Страница 20 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

51 Ищем способ копирования

1) Скопируйте в тетрадь рисунок 1.34.

2) Рассмотрите рисунок. Выберите верные утверждения.

а) Центры окружностей лежат на одной прямой.

б) Окружности имеют общий центр.

в) Радиусы окружностей равны 10, 15 и 20 мм.

г) Все окружности проходят через одну точку.

52

1) Длину окружности приближённо можно найти, умножив её радиус на 6.

а) Центры окружностей лежат на одной прямой.

Рассмотрим рисунок. Все три окружности касаются друг друга внутренним образом в одной точке. Если провести прямую через центры двух любых из этих окружностей, она также пройдет через точку их касания. Поскольку все окружности касаются в одной и той же точке, все их центры должны лежать на одной прямой, проходящей через эту точку. Можно также ввести систему координат. Пусть общая точка касания находится в начале координат $(0, 0)$, а линия центров совпадает с осью Ox. Из рисунка видно, что радиусы окружностей равны 1, 2 и 3 клеткам соответственно. Тогда центры окружностей будут иметь координаты $(1, 0)$, $(2, 0)$ и $(3, 0)$ (если считать, что одна клетка равна единице длины). Все эти точки лежат на оси Ox, которая является прямой. Следовательно, утверждение верно.

Ответ: верно.

б) Окружности имеют общий центр.

Как мы определили в предыдущем пункте, центры окружностей находятся в точках с координатами $(1, 0)$, $(2, 0)$ и $(3, 0)$. Это разные точки. Окружности, имеющие общий центр, называются концентрическими. На рисунке изображены не концентрические окружности. Следовательно, утверждение неверно.

Ответ: неверно.

в) Радиусы окружностей равны 10, 15 и 20 мм.

Из рисунка видно, что радиусы окружностей соотносятся как $1:2:3$. Пусть радиус наименьшей окружности равен $r$. Тогда радиусы средней и наибольшей окружностей равны $2r$ и $3r$ соответственно. В утверждении предлагаются значения 10 мм, 15 мм и 20 мм. Проверим их соотношение: $10:15:20$. Сократив все числа на 5, получим соотношение $2:3:4$. Так как соотношение радиусов на рисунке ($1:2:3$) не совпадает с соотношением в утверждении ($2:3:4$), данное утверждение неверно.

Ответ: неверно.

г) Все окружности проходят через одну точку.

На рисунке видно, что все три окружности касаются друг друга в одной точке слева. Эта точка является общей для всех трех окружностей. Следовательно, все окружности проходят через одну общую точку. Утверждение верно.

Ответ: верно.

Таким образом, верными являются утверждения а) и г).

52 1) Длину окружности приближённо можно найти, умножив её радиус на 6. Начертите окружность радиусом 2 см и найдите длину окружности двумя способами: измерением и вычислением. Сравните результаты.

2) Как можно приближённо вычислить длину окружности, если известен её диаметр?

1)

Сначала необходимо начертить окружность. Для этого с помощью циркуля и линейки отмеряем 2 см, что будет радиусом, и чертим окружность.

Нахождение длины окружности измерением:
Возьмем гибкую нить и аккуратно уложим ее вдоль начерченной линии окружности так, чтобы начало и конец нити совпали. Затем распрямим нить и измерим ее длину с помощью линейки. В результате измерения получится значение, близкое к 12,6 см.

Нахождение длины окружности вычислением:
Согласно условию задачи, для приближенного вычисления длины окружности ($C$) необходимо ее радиус ($r$) умножить на 6. Радиус равен 2 см.
$C \approx r \cdot 6 = 2 \text{ см} \cdot 6 = 12 \text{ см}$.

Сравнение результатов:
Результат, полученный измерением (около 12,6 см), и результат, полученный вычислением по предложенной формуле (12 см), являются близкими. Разница в значениях объясняется тем, что умножение радиуса на 6 — это грубое приближение. Более точная формула для вычисления длины окружности: $C = 2 \pi r$, где число $\pi \approx 3,14159...$. Используя это значение, получаем: $C = 2 \cdot \pi \cdot 2 \approx 12,57$ см. Этот результат очень близок к тому, который мы получаем при измерении нитью.

Ответ: Длина окружности, найденная измерением, составляет примерно 12,6 см. Длина окружности, найденная вычислением, равна 12 см. Результаты близки, при этом измерение дает более точное значение.

2)

Известно, что диаметр окружности ($d$) в два раза больше ее радиуса ($r$), то есть $d = 2r$. Из этого соотношения можно выразить радиус через диаметр: $r = \frac{d}{2}$.

В первой части задачи была дана приближенная формула для вычисления длины окружности ($C$): $C \approx 6r$.

Чтобы найти, как можно вычислить длину окружности через диаметр, подставим в эту формулу выражение для радиуса $r = \frac{d}{2}$:

$C \approx 6 \cdot (\frac{d}{2}) = 3d$.

Следовательно, для приближенного вычисления длины окружности можно умножить ее диаметр на 3.

Ответ: Чтобы приближённо вычислить длину окружности, если известен её диаметр, нужно этот диаметр умножить на 3.

53 ИЩЕМ ИНФОРМАЦИЮ

Глобус Земли — это вращающаяся модель земного шара с его картографическим изображением. Как называются окружности, нанесённые на глобус?

Окружности, нанесённые на глобус, являются воображаемыми линиями и образуют так называемую градусную сетку. Она необходима для определения географических координат (широты и долготы) любой точки на поверхности Земли. Эти линии делятся на два типа.

Параллели — это линии, проведённые параллельно экватору. Экватор является самой длинной параллелью (окружностью) и делит Землю на Северное и Южное полушария. Все точки на одной параллели имеют одинаковую географическую широту.

Меридианы — это линии (полуокружности), которые соединяют Северный и Южный полюсы. Все меридианы имеют одинаковую длину. За точку отсчёта (нулевой меридиан) принят Гринвичский меридиан. Меридианы показывают географическую долготу. Каждый меридиан вместе с противоположным ему 180-м меридианом образует полную окружность.

Помимо экватора, меридианов и параллелей, на глобус также наносят важные параллели: Северный и Южный тропики, а также Северный и Южный полярные круги.

Ответ: Окружности, нанесённые на глобус, называются параллелями и меридианами. Главная параллель — это экватор.

54 АНАЛИЗИРУЕМ И РАССУЖДАЕМ

Отметьте в тетради точки $A$ и $B$. Измерьте расстояние между ними. Начертите окружность с центром в точке $A$, проходящую через точку $B$. Начертите окружность с центром в точке $B$, проходящую через точку $A$. Чему равен радиус каждой из окружностей? Каково расстояние от точек пересечения окружностей до их центров?

Выполним пошагово все действия, описанные в задаче.

1. Отметим в тетради две произвольные точки $A$ и $B$.
2. Измерим расстояние между ними с помощью линейки. Пусть это расстояние равно $d$. Таким образом, длина отрезка $AB = d$.
3. Начертим окружность с центром в точке $A$, которая проходит через точку $B$. По определению, радиус окружности — это расстояние от ее центра до любой точки на окружности. Так как центр окружности — точка $A$, а точка $B$ лежит на ней, то радиус первой окружности $R_1$ равен длине отрезка $AB$. То есть, $R_1 = AB = d$.
4. Начертим вторую окружность с центром в точке $B$, которая проходит через точку $A$. Аналогично, радиус второй окружности $R_2$ равен расстоянию от ее центра (точка $B$) до точки на окружности (точка $A$). Таким образом, $R_2 = BA = AB = d$.

Теперь ответим на поставленные вопросы.

Чему равен радиус каждой из окружностей?

Как мы установили в пунктах 3 и 4, радиус первой окружности (с центром в $A$) равен расстоянию $AB$. Радиус второй окружности (с центром в $B$) равен расстоянию $BA$. Так как расстояние $AB$ равно расстоянию $BA$, то радиусы обеих окружностей равны и их значение равно расстоянию между точками $A$ и $B$.

Ответ: Радиус каждой из окружностей равен расстоянию между точками $A$ и $B$.

Каково расстояние от точек пересечения окружностей до их центров?

Две наши окружности пересекутся в двух точках. Назовем эти точки $C$ и $D$.

Рассмотрим точку пересечения $C$.

• Поскольку точка $C$ лежит на первой окружности (с центром в $A$), расстояние от центра $A$ до точки $C$ равно радиусу этой окружности. То есть, $AC = R_1 = AB$.
• Поскольку точка $C$ также лежит на второй окружности (с центром в $B$), расстояние от центра $B$ до точки $C$ равно радиусу этой окружности. То есть, $BC = R_2 = AB$.

Таким образом, расстояние от точки пересечения $C$ до центра $A$ равно $AB$, и расстояние от точки $C$ до центра $B$ тоже равно $AB$.

Аналогичные рассуждения верны и для второй точки пересечения $D$: расстояние $AD = AB$ и $BD = AB$.

Следовательно, расстояние от любой из точек пересечения до любого из центров ($A$ или $B$) равно первоначальному расстоянию между точками $A$ и $B$.

Ответ: Расстояние от точек пересечения окружностей до их центров равно радиусу этих окружностей, то есть расстоянию между точками $A$ и $B$.

55 1) Начертите в тетради отрезок AB длиной 3 см. Проведите окружность с центром в точке A радиусом 2 см. Проведите окружность с центром в точке B радиусом 2 см 5 мм. Одну из точек пересечения окружностей обозначьте буквой C. Чему равно расстояние от точки C до точки A? до точки B?

2) Начертите отрезок AB, равный 6 см. Найдите две точки, которые находятся на расстоянии 4 см от точки A и 5 см от точки B.

Старейший глобус

(Нюрнберг, 1492 г.)

1)

Согласно условию, точка С является одной из точек пересечения двух окружностей.
Первая окружность построена с центром в точке A и радиусом $R_A = 2$ см. Так как точка С лежит на этой окружности, по определению окружности, расстояние от неё до центра A равно радиусу.
Следовательно, расстояние от точки С до точки А равно 2 см.
Вторая окружность построена с центром в точке B и радиусом $R_B = 2$ см 5 мм, что равно 2,5 см. Точка C также принадлежит этой окружности, поэтому расстояние от неё до центра B равно радиусу второй окружности.
Следовательно, расстояние от точки С до точки B равно 2,5 см.
Ответ: Расстояние от точки С до точки А равно 2 см, а до точки B — 2 см 5 мм (2,5 см).

2)

Чтобы найти точки, которые находятся на определённых расстояниях от концов отрезка A и B, необходимо использовать метод геометрических мест точек.
1. Множество всех точек, удалённых от точки A на 4 см, представляет собой окружность с центром в точке A и радиусом $R_A = 4$ см.
2. Множество всех точек, удалённых от точки B на 5 см, представляет собой окружность с центром в точке B и радиусом $R_B = 5$ см.
Точки, которые удовлетворяют обоим условиям одновременно, являются точками пересечения этих двух окружностей.
Для их нахождения нужно выполнить следующее построение:
• Начертить отрезок AB длиной 6 см.
• Из точки A как из центра с помощью циркуля провести дугу окружности радиусом 4 см.
• Из точки B как из центра провести дугу окружности радиусом 5 см.
Эти дуги пересекутся в двух точках. Данные точки и будут искомыми, так как они одновременно принадлежат обеим окружностям и, следовательно, находятся на расстоянии 4 см от точки A и 5 см от точки B. Окружности пересекутся, так как расстояние между их центрами (6 см) меньше суммы их радиусов ($4 \text{ см} + 5 \text{ см} = 9 \text{ см}$) и больше их разности ($5 \text{ см} - 4 \text{ см} = 1 \text{ см}$).
Ответ: Искомые две точки — это точки пересечения окружности с центром в A и радиусом 4 см и окружности с центром в B и радиусом 5 см.