Страница 27 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

66 1) Сколько различных цифр использовано в записи числа 30 350 500 000?

2) Можно ли записать восьмизначное число, используя только одну цифру? Если можно, приведите пример.

3) Сколько чисел можно записать, используя только цифры 3 и 7? Приведите примеры таких чисел.

1) Для того чтобы определить, сколько различных цифр использовано в записи числа 30 350 500 000, выпишем все цифры, которые в нем встречаются. Это цифры 3, 0 и 5. Других цифр в записи этого числа нет. Таким образом, в записи числа использовано 3 различные цифры.

Ответ: 3.

2) Да, можно записать восьмизначное число, используя только одну цифру. Важным условием для многозначного числа является то, что его первая цифра не может быть нулем. Следовательно, мы можем использовать любую цифру от 1 до 9. Например, если взять цифру 2, то восьмизначное число будет 22 222 222. Другой пример, с цифрой 9: 99 999 999.

Ответ: Да, можно. Например, 22 222 222.

3) В вопросе не указано ограничение на количество знаков (разрядность) в числе. Мы можем составлять числа из цифр 3 и 7 любой длины. Например, можно составить однозначные числа (3, 7), двузначные (33, 37, 73, 77), трехзначные (333, 337, 373, 773, и т.д.) и так далее. Для любого количества знаков $n$ можно составить $2^n$ различных чисел. Поскольку количество знаков в числе не ограничено, мы можем продолжать этот процесс бесконечно. Следовательно, можно записать бесконечно много чисел, используя только цифры 3 и 7.

Примеры таких чисел: 3, 7, 37, 77, 333, 737, 3737.

Ответ: Бесконечно много.

67 ИЩЕМ ЗАКОНОМЕРНОСТЬ Придумайте правило, по которому можно продолжить последовательность чисел, запишите четыре следующих числа и прочитайте их:

а) 3; 33; 333; ...;

б) 20; 202; 2020; ...;

в) 10; 1010; 101010; ... .

а)

Данная последовательность: 3; 33; 333; ...

Правило: Каждое следующее число в последовательности получается путем добавления цифры "3" в конец предыдущего числа. Другими словами, n-ое число в последовательности состоит из n цифр "3". Математически это можно выразить рекуррентной формулой $a_n = a_{n-1} \times 10 + 3$, где $a_1 = 3$.

Следующие четыре числа последовательности:

• Четвертое число: 3333 (три тысячи триста тридцать три)
• Пятое число: 33333 (тридцать три тысячи триста тридцать три)
• Шестое число: 333333 (триста тридцать три тысячи триста тридцать три)
• Седьмое число: 3333333 (три миллиона триста тридцать три тысячи триста тридцать три)

Ответ: 3333; 33333; 333333; 3333333.

б)

Данная последовательность: 20; 202; 2020; ...

Правило: Каждое следующее число в последовательности получается путем поочередного добавления в конец предыдущего числа цифр "2" и "0". После 20 добавили "2", получилось 202. Затем к 202 добавили "0", получилось 2020.

Следующие четыре числа последовательности:

• Четвертое число (добавляем "2"): 20202 (двадцать тысяч двести два)
• Пятое число (добавляем "0"): 202020 (двести две тысячи двадцать)
• Шестое число (добавляем "2"): 2020202 (два миллиона двадцать тысяч двести два)
• Седьмое число (добавляем "0"): 20202020 (двадцать миллионов двести две тысячи двадцать)

Ответ: 20202; 202020; 2020202; 20202020.

в)

Данная последовательность: 10; 1010; 101010; ...

Правило: Каждое следующее число в последовательности образуется путем приписывания к предыдущему числу группы цифр "10". Математически это можно записать как $a_n = a_{n-1} \times 100 + 10$, где $a_1 = 10$.

Следующие четыре числа последовательности:

• Четвертое число: 10101010 (десять миллионов сто одна тысяча десять)
• Пятое число: 1010101010 (один миллиард десять миллионов сто одна тысяча десять)
• Шестое число: 101010101010 (сто один миллиард десять миллионов сто одна тысяча десять)
• Седьмое число: 10101010101010 (десять триллионов сто один миллиард десять миллионов сто одна тысяча десять)

Ответ: 10101010; 1010101010; 101010101010; 10101010101010.

68 Запишите и прочитайте:

а) наименьшее четырёхзначное число;

б) наибольшее пятизначное число;

в) наименьшее трёхзначное число, в записи которого нет цифры 0;

г) наибольшее четырёхзначное число, в записи которого нет цифры 9.

а) Чтобы найти наименьшее четырёхзначное число, нужно выбрать наименьшие возможные цифры для каждого разряда, начиная со старшего (тысячи). Первая цифра не может быть нулём, поэтому наименьшая возможная первая цифра — это $1$. Остальные три цифры (сотни, десятки и единицы) могут быть нулями, чтобы число было наименьшим. Таким образом, получаем число $1000$. Читается как "одна тысяча".
Ответ: $1000$ (одна тысяча).

б) Чтобы найти наибольшее пятизначное число, нужно, чтобы в каждом разряде стояла наибольшая возможная цифра, то есть $9$. Число состоит из пяти разрядов, значит, это будет пять девяток подряд: $99999$. Читается как "девяносто девять тысяч девятьсот девяносто девять".
Ответ: $99999$ (девяносто девять тысяч девятьсот девяносто девять).

в) Наименьшее трёхзначное число без цифры $0$ должно состоять из наименьших возможных цифр, отличных от нуля. Наименьшая такая цифра — это $1$. Чтобы число было наименьшим, все его три разряда (сотни, десятки и единицы) должны быть заполнены этой цифрой. Таким образом, получаем число $111$. Читается как "сто одиннадцать".
Ответ: $111$ (сто одиннадцать).

г) Наибольшее четырёхзначное число, в записи которого нет цифры $9$, должно состоять из наибольших возможных цифр, кроме девятки. Наибольшая цифра после девятки — это $8$. Чтобы число было наибольшим, все его четыре разряда должны быть заполнены этой цифрой. Получаем число $8888$. Читается как "восемь тысяч восемьсот восемьдесят восемь".
Ответ: $8888$ (восемь тысяч восемьсот восемьдесят восемь).

69 РАССУЖДАЕМ

1) Сколько всего имеется двузначных чисел? Чтобы выяснить это, будем рассуждать так:

• наибольшее двузначное число — это 99;

• среди чисел от 1 до 99 имеется девять однозначных;

• количество двузначных чисел находим вычитанием: $99 - 9 = 90$.

2) Сколько всего трёхзначных чисел? Рассуждайте по следующему плану:

• определите наибольшее трёхзначное число;

• выясните, сколько всего однозначных и двузначных чисел;

• найдите вычитанием количество трёхзначных чисел.

3) Догадайтесь, сколько всего четырёхзначных чисел. Проверьте себя, проведя подсчёты.

1)

Для нахождения количества двузначных чисел определим наибольшее число, которое может быть записано одной или двумя цифрами — это 99. Следовательно, всего существует 99 натуральных чисел от 1 до 99.

Среди этих чисел 9 являются однозначными (числа от 1 до 9).

Чтобы найти количество только двузначных чисел, нужно из общего количества чисел от 1 до 99 вычесть количество однозначных чисел:

$99 - 9 = 90$

Ответ: 90.

2)

Чтобы найти, сколько всего трёхзначных чисел, будем действовать по предложенному плану:

определите наибольшее трёхзначное число;

Наибольшее трёхзначное число — это 999. Это означает, что существует 999 натуральных чисел, содержащих одну, две или три цифры.

выясните, сколько всего однозначных и двузначных чисел;

Количество однозначных чисел равно 9. Количество двузначных чисел, как мы выяснили в предыдущем пункте, равно 90. Таким образом, общее количество однозначных и двузначных чисел составляет:

$9 + 90 = 99$

найдите вычитанием количество трёхзначных чисел.

Вычтем из общего количества чисел от 1 до 999 (999) количество всех чисел, которые не являются трёхзначными (99):

$999 - 99 = 900$

Ответ: 900.

3)

Основываясь на предыдущих результатах (90 двузначных чисел, 900 трёхзначных), можно предположить, что количество четырёхзначных чисел будет равно 9000.

Проверим это предположение с помощью подсчётов по той же методике:

1. Наибольшее четырёхзначное число — 9999. Это общее количество всех натуральных чисел от 1 до 9999.

2. Количество всех чисел, которые не являются четырёхзначными (то есть однозначные, двузначные и трёхзначные), равно 999 (все числа от 1 до 999).

3. Найдём количество четырёхзначных чисел путём вычитания:

$9999 - 999 = 9000$

Предположение подтвердилось.

Ответ: 9000.

70 ИЩЕМ ЗАКОНОМЕРНОСТЬ

Рассмотрите последовательность фигур (рис. 2.1). Нарисуйте пятую фигуру. Догадайтесь, не делая рисунок, из скольких клеток состоит десятая фигура в этой последовательности.

Рис. 2.1

Для решения задачи сначала найдем закономерность в последовательности фигур.

Проанализируем размеры и количество клеток в каждой из представленных фигур:

• Фигура 1 (n=1): прямоугольник размером 2x2 клетки. Всего $2 \times 2 = 4$ клетки.
• Фигура 2 (n=2): прямоугольник размером 2x3 клетки. Всего $2 \times 3 = 6$ клеток.
• Фигура 3 (n=3): прямоугольник размером 3x3 клетки. Всего $3 \times 3 = 9$ клеток.
• Фигура 4 (n=4): прямоугольник размером 3x4 клетки. Всего $3 \times 4 = 12$ клеток.

Можно заметить две закономерности:

1. Высота фигуры увеличивается на 1 через каждые две фигуры. Высоту $H$ для фигуры с номером $n$ можно найти по формуле: $H(n) = \lfloor \frac{n-1}{2} \rfloor + 2$, где $\lfloor x \rfloor$ — целая часть числа $x$.
2. Для фигур с нечетным номером $n$ ширина равна высоте ($W=H$). Для фигур с четным номером $n$ ширина на единицу больше высоты ($W=H+1$).

Нарисуйте пятую фигуру.

Используем найденную закономерность для фигуры с номером $n=5$.

1. Найдем высоту пятой фигуры:

$H(5) = \lfloor \frac{5-1}{2} \rfloor + 2 = \lfloor \frac{4}{2} \rfloor + 2 = 2 + 2 = 4$ клетки.

2. Так как номер фигуры $n=5$ — нечетный, ее ширина равна высоте:

$W(5) = H(5) = 4$ клетки.

Следовательно, пятая фигура представляет собой квадрат размером 4x4 клетки.

Ответ: Пятая фигура — это квадрат, состоящий из $4 \times 4 = 16$ клеток.

Догадайтесь, не делая рисунок, из скольких клеток состоит десятая фигура в этой последовательности.

Применим ту же закономерность для фигуры с номером $n=10$.

1. Найдем высоту десятой фигуры:

$H(10) = \lfloor \frac{10-1}{2} \rfloor + 2 = \lfloor \frac{9}{2} \rfloor + 2 = \lfloor 4.5 \rfloor + 2 = 4 + 2 = 6$ клеток.

2. Так как номер фигуры $n=10$ — четный, ее ширина на единицу больше высоты:

$W(10) = H(10) + 1 = 6 + 1 = 7$ клеток.

3. Общее количество клеток равно произведению высоты на ширину:

$6 \times 7 = 42$ клетки.

Ответ: Десятая фигура состоит из 42 клеток.

71 НАБЛЮДАЕМ И ИЩЕМ ЗАКОНОМЕРНОСТИ Познакомьтесь со старинной легендой об изобретении шахмат, которая напрямую связана с математикой.

Индийский правитель, желая отблагодарить мудреца – изобретателя шахмат, предложил ему самому выбрать себе награду. Мудрец попросил дать ему за первое поле доски одно пшеничное зерно, за второе – два, за третье – четыре и так далее: за каждое следующее – вдвое больше, чем за предыдущее.

Правитель был удивлён скромной просьбой мудреца. Однако вскоре придворные математики сообщили ему, что выполнить её невозможно. Оказалось, что это количество зёрен фантастически велико: оно записывается числом, содержащим 20 цифр. А общая масса зёрен составляет сотни миллиардов тонн.

Познакомьтесь с последовательностью чисел, «возникающей» согласно легенде на клетках шахматной доски. Для этого сначала изготовьте фрагмент шахматной доски: возьмите альбомный лист бумаги, расположите его горизонтально и начертите на нём первые три ряда клеток, сделав их как можно крупнее. Затем пронумеруйте клетки, двигаясь в каждом ряду слева направо, номер проставляйте в углу. Впишите в каждую клетку, начиная с первой, число, обозначающее соответствующее количество зёрен, и ответьте на вопросы:

1) За какую по счёту клетку количество зёрен впервые превысит 1 тыс.? 100 тыс.? 1 млн? Превысит ли количество зёрен за 26-ю клетку 20 млн?

2) Сравните сумму зёрен за первые две клетки с количеством зёрен за 3-ю клетку; сумму зёрен за первые три клетки с количеством зёрен за 4-ю клетку. Можете ли вы без подсчётов сказать, что больше: количество зёрен за первые десять клеток или количество зёрен за 11-ю клетку – и на сколько?

3) Во сколько раз количество зёрен на 9-й клетке больше числа зёрен на 1-й клетке? на 10-й больше, чем на 2-й? на 11-й больше, чем на 3-й? Можете ли вы ответить на такой вопрос для любой пары «верхней» и «нижней» клеток, не выполняя вычислений?

1) За какую по счёту клетку количество зёрен впервые превысит 1 тыс.? 100 тыс.? 1 млн? Превысит ли количество зёрен за 26-ю клетку 20 млн?

Количество зёрен на n-й клетке шахматной доски вычисляется по формуле $2^{n-1}$, так как это является геометрической прогрессией с первым членом $b_1=1$ и знаменателем $q=2$.

• 1 тыс. (1000)
  Нам нужно найти наименьшее натуральное $n$, для которого выполняется неравенство $2^{n-1} > 1000$.
  Мы знаем, что $2^9 = 512$, а $2^{10} = 1024$.
  Следовательно, $2^{10}$ является первой степенью двойки, которая больше 1000.
  Из этого следует, что $n-1 = 10$, откуда $n=11$.
  Таким образом, количество зёрен впервые превысит 1 тысячу на 11-й клетке.

• 100 тыс. (100 000)
  Ищем наименьшее $n$, для которого $2^{n-1} > 100 000$.
  Продолжим возводить в степень: $2^{16} = 65 536$, а $2^{17} = 131 072$.
  Значит, $n-1=17$, откуда $n=18$.
  Количество зёрен впервые превысит 100 тысяч на 18-й клетке.

• 1 млн (1 000 000)
  Ищем наименьшее $n$, для которого $2^{n-1} > 1 000 000$.
  Мы знаем, что $2^{10} = 1024 \approx 10^3$. Тогда $1 000 000 = 10^6 \approx (2^{10})^2 = 2^{20}$.
  Проверим: $2^{19} = 524 288$, а $2^{20} = 1 048 576$.
  Следовательно, $n-1=20$, откуда $n=21$.
  Количество зёрен впервые превысит 1 миллион на 21-й клетке.

• Превысит ли 20 млн на 26-й клетке?
  На 26-й клетке будет $2^{26-1} = 2^{25}$ зёрен.
  Мы уже знаем, что $2^{20} = 1 048 576$.
  Тогда $2^{25} = 2^{20} \cdot 2^5 = 1 048 576 \cdot 32 = 33 554 432$.
  Так как $33 554 432 > 20 000 000$, то количество зёрен на 26-й клетке превысит 20 миллионов.

Ответ: на 11-й клетке; на 18-й клетке; на 21-й клетке; да, превысит.

2) Сравните сумму зёрен за первые две клетки с количеством зёрен за 3-ю клетку; сумму зёрен за первые три клетки с количеством зёрен за 4-ю клетку. Можете ли вы без подсчётов сказать, что больше: количество зёрен за первые десять клеток или количество зёрен за 11-ю клетку — и на сколько?

Сумма зёрен на первых $n$ клетках вычисляется по формуле суммы геометрической прогрессии: $S_n = b_1 \frac{q^n - 1}{q-1}$. В нашем случае $b_1=1$ и $q=2$, поэтому $S_n = \frac{2^n - 1}{2-1} = 2^n - 1$.
Количество зёрен на $(n+1)$-й клетке равно $b_{n+1} = 2^{(n+1)-1} = 2^n$.
Сравнивая эти две величины, мы видим, что $b_{n+1} - S_n = 2^n - (2^n - 1) = 1$.
Это означает, что количество зёрен на следующей клетке всегда на 1 больше, чем сумма зёрен на всех предыдущих клетках вместе взятых.

• Сумма за первые две клетки: $1+2=3$. Количество на 3-й клетке: $4$. Количество на 3-й клетке больше на 1.

• Сумма за первые три клетки: $1+2+4=7$. Количество на 4-й клетке: $8$. Количество на 4-й клетке больше на 1.

• Без подсчётов, используя выявленную закономерность, можно утверждать, что количество зёрен на 11-й клетке будет больше, чем сумма зёрен на первых десяти клетках. Разница составит ровно 1 зерно.

Ответ: количество зёрен на 11-й клетке больше, чем сумма зёрен на первых десяти клетках, на 1.

3) Во сколько раз количество зёрен на 9-й клетке больше числа зёрен на 1-й клетке? на 10-й больше, чем на 2-й? на 11-й больше, чем на 3-й? Можете ли вы ответить на такой вопрос для любой пары «верхней» и «нижней» клеток, не выполняя вычислений?

Чтобы узнать, во сколько раз количество зёрен на клетке $m$ больше, чем на клетке $k$ (где $m>k$), нужно разделить количество зёрен на клетке $m$ ($2^{m-1}$) на количество зёрен на клетке $k$ ($2^{k-1}$).
Отношение равно: $\frac{2^{m-1}}{2^{k-1}} = 2^{(m-1)-(k-1)} = 2^{m-k}$.
Таким образом, отношение зависит только от разницы в номерах клеток.

• На 9-й и 1-й клетках: разница $m-k = 9-1=8$. Отношение: $2^8 = 256$. В 256 раз больше.

• На 10-й и 2-й клетках: разница $m-k = 10-2=8$. Отношение: $2^8 = 256$. В 256 раз больше.

• На 11-й и 3-й клетках: разница $m-k = 11-3=8$. Отношение: $2^8 = 256$. В 256 раз больше.

Да, можно ответить на такой вопрос для любой пары клеток без сложных вычислений. Если разница в номерах клеток равна $d$, то количество зёрен на «верхней» (с большим номером) клетке будет в $2^d$ раз больше, чем на «нижней» (с меньшим номером).

Ответ: в 256 раз; в 256 раз; в 256 раз. Да, можно: если разница в номерах клеток равна $d$, то количество зёрен будет отличаться в $2^d$ раз.