Страница 16 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

37 ИССЛЕДУЕМ

Из точки А в точку С (рис. 1.25) ведут три пути: по отрезку АС, по ломаной ADC, по ломаной АВС. Какой путь самый короткий? Сделайте вывод, какой путь длиннее: по ломаной или по отрезку, соединяющему концы ломаной.

38 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ

Представьте, что на вашей линейке со временем стёрлись все деления, кроме трёх: 0, 3 и 10 (рис. 1.26). Как с помощью одной лишь этой линейки построить

Рис. 1.25

Исследуем

Для решения этой задачи воспользуемся свойством, известным как неравенство треугольника: сумма длин двух любых сторон треугольника всегда больше длины третьей стороны.

Рассмотрим три предложенных пути из точки А в точку С:

1. Путь по отрезку АС. Его длина равна $AC$.
2. Путь по ломаной ADC. Его длина равна сумме длин отрезков AD и DC, то есть $AD + DC$. Точки A, D, C образуют треугольник ADC, поэтому согласно неравенству треугольника: $AD + DC > AC$.
3. Путь по ломаной ABC. Его длина равна сумме длин отрезков AB и BC, то есть $AB + BC$. Точки A, B, C образуют треугольник ABC, поэтому: $AB + BC > AC$.

Сравнивая длины всех трех путей, мы видим, что длина отрезка AC меньше длины ломаной ADC и меньше длины ломаной ABC. Следовательно, самый короткий путь — это путь по отрезку AC.

Вывод: Путь по ломаной линии всегда длиннее, чем путь по отрезку, соединяющему концы этой ломаной.

Ответ: Самый короткий путь - по отрезку AC. Путь по ломаной всегда длиннее пути по отрезку, соединяющему ее концы.

Практическая ситуация

Имея линейку с отметками 0, 3 и 10, мы можем напрямую измерять отрезки следующей длины (в условных единицах):

• От 0 до 3: длина 3.
• От 0 до 10: длина 10.
• От 3 до 10: длина $10 - 3 = 7$.

Используя эти три базовые длины (3, 7 и 10), можно построить отрезки других длин. Это делается путем последовательного откладывания отрезков на прямой (сложение длин) или откладывания одного отрезка на другом в противоположном направлении (вычитание длин).

Приведем несколько примеров построения:

• Как построить отрезок длиной 4:
  1. Проводим прямую и отмечаем на ней точку А.
  2. От точки А откладываем отрезок АВ длиной 7.
  3. От точки В откладываем в обратном направлении (в сторону точки А) отрезок ВС длиной 3.
  4. Полученный отрезок АС будет иметь длину $7 - 3 = 4$.
• Как построить отрезок длиной 6:
  1. Проводим прямую и отмечаем на ней точку А.
  2. От точки А откладываем отрезок АВ длиной 3.
  3. От точки В откладываем в том же направлении отрезок ВС длиной 3.
  4. Полученный отрезок АС будет иметь длину $3 + 3 = 6$.
• Как построить отрезок длиной 1:
  1. Проводим прямую и отмечаем на ней точку А.
  2. От точки А откладываем отрезок АВ длиной 7.
  3. От точки В откладываем в обратном направлении отрезок ВС длиной 3. Получаем отрезок АС длиной 4.
  4. От точки С откладываем в обратном направлении отрезок CD длиной 3.
  5. Полученный отрезок AD будет иметь длину $7 - 3 - 3 = 1$.
• Как построить отрезок длиной 2:
  1. Проводим прямую и отмечаем на ней точку А.
  2. Последовательно откладываем от точки А три отрезка по 3 единицы, получая точку B на расстоянии 9 от А ($3+3+3=9$).
  3. От точки B откладываем в обратном направлении отрезок BC длиной 7.
  4. Полученный отрезок AC будет иметь длину $9 - 7 = 2$.

Таким образом, комбинируя имеющиеся длины, можно построить отрезки множества других длин.

Ответ: С помощью линейки можно напрямую отмерить длины 3, 7 и 10. Комбинируя эти длины путем сложения (откладывая отрезки последовательно в одном направлении) и вычитания (откладывая отрезки в противоположных направлениях), можно построить отрезки других длин, например, 1, 2, 4, 5, 6, 8, 9 и так далее.

38 ПРАКТИЧЕСКАЯ СИТУАЦИЯ

Представьте, что на вашей линейке со временем стёрлись все деления, кроме трёх: 0, 3 и 10 (рис. 1.26). Как с помощью одной лишь этой линейки построить отрезок длиной 4 см? 2 см? 5 см? Ответ дайте в виде числового выражения. Подсказка. Вырежите модель такой линейки из бумаги.

Рис. 1.25

Рис. 1.26

Имея линейку с отметками 0, 3 и 10, мы можем напрямую измерять и откладывать отрезки следующих длин: 3 см (расстояние между делениями 0 и 3), 10 см (расстояние между 0 и 10) и 7 см (расстояние между 3 и 10). Для построения отрезков других длин необходимо комбинировать эти известные длины с помощью операций сложения и вычитания.

4 см
Чтобы получить отрезок длиной 4 см, нужно из отрезка длиной 7 см вычесть отрезок длиной 3 см. Сначала строим отрезок в 7 см (используя деления 3 и 10), а затем от одного из его концов откладываем в обратном направлении отрезок в 3 см (используя деления 0 и 3). Оставшаяся часть и будет искомым отрезком.
Ответ: $(10-3)-3=4$ см.

2 см
Чтобы построить отрезок длиной 2 см, можно сначала построить отрезок длиной 12 см, для чего последовательно отложить четыре раза отрезок по 3 см. Затем из полученного отрезка вычесть (отложить в обратном направлении) отрезок длиной 10 см.
Ответ: $3+3+3+3-10=2$ см.

5 см
Чтобы построить отрезок длиной 5 см, можно сначала построить отрезок длиной 15 см, последовательно отложив пять раз отрезок по 3 см. Затем из этого отрезка вычесть отрезок длиной 10 см.
Ответ: $3+3+3+3+3-10=5$ см.

39 1) Отрезок AB в 2 раза длиннее отрезка KM (рис. 1.27). Это можно записать так: $AB = 2KM$. Запишите с помощью равенства: отрезок OC в 4 раза длиннее отрезка EK; отрезок CD в 4 раза короче отрезка MK.

2) Во сколько раз отрезок AB длиннее отрезка KM, если: а) $AB = 3KM$; б) $AB = 5KM$; в) $AB = 10KM$? Начертите пару отрезков, удовлетворяющих этому условию.

3) Измерьте отрезок AB, взяв в качестве единицы измерения отрезок CD; отрезок EF (рис. 1.28). Запишите ответ.

4) Отрезок AB измерили отрезком CD и получили, что $AB = 10CD$. Чему равна длина отрезка AB, если $CD = 3 \text{ см } 5 \text{ мм}$?

5) Известно, что $AB = 10 \text{ см}$, $CD = 5 \text{ мм}$. Запишите результат, который получится, если отрезок AB измерить отрезком CD.

1)

Чтобы записать отношения длин отрезков в виде равенств, нужно перевести словесное описание в математическую форму.

"Отрезок ОС в 4 раза длиннее отрезка ЕК" означает, что длина отрезка ОС равна длине отрезка ЕК, умноженной на 4. Это можно записать как: $OC = 4 \cdot EK$

"Отрезок CD в 4 раза короче отрезка МК" означает, что длина отрезка МК в 4 раза больше длины отрезка CD, то есть длину CD нужно умножить на 4, чтобы получить длину МК. Это можно записать как: $MK = 4 \cdot CD$

Ответ: $OC = 4 \cdot EK$; $MK = 4 \cdot CD$.

2)

Равенство вида $AB = k \cdot KM$ показывает, во сколько раз отрезок AB длиннее отрезка KM. Коэффициент $k$ и есть искомое число.

а) Если $AB = 3KM$, то отрезок AB длиннее отрезка KM в 3 раза.

б) Если $AB = 5KM$, то отрезок AB длиннее отрезка KM в 5 раз.

в) Если $AB = 10KM$, то отрезок AB длиннее отрезка KM в 10 раз.

Чтобы начертить пару отрезков, удовлетворяющих, например, условию а), можно взять любую удобную длину для отрезка KM (например, 2 см) и начертить отрезок AB, длина которого будет в 3 раза больше (т.е. $2 \text{ см} \cdot 3 = 6 \text{ см}$).

Ответ: а) в 3 раза; б) в 5 раз; в) в 10 раз.

3)

Для выполнения этого задания необходимы рисунки (рис. 1.27 и рис. 1.28), на которых изображены отрезки AB, CD и EF. Так как эти рисунки отсутствуют, измерить отрезки и дать ответ невозможно.

Ответ: Невозможно дать ответ, так как отсутствуют необходимые рисунки.

4)

По условию, $AB = 10CD$ и $CD = 3$ см $5$ мм. Сначала выразим длину отрезка CD в одной единице измерения, например, в миллиметрах. Так как $1$ см $= 10$ мм, то $3$ см $= 3 \cdot 10 = 30$ мм. Тогда $CD = 30$ мм $+ 5$ мм $= 35$ мм. Теперь найдем длину отрезка AB: $AB = 10 \cdot CD = 10 \cdot 35$ мм $= 350$ мм. Переведем результат в сантиметры: $350$ мм $= 35$ см.

Ответ: 35 см.

5)

Известно, что $AB = 10$ см и $CD = 5$ мм. "Измерить отрезок AB отрезком CD" означает найти, сколько раз отрезок CD помещается в отрезке AB. Для этого нужно найти отношение их длин. Сначала приведем длины к одной единице измерения, например, к миллиметрам. $AB = 10$ см $= 10 \cdot 10$ мм $= 100$ мм. $CD = 5$ мм. Теперь найдем отношение: $\frac{AB}{CD} = \frac{100 \text{ мм}}{5 \text{ мм}} = 20$. Это означает, что отрезок AB в 20 раз длиннее отрезка CD, или $AB = 20CD$. Результат измерения - число 20.

Ответ: 20.

40 Пусть отрезок $KM$ (см. рис. 1.27) изображает 10 м. Чему равна длина отрезка $AB$? Начертите отрезок, соответствующий 60 м, 5 м, 45 м.

Для решения задачи необходимо определить масштаб, используя данные об отрезке KM. В условии сказано, что отрезок KM изображает 10 м. На соответствующем рисунке 1.27 (из учебника) видно, что отрезок KM состоит из 2 единичных отрезков (клеток), а отрезок AB — из 5 таких же единичных отрезков.

1. Найдем, какой реальной длине соответствует одна клетка. Разделим длину, которую изображает отрезок KM, на количество клеток в нем:

$10 \text{ м} \div 2 \text{ клетки} = 5 \text{ м/клетка}$

Таким образом, масштаб составляет 5 метров на одну клетку.

Чему равна длина отрезка AB?

Отрезок AB на рисунке состоит из 5 клеток. Чтобы найти его реальную длину, умножим количество клеток на установленный масштаб:

$5 \text{ клеток} \times 5 \text{ м/клетка} = 25 \text{ м}$

Ответ: Длина отрезка AB равна 25 м.

Начертите отрезок, соответствующий 60 м, 5 м, 45 м.

Чтобы начертить отрезки, соответствующие заданным длинам, нужно рассчитать, сколько клеток должен занимать каждый отрезок, используя найденный масштаб (1 клетка = 5 м).

Длина отрезка, соответствующего 60 м, в клетках:

$60 \text{ м} \div 5 \text{ м/клетка} = 12 \text{ клеток}$

Длина отрезка, соответствующего 5 м, в клетках:

$5 \text{ м} \div 5 \text{ м/клетка} = 1 \text{ клетка}$

Длина отрезка, соответствующего 45 м, в клетках:

$45 \text{ м} \div 5 \text{ м/клетка} = 9 \text{ клеток}$

Ответ: Для изображения длин 60 м, 5 м и 45 м нужно начертить отрезки длиной 12 клеток, 1 клетку и 9 клеток соответственно.

АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ (41–42)

41 Постройте отрезок $AB$. Отметьте на глаз точку $C$ — середину отрезка $AB$, а затем точки $D$ и $E$ — середины отрезков $AC$ и $CB$. Вы получили схематический рисунок к задаче: «Точка $C$ — середина отрезка $AB$, а точки $D$ и $E$ — середины отрезков $AC$ и $CB$. Найдите длины отрезков $DE$ и $AB$, если $AD = 3$ см». Решите задачу.

Рис. 1.27

$AB = 2KM$

Рис. 1.28

Для решения задачи воспользуемся данными и определением середины отрезка.

1. По условию, точка D является серединой отрезка AC. Это означает, что отрезки AD и DC равны между собой.

$AD = DC$

Так как нам известно, что длина отрезка $AD = 3$ см, то и длина отрезка $DC$ также равна 3 см.

$DC = 3$ см

2. Длина отрезка AC равна сумме длин составляющих его отрезков AD и DC.

$AC = AD + DC = 3 \text{ см} + 3 \text{ см} = 6 \text{ см}$

3. По условию, точка C является серединой отрезка AB. Это означает, что отрезки AC и CB равны между собой.

$AC = CB$

Поскольку мы уже вычислили, что $AC = 6$ см, то и $CB = 6$ см.

4. Теперь мы можем найти общую длину отрезка AB, которая является суммой длин отрезков AC и CB.

$AB = AC + CB = 6 \text{ см} + 6 \text{ см} = 12 \text{ см}$

5. Для нахождения длины отрезка DE, нам нужно знать длины отрезков DC и CE. Длина DC нам уже известна ($DC=3$ см). Найдем длину CE. По условию, точка E является серединой отрезка CB.

$CE = CB / 2 = 6 \text{ см} / 2 = 3 \text{ см}$

6. Длина отрезка DE равна сумме длин отрезков DC и CE.

$DE = DC + CE = 3 \text{ см} + 3 \text{ см} = 6 \text{ см}$

Ответ: длина отрезка DE равна 6 см, а длина отрезка AB равна 12 см.