Страница 26 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

61 1) Перерисуйте в тетрадь таблицу и заполните её.

V X L C D M
5

2) Используя эту таблицу, выясните, какое число записано:

а) XIV;

б) XVI;

в) XXIII;

г) XXXVI;

д) DC;

е) CM;

ж) CLIX;

з) DXIV;

и) CCCLXV;

к) MCCCXII.

3) Запишите римскими цифрами год издания этого учебника.

1)

Заполним таблицу, сопоставив римские цифры с соответствующими им арабскими числами. Основные римские цифры и их значения:

• I - 1
• V - 5
• X - 10
• L - 50
• C - 100
• D - 500
• M - 1000

Заполненная таблица:

Ответ: V=5, X=10, L=50, C=100, D=500, M=1000.

2)

Используя правила записи римских чисел, переведем их в арабские. Основное правило: если меньшая цифра стоит после большей, они складываются; если меньшая цифра стоит перед большей, она вычитается из большей.

а) XIV: Число состоит из $X$ (10) и $IV$ (4, так как $I$ стоит перед $V$, то $5 - 1 = 4$). Складываем значения: $10 + 4 = 14$.

Ответ: 14.

б) XVI: Цифры идут в порядке убывания их значений, поэтому мы их складываем: $X + V + I = 10 + 5 + 1 = 16$.

Ответ: 16.

в) XXIII: Складываем значения повторяющихся и убывающих цифр: $X + X + I + I + I = 10 + 10 + 1 + 1 + 1 = 23$.

Ответ: 23.

г) XXXVI: Складываем все значения: $X + X + X + V + I = 10 + 10 + 10 + 5 + 1 = 36$.

Ответ: 36.

д) DC: Цифры идут в порядке убывания, складываем их: $D + C = 500 + 100 = 600$.

Ответ: 600.

е) CM: Цифра меньшего значения $C$ (100) стоит перед цифрой большего значения $M$ (1000), поэтому вычитаем: $M - C = 1000 - 100 = 900$.

Ответ: 900.

ж) CLIX: Разбиваем на части: $C$ (100), $L$ (50), $IX$ (9). Складываем их: $100 + 50 + 9 = 159$.

Ответ: 159.

з) DXIV: Разбиваем на части: $D$ (500), $X$ (10), $IV$ (4). Складываем их: $500 + 10 + 4 = 514$.

Ответ: 514.

и) CCCLXV: Складываем все значения, так как они идут в порядке убывания: $C + C + C + L + X + V = 100 + 100 + 100 + 50 + 10 + 5 = 365$.

Ответ: 365.

к) MCCCXII: Складываем все значения: $M + C + C + C + X + I + I = 1000 + 100 + 100 + 100 + 10 + 1 + 1 = 1312$.

Ответ: 1312.

3)

В задании не указан год издания учебника. В качестве примера, запишем римскими цифрами 2023 год.

Для этого разложим число 2023 на разрядные слагаемые, которые можно записать римскими цифрами: $2023 = 2000 + 20 + 3$.

Теперь запишем каждое слагаемое римскими цифрами:

• 2000 это $M + M$, то есть $MM$.

• 20 это $X + X$, то есть $XX$.

• 3 это $I + I + I$, то есть $III$.

Соединив все части последовательно, получаем: $MMXXIII$.

Ответ: Год издания учебника не указан. В качестве примера, 2023 год записывается римскими цифрами как MMXXIII.

62 Для каждого из данных чисел определите, сколько разрядов содержится в его записи и каков старший разряд; затем представьте число в виде суммы разрядных слагаемых:

Число 756 содержит 3 разряда. Старший разряд — сотни.

$756 = 7 \cdot 10^2 + 5 \cdot 10^1 + 6 \cdot 10^0$

Число 3418 содержит 4 разряда. Старший разряд — тысячи.

$3418 = 3 \cdot 10^3 + 4 \cdot 10^2 + 1 \cdot 10^1 + 8 \cdot 10^0$

Число 2305 содержит 4 разряда. Старший разряд — тысячи.

$2305 = 2 \cdot 10^3 + 3 \cdot 10^2 + 0 \cdot 10^1 + 5 \cdot 10^0$

Число 40387 содержит 5 разрядов. Старший разряд — десятки тысяч.

$40387 = 4 \cdot 10^4 + 0 \cdot 10^3 + 3 \cdot 10^2 + 8 \cdot 10^1 + 7 \cdot 10^0$

Число 947010 содержит 6 разрядов. Старший разряд — сотни тысяч.

$947010 = 9 \cdot 10^5 + 4 \cdot 10^4 + 7 \cdot 10^3 + 0 \cdot 10^2 + 1 \cdot 10^1 + 0 \cdot 10^0$

Число 2518603 содержит 7 разрядов. Старший разряд — миллионы.

$2518603 = 2 \cdot 10^6 + 5 \cdot 10^5 + 1 \cdot 10^4 + 8 \cdot 10^3 + 6 \cdot 10^2 + 0 \cdot 10^1 + 3 \cdot 10^0$

а) 756

1. Количество цифр в записи числа — 3, следовательно, оно содержит 3 разряда.
2. Старший разряд соответствует самой левой цифре (7) — это разряд сотен.
3. Сумма разрядных слагаемых: $756 = 700 + 50 + 6$.
Ответ: 3 разряда, старший разряд — сотни, $756 = 700 + 50 + 6$.

б) 3418

1. Количество цифр в записи числа — 4, следовательно, оно содержит 4 разряда.
2. Старший разряд соответствует самой левой цифре (3) — это разряд тысяч.
3. Сумма разрядных слагаемых: $3418 = 3000 + 400 + 10 + 8$.
Ответ: 4 разряда, старший разряд — тысячи, $3418 = 3000 + 400 + 10 + 8$.

в) 2305

1. Количество цифр в записи числа — 4, следовательно, оно содержит 4 разряда.
2. Старший разряд соответствует самой левой цифре (2) — это разряд тысяч.
3. Сумма разрядных слагаемых (слагаемые, соответствующие разрядам с цифрой 0, не записываются): $2305 = 2000 + 300 + 5$.
Ответ: 4 разряда, старший разряд — тысячи, $2305 = 2000 + 300 + 5$.

г) 40387

1. Количество цифр в записи числа — 5, следовательно, оно содержит 5 разрядов.
2. Старший разряд соответствует самой левой цифре (4) — это разряд десятков тысяч.
3. Сумма разрядных слагаемых: $40387 = 40000 + 300 + 80 + 7$.
Ответ: 5 разрядов, старший разряд — десятки тысяч, $40387 = 40000 + 300 + 80 + 7$.

д) 947010

1. Количество цифр в записи числа — 6, следовательно, оно содержит 6 разрядов.
2. Старший разряд соответствует самой левой цифре (9) — это разряд сотен тысяч.
3. Сумма разрядных слагаемых: $947010 = 900000 + 40000 + 7000 + 10$.
Ответ: 6 разрядов, старший разряд — сотни тысяч, $947010 = 900000 + 40000 + 7000 + 10$.

е) 2518603

1. Количество цифр в записи числа — 7, следовательно, оно содержит 7 разрядов.
2. Старший разряд соответствует самой левой цифре (2) — это разряд миллионов.
3. Сумма разрядных слагаемых: $2518603 = 2000000 + 500000 + 10000 + 8000 + 600 + 3$.
Ответ: 7 разрядов, старший разряд — миллионы, $2518603 = 2000000 + 500000 + 10000 + 8000 + 600 + 3$.

63 Разбейте число на классы и прочитайте его:

а) $157398246$;

б) $14084000$;

в) $70000012$;

г) $79312333415$;

д) $114521800000$;

е) $18800011603$.

а) Чтобы прочитать число $157398246$, разобьем его на классы, отсчитывая по три цифры справа налево. В результате получим число, разбитое на классы: $157\;398\;246$.
В этом числе:
- $157$ — класс миллионов;
- $398$ — класс тысяч;
- $246$ — класс единиц.
Читаем число по классам слева направо: сто пятьдесят семь миллионов триста девяносто восемь тысяч двести сорок шесть.
Ответ: сто пятьдесят семь миллионов триста девяносто восемь тысяч двести сорок шесть.

б) Разобьем число $14084000$ на классы, отсчитывая по три цифры справа налево. Получим: $14\;084\;000$.
В этом числе:
- $14$ — класс миллионов;
- $084$ (или $84$) — класс тысяч;
- $000$ — класс единиц.
Читаем число по классам слева направо: четырнадцать миллионов восемьдесят четыре тысячи. Класс единиц равен нулю, поэтому его название не произносится.
Ответ: четырнадцать миллионов восемьдесят четыре тысячи.

в) Разобьем число $70000012$ на классы, отсчитывая по три цифры справа налево. Получим: $70\;000\;012$.
В этом числе:
- $70$ — класс миллионов;
- $000$ — класс тысяч;
- $012$ (или $12$) — класс единиц.
Читаем число по классам слева направо: семьдесят миллионов двенадцать. Класс тысяч равен нулю, поэтому его название не произносится.
Ответ: семьдесят миллионов двенадцать.

г) Разобьем число $79312333415$ на классы, отсчитывая по три цифры справа налево. Получим: $79\;123\;333\;415$.
В этом числе:
- $79$ — класс миллиардов;
- $123$ — класс миллионов;
- $333$ — класс тысяч;
- $415$ — класс единиц.
Читаем число по классам слева направо: семьдесят девять миллиардов сто двадцать три миллиона триста тридцать три тысячи четыреста пятнадцать.
Ответ: семьдесят девять миллиардов сто двадцать три миллиона триста тридцать три тысячи четыреста пятнадцать.

д) Разобьем число $114521800000$ на классы, отсчитывая по три цифры справа налево. Получим: $114\;521\;800\;000$.
В этом числе:
- $114$ — класс миллиардов;
- $521$ — класс миллионов;
- $800$ — класс тысяч;
- $000$ — класс единиц.
Читаем число по классам слева направо: сто четырнадцать миллиардов пятьсот двадцать один миллион восемьсот тысяч. Класс единиц равен нулю, поэтому его название не произносится.
Ответ: сто четырнадцать миллиардов пятьсот двадцать один миллион восемьсот тысяч.

е) Разобьем число $188000011603$ на классы, отсчитывая по три цифры справа налево. Получим: $188\;000\;011\;603$.
В этом числе:
- $188$ — класс миллиардов;
- $000$ — класс миллионов;
- $011$ (или $11$) — класс тысяч;
- $603$ — класс единиц.
Читаем число по классам слева направо: сто восемьдесят восемь миллиардов одиннадцать тысяч шестьсот три. Класс миллионов равен нулю, поэтому его название не произносится.
Ответ: сто восемьдесят восемь миллиардов одиннадцать тысяч шестьсот три.

64 ВЕРНО ИЛИ НЕВЕРНО

Определите, правильно ли записано цифрами указанное число и если нет, объясните, в чём ошибка:

а) шесть тысяч двадцать семь 60027

б) тридцать девять тысяч одиннадцать 39011

в) четыреста сорок тысяч двенадцать 440012

г) пятьсот тысяч десять 50010

а) Неверно. Число "шесть тысяч двадцать семь" состоит из 6 тысяч и 27 единиц, что записывается как 6027. Математически это $6 \times 1000 + 27 = 6027$. Число 60027 читается как "шестьдесят тысяч двадцать семь", так как цифра 6 стоит в разряде десятков тысяч, а не единиц тысяч. Ошибка заключается в лишнем нуле в разряде сотен. Ответ: неверно, правильная запись 6027.

б) Верно. Число "тридцать девять тысяч одиннадцать" состоит из 39 тысяч (тридцать девять) и 11 единиц (одиннадцать). Это соответствует записи $39 \times 1000 + 11 = 39011$. Ошибки нет. Ответ: верно.

в) Верно. Число "четыреста сорок тысяч двенадцать" состоит из 440 тысяч и 12 единиц. Это соответствует записи $440 \times 1000 + 12 = 440012$. Ошибки нет. Ответ: верно.

г) Неверно. Число "пятьсот тысяч десять" состоит из 500 тысяч и 10 единиц, что записывается как 500010. Математически это $500 \times 1000 + 10 = 500010$. Число 50010 читается как "пятьдесят тысяч десять", так как цифра 5 стоит в разряде десятков тысяч, а не сотен тысяч. Ошибка в пропущенном нуле, который должен был бы отделять класс тысяч от класса единиц. Ответ: неверно, правильная запись 500010.

65 В газетах и журналах вы могли видеть, что при записи больших чисел используют сокращения: тыс., млн, млрд. Например, число 2 047 000 записывают так: 2 млн 47 тыс.

1) Используя указанные сокращения, запишите число:

а) 100000;

б) 10000000;

в) 39526000;

г) 25003200000.

Подсказка. Разбейте число на классы.

2) Запишите цифрами число и прочитайте его:

а) 237 тыс.;

в) 407 млн;

д) 23004 тыс.;

б) 12 млн;

г) 1324 тыс.;

е) 60005 млн.

Для решения этой задачи необходимо понимать, как используются сокращения при записи больших чисел и как выполнять обратное преобразование. Числа для удобства чтения и записи группируют в классы по три цифры справа налево. Первый класс — класс единиц, второй — класс тысяч, третий — класс миллионов, четвертый — класс миллиардов.

1) Используя указанные сокращения, запишите число:

а) 100000
Разбиваем число на классы: $100\;000$. В этом числе $100$ единиц в классе тысяч. Остальные классы (единиц) равны нулю.
Ответ: 100 тыс.

б) 10000000
Разбиваем число на классы: $10\;000\;000$. В этом числе $10$ единиц в классе миллионов. Классы тысяч и единиц равны нулю.
Ответ: 10 млн.

в) 39526000
Разбиваем число на классы: $39\;526\;000$. В этом числе $39$ единиц в классе миллионов и $526$ единиц в классе тысяч.
Ответ: 39 млн 526 тыс.

г) 25003200000
Разбиваем число на классы: $25\;003\;200\;000$. В этом числе $25$ единиц в классе миллиардов, $3$ единицы в классе миллионов и $200$ единиц в классе тысяч.
Ответ: 25 млрд 3 млн 200 тыс.

2) Запишите цифрами число и прочитайте его:

а) 237 тыс.
Сокращение "тыс." означает умножение на $1000$.
$237 \times 1000 = 237000$.
Число читается: двести тридцать семь тысяч.
Ответ: 237000 (двести тридцать семь тысяч).

б) 12 млн
Сокращение "млн" означает умножение на $1\;000\;000$.
$12 \times 1000000 = 12000000$.
Число читается: двенадцать миллионов.
Ответ: 12000000 (двенадцать миллионов).

в) 407 млн
Сокращение "млн" означает умножение на $1\;000\;000$.
$407 \times 1000000 = 407000000$.
Число читается: четыреста семь миллионов.
Ответ: 407000000 (четыреста семь миллионов).

г) 1324 тыс.
Сокращение "тыс." означает умножение на $1000$.
$1324 \times 1000 = 1324000$.
Число читается: один миллион триста двадцать четыре тысячи.
Ответ: 1324000 (один миллион триста двадцать четыре тысячи).

д) 23004 тыс.
Сокращение "тыс." означает умножение на $1000$.
$23004 \times 1000 = 23004000$.
Число читается: двадцать три миллиона четыре тысячи.
Ответ: 23004000 (двадцать три миллиона четыре тысячи).

е) 60005 млн
Сокращение "млн" означает умножение на $1\;000\;000$.
$60005 \times 1000000 = 60005000000$.
Число читается: шестьдесят миллиардов пять миллионов.
Ответ: 60005000000 (шестьдесят миллиардов пять миллионов).