкой на два луча, идущих в противоположных направлениях. Поскольку у нас есть три прямые, пересекающиеся в точке D, то общее число лучей с началом в этой точке равно: $3 \text{ прямые} \times 2 \text{ луча} = 6 \text{ лучей}$.

Чтобы обозначить лучи, нам нужно отметить по одной дополнительной точке на каждом луче. Возьмем на прямой a точки A и B по разные стороны от D. На прямой b возьмем точки C и E. На прямой c возьмем точки F и K. Тогда мы получим шесть лучей с началом в точке D:

• Луч DA
• Луч DB
• Луч DC
• Луч DE
• Луч DF
• Луч DK

Ответ: 6 лучей. Например: DA, DB, DC, DE, DF, DK.

16 Отметьте в тетради точки $A$ и $C$. Проведите через них прямую. Отметьте точку $B$, лежащую на прямой $AC$, и точку $K$, не лежащую на прямой $AC$. Проведите луч с началом в точке $K$, пересекающий отрезок $AB$.

Для решения данной задачи необходимо выполнить следующие шаги построения:

1. В тетради (на плоскости) отметим две произвольные точки и обозначим их $A$ и $C$.

2. Проведем через точки $A$ и $C$ прямую линию. Эту прямую можно обозначить как $AC$.

3. На прямой $AC$ отметим точку $B$. Точка $B$ может лежать между $A$ и $C$, или вне отрезка $AC$. На рисунке для примера точка $B$ расположена между $A$ и $C$.

4. Отметим точку $K$, которая не принадлежит прямой $AC$ (записывается как $K \notin AC$).

5. Проведем луч с началом в точке $K$, который пересекает отрезок $AB$. Для этого нужно выбрать любую точку на отрезке $AB$ и провести луч из $K$ через эту точку. По построению, этот луч пересечет отрезок $AB$.

Ниже представлен пример такого построения.

Ответ:

17 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО Рассмотрите рисунок 1.15 и скажите, верно ли утверждение:

1) Точка $A$ лежит на отрезке $BC$.

2) Точка $A$ лежит на луче $BD$.

3) Точка $D$ не лежит между точками $A$ и $C$.

4) Точки $D$ и $C$ лежат на одном и том же луче с началом в точке $B$.

Рис. 1.15

1) Точка А лежит на отрезке ВС.

Отрезок $BC$ — это часть прямой, которая включает в себя точки $B$, $C$ и все точки, лежащие между ними. На рисунке 1.15 точки на прямой расположены в следующем порядке: $D, A, B, C$. Точка $A$ находится левее точки $B$, а отрезок $BC$ начинается в точке $B$ и продолжается вправо до точки $C$. Следовательно, точка $A$ не может лежать на отрезке $BC$. Утверждение неверно.

Ответ: неверно.

2) Точка А лежит на луче BD.

Луч $BD$ начинается в точке $B$ и проходит через точку $D$, продолжаясь бесконечно в этом направлении. На рисунке точка $D$ находится левее точки $B$, значит, луч $BD$ направлен влево от точки $B$. Точка $A$ также находится левее точки $B$ и расположена между точками $B$ и $D$. Таким образом, точка $A$ лежит на луче $BD$. Утверждение верно.

Ответ: верно.

3) Точка D не лежит между точками А и С.

Чтобы одна точка лежала между двумя другими, она должна находиться на отрезке, соединяющем эти две точки. Рассматривая порядок точек на прямой ($D, A, B, C$), мы видим, что отрезок $AC$ включает в себя точки $A, B, C$ и все точки между ними. Точка $D$ находится левее точки $A$, то есть вне отрезка $AC$. Следовательно, точка $D$ не лежит между точками $A$ и $C$. Утверждение верно.

Ответ: верно.

4) Точки D и С лежат на одном и том же луче с началом в точке В.

Из точки $B$ на прямой исходят два луча в противоположных направлениях. Один луч, $BC$, начинается в точке $B$ и проходит через точку $C$ (направлен вправо). Другой луч, $BD$, начинается в точке $B$ и проходит через точку $D$ (направлен влево). Поскольку точки $D$ и $C$ находятся по разные стороны от точки $B$, они лежат на разных, противоположно направленных лучах с началом в точке $B$. Утверждение неверно.

Ответ: неверно.

18 АНАЛИЗИРУЕМ

Проведите прямую и отметьте на ней точки $A$ и $B$. Отметьте на прямой $AB$ точку $C$ так, чтобы она принадлежала отрезку $AB$; точку $D$ так, чтобы она не принадлежала отрезку $AB$.

19 Перечертите в тетрадь ломаную (рис. 1.16). Запишите её звенья.

20

СТРОИМ ПО АЛГОРИТМУ

1) Что такое алгоритм? Найдите в словаре значение этого слова.

2) Постройте в тетради ломаную по следующему алгоритму:

Шаг 1. Отметьте в одном из узлов квадрат-

Рис. 1.16

18. Проведем прямую и отметим на ней две различные точки $A$ и $B$. Часть прямой, заключенная между точками $A$ и $B$, включая сами точки, называется отрезком $AB$.
1. Чтобы точка $C$ принадлежала отрезку $AB$, она должна быть расположена между точками $A$ и $B$ или совпадать с одной из них.
2. Чтобы точка $D$ не принадлежала отрезку $AB$, она должна лежать на той же прямой, но вне этого отрезка (например, левее точки $A$ или правее точки $B$, если считать, что $A$ находится левее $B$).
Пример возможного расположения точек на прямой:
... D ... A ... C ... B ...
В этом примере точка $C$ принадлежит отрезку $AB$, а точка $D$ не принадлежит ему.
Ответ: Точка $C$ должна быть расположена между точками $A$ и $B$ или совпадать с одной из них. Точка $D$ должна быть расположена на прямой $AB$, но не между точками $A$ и $B$.

19. Ломаная, представленная на рисунке 1.16, — это ломаная $ABCD$. Она состоит из отрезков, которые называются звеньями. Звенья этой ломаной соединяют последовательно ее вершины: $A$, $B$, $C$ и $D$.
Звеньями данной ломаной являются следующие отрезки: $AB$, $BC$ и $CD$.
Ответ: Звенья ломаной: $AB, BC, CD$.

20. 1) Алгоритм — это точная, пошаговая инструкция или набор правил, созданный для выполнения определенной задачи или решения проблемы. Каждый шаг в алгоритме должен быть четким и однозначным, а их последовательное выполнение должно приводить к ожидаемому результату за конечное время.
Ответ: Алгоритм — это конечная последовательность точно определённых действий, выполнение которых приводит к решению поставленной задачи за конечное число шагов.

2) Задание для построения ломаной по алгоритму приведено не полностью. Текст обрывается на первом шаге: «Шаг 1. Отметьте в одном из узлов квадрат-…». Для того чтобы построить ломаную, необходимо знать все шаги алгоритма.
Ответ: Решить задачу невозможно, так как условие приведено не полностью.

19 Перечертите в тетрадь ломаную (рис. 1.16). Запишите её звенья.

Поскольку изображение ломаной с рисунка 1.16 не предоставлено, задача будет решена на примере гипотетической ломаной. Ломаная линия — это фигура, состоящая из отрезков, соединенных последовательно. Эти отрезки и называются звеньями ломаной.

Предположим, нам дана ломаная с вершинами в точках $A$, $B$, $C$, $D$. Такую ломаную можно обозначить как $ABCD$.

Звеньями ломаной являются отрезки, которые соединяют её соседние вершины. Для ломаной $ABCD$ звеньями будут:

1. Отрезок $AB$ (первое звено).
2. Отрезок $BC$ (второе звено).
3. Отрезок $CD$ (третье звено).

Ответ: Звенья ломаной $ABCD$ — это отрезки $AB$, $BC$, $CD$.

20 Строим по алгоритму

1) Что такое алгоритм? Найдите в словаре значение этого слова.

2) Постройте в тетради ломаную по следующему алгоритму:

Шаг 1. Отметьте в одном из узлов квадратной сетки точку $A$.

Шаг 2. От точки $A$ отсчитайте 7 клеток влево и 1 клетку вниз. Отметьте точку $B$.

Шаг 3. От точки $B$ отсчитайте 5 клеток вправо и 3 клетки вниз. Отметьте точку $C$.

Шаг 4. От точки $C$ отсчитайте 3 клетки вправо и 6 клеток вверх. Отметьте точку $O$.

Шаг 5. Соедините точки по линейке в том порядке, в котором вы их строили.

Рис. 1.16 $D$

3) Начертите в тетради ломаную с вершинами в узлах сетки и продиктуйте её соседу по парте. Сравните построенные вами ломаные.

1) Что такое алгоритм? Найдите в словаре значение этого слова.

Алгоритм — это конечная совокупность точно заданных правил и инструкций, описывающая последовательность операций для решения определённой задачи. Проще говоря, это пошаговый план действий, который гарантированно приводит к желаемому результату.

Например, кулинарный рецепт, инструкция по сборке мебели или правила перехода улицы — всё это бытовые примеры алгоритмов.

В словаре можно найти такое определение: "АЛГОРИТМ — система операций, применяемых по строго определённым правилам, которая после последовательного их выполнения приводит к решению поставленной задачи".

Ответ: Алгоритм — это точный и понятный набор инструкций для исполнителя, описывающий последовательность действий для достижения определённой цели или решения задачи.

2) Постройте в тетради ломаную по следующему алгоритму:

Для построения ломаной в тетради на клетчатой бумаге, будем следовать инструкции шаг за шагом. Мы можем описать положение точек с помощью координат, где первая координата (x) отвечает за смещение по горизонтали, а вторая (y) — по вертикали. Пусть смещение на 1 клетку вправо увеличивает x на 1, а смещение на 1 клетку вверх увеличивает y на 1.

• Шаг 1. Отметим в произвольном узле сетки точку $A$. Её положение на листе не имеет значения, так как все остальные точки будут строиться относительно неё. Пусть её координаты будут $A(x_A, y_A)$.

• Шаг 2. От точки $A$ отсчитаем 7 клеток влево и 1 клетку вниз. Смещение влево на 7 клеток означает, что координата $x$ уменьшится на 7. Смещение вниз на 1 клетку означает, что координата $y$ уменьшится на 1. Получаем точку $B$ с координатами $B(x_A - 7, y_A - 1)$.

• Шаг 3. От точки $B$ отсчитаем 5 клеток вправо и 3 клетки вниз. Координата $x$ точки $B$ увеличится на 5, а координата $y$ уменьшится на 3. Получаем точку $C$ с координатами: $C((x_A - 7) + 5, (y_A - 1) - 3)$, что равно $C(x_A - 2, y_A - 4)$.

• Шаг 4. От точки $C$ отсчитаем 3 клетки вправо и 6 клеток вверх. Координата $x$ точки $C$ увеличится на 3, а координата $y$ увеличится на 6. Получаем точку $O$ с координатами: $O((x_A - 2) + 3, (y_A - 4) + 6)$, что равно $O(x_A + 1, y_A + 2)$.

• Шаг 5. Соединим точки линейкой в том порядке, в котором мы их строили: сначала отрезок $AB$, затем $BC$, затем $CO$.

В результате мы получим ломаную линию, состоящую из трёх звеньев (отрезков), которая не зависит от начального выбора точки $A$. Её форма и размеры всегда будут одинаковы.

Ответ: Построена ломаная $ABCO$ с тремя звеньями, координаты вершин которой, относительно начальной точки $A(x_A, y_A)$, равны $B(x_A - 7, y_A - 1)$, $C(x_A - 2, y_A - 4)$ и $O(x_A + 1, y_A + 2)$.

3) Начертите в тетради ломаную с вершинами в узлах сетки и продиктуйте её соседу по парте. Сравните построенные вами ломаные.

Это задание предполагает творческий подход. Сначала нужно придумать свой собственный алгоритм для построения ломаной, а затем сравнить результат его выполнения с результатом соседа.

Пример алгоритма для новой ломаной (назовём её $PQRS$):

1. Шаг 1. Отметьте в произвольном узле сетки точку $P$.

2. Шаг 2. От точки $P$ отсчитайте 4 клетки вправо и 3 клетки вверх. Отметьте точку $Q$.

3. Шаг 3. От точки $Q$ отсчитайте 1 клетку вправо и 5 клеток вниз. Отметьте точку $R$.

4. Шаг 4. От точки $R$ отсчитайте 6 клеток влево и 1 клетку вверх. Отметьте точку $S$.

5. Шаг 5. Соедините точки по линейке в порядке $P, Q, R, S$.

Сравнение построенных ломаных:

После того, как вы продиктуете свой алгоритм соседу и он построит ломаную (а вы построите свою по этому же алгоритму), необходимо сравнить полученные фигуры.

Если и вы, и ваш сосед точно следовали одному и тому же алгоритму, то построенные вами ломаные линии будут абсолютно одинаковыми (равными). Они могут находиться в разных местах на листе бумаги, так как начальная точка $P$ выбиралась произвольно, но их форма, длина звеньев и углы между звеньями будут совпадать. Если вырезать одну ломаную и наложить на другую, они полностью совпадут.

Ответ: Если два человека выполняют один и тот же алгоритм построения фигуры, они получают равные фигуры, которые могут отличаться только своим расположением на плоскости.

21 Начертите в тетради:

а) замкнутую ломаную, состоящую из трёх звеньев;

б) незамкнутую ломаную, состоящую из четырёх звеньев.

а) Замкнутая ломаная — это такая ломаная линия, у которой начало и конец совпадают. Чтобы начертить замкнутую ломаную из трёх звеньев, нужно взять три точки, не лежащие на одной прямой, и последовательно соединить их отрезками. Например, возьмём точки $A$, $B$ и $C$. Соединяем отрезком точку $A$ с $B$, затем $B$ с $C$, и, наконец, $C$ с $A$. Полученная фигура является треугольником. Таким образом, любая замкнутая ломаная из трёх звеньев — это треугольник.

Ответ:

б) Незамкнутая ломаная — это ломаная линия, у которой начало и конец не совпадают. Чтобы начертить незамкнутую ломаную из четырёх звеньев, нужно взять пять точек и последовательно соединить их четырьмя отрезками. Например, возьмём точки $A$, $B$, $C$, $D$ и $E$. Соединим точку $A$ с $B$ (первое звено), $B$ с $C$ (второе звено), $C$ с $D$ (третье звено) и $D$ с $E$ (четвёртое звено). Начало ломаной находится в точке $A$, а конец — в точке $E$. Так как точки $A$ и $E$ не совпадают, ломаная является незамкнутой.

Ответ: