Номер 71, страница 27 - гдз по математике 5 класс учебник Дорофеев, Шарыгин

2.1. Как записывают и читают натуральные числа. Глава 2. Натуральные числа - номер 71, страница 27.

71 НАБЛЮДАЕМ И ИЩЕМ ЗАКОНОМЕРНОСТИ Познакомьтесь со старинной легендой об изобретении шахмат, которая напрямую связана с математикой.

Индийский правитель, желая отблагодарить мудреца – изобретателя шахмат, предложил ему самому выбрать себе награду. Мудрец попросил дать ему за первое поле доски одно пшеничное зерно, за второе – два, за третье – четыре и так далее: за каждое следующее – вдвое больше, чем за предыдущее.

Правитель был удивлён скромной просьбой мудреца. Однако вскоре придворные математики сообщили ему, что выполнить её невозможно. Оказалось, что это количество зёрен фантастически велико: оно записывается числом, содержащим 20 цифр. А общая масса зёрен составляет сотни миллиардов тонн.

Познакомьтесь с последовательностью чисел, «возникающей» согласно легенде на клетках шахматной доски. Для этого сначала изготовьте фрагмент шахматной доски: возьмите альбомный лист бумаги, расположите его горизонтально и начертите на нём первые три ряда клеток, сделав их как можно крупнее. Затем пронумеруйте клетки, двигаясь в каждом ряду слева направо, номер проставляйте в углу. Впишите в каждую клетку, начиная с первой, число, обозначающее соответствующее количество зёрен, и ответьте на вопросы:

1) За какую по счёту клетку количество зёрен впервые превысит 1 тыс.? 100 тыс.? 1 млн? Превысит ли количество зёрен за 26-ю клетку 20 млн?

2) Сравните сумму зёрен за первые две клетки с количеством зёрен за 3-ю клетку; сумму зёрен за первые три клетки с количеством зёрен за 4-ю клетку. Можете ли вы без подсчётов сказать, что больше: количество зёрен за первые десять клеток или количество зёрен за 11-ю клетку – и на сколько?

3) Во сколько раз количество зёрен на 9-й клетке больше числа зёрен на 1-й клетке? на 10-й больше, чем на 2-й? на 11-й больше, чем на 3-й? Можете ли вы ответить на такой вопрос для любой пары «верхней» и «нижней» клеток, не выполняя вычислений?

1) За какую по счёту клетку количество зёрен впервые превысит 1 тыс.? 100 тыс.? 1 млн? Превысит ли количество зёрен за 26-ю клетку 20 млн?

Количество зёрен на n-й клетке шахматной доски вычисляется по формуле $2^{n-1}$, так как это является геометрической прогрессией с первым членом $b_1=1$ и знаменателем $q=2$.

• 1 тыс. (1000)
  Нам нужно найти наименьшее натуральное $n$, для которого выполняется неравенство $2^{n-1} > 1000$.
  Мы знаем, что $2^9 = 512$, а $2^{10} = 1024$.
  Следовательно, $2^{10}$ является первой степенью двойки, которая больше 1000.
  Из этого следует, что $n-1 = 10$, откуда $n=11$.
  Таким образом, количество зёрен впервые превысит 1 тысячу на 11-й клетке.

• 100 тыс. (100 000)
  Ищем наименьшее $n$, для которого $2^{n-1} > 100 000$.
  Продолжим возводить в степень: $2^{16} = 65 536$, а $2^{17} = 131 072$.
  Значит, $n-1=17$, откуда $n=18$.
  Количество зёрен впервые превысит 100 тысяч на 18-й клетке.

• 1 млн (1 000 000)
  Ищем наименьшее $n$, для которого $2^{n-1} > 1 000 000$.
  Мы знаем, что $2^{10} = 1024 \approx 10^3$. Тогда $1 000 000 = 10^6 \approx (2^{10})^2 = 2^{20}$.
  Проверим: $2^{19} = 524 288$, а $2^{20} = 1 048 576$.
  Следовательно, $n-1=20$, откуда $n=21$.
  Количество зёрен впервые превысит 1 миллион на 21-й клетке.

• Превысит ли 20 млн на 26-й клетке?
  На 26-й клетке будет $2^{26-1} = 2^{25}$ зёрен.
  Мы уже знаем, что $2^{20} = 1 048 576$.
  Тогда $2^{25} = 2^{20} \cdot 2^5 = 1 048 576 \cdot 32 = 33 554 432$.
  Так как $33 554 432 > 20 000 000$, то количество зёрен на 26-й клетке превысит 20 миллионов.

Ответ: на 11-й клетке; на 18-й клетке; на 21-й клетке; да, превысит.

2) Сравните сумму зёрен за первые две клетки с количеством зёрен за 3-ю клетку; сумму зёрен за первые три клетки с количеством зёрен за 4-ю клетку. Можете ли вы без подсчётов сказать, что больше: количество зёрен за первые десять клеток или количество зёрен за 11-ю клетку — и на сколько?

Сумма зёрен на первых $n$ клетках вычисляется по формуле суммы геометрической прогрессии: $S_n = b_1 \frac{q^n - 1}{q-1}$. В нашем случае $b_1=1$ и $q=2$, поэтому $S_n = \frac{2^n - 1}{2-1} = 2^n - 1$.
Количество зёрен на $(n+1)$-й клетке равно $b_{n+1} = 2^{(n+1)-1} = 2^n$.
Сравнивая эти две величины, мы видим, что $b_{n+1} - S_n = 2^n - (2^n - 1) = 1$.
Это означает, что количество зёрен на следующей клетке всегда на 1 больше, чем сумма зёрен на всех предыдущих клетках вместе взятых.

• Сумма за первые две клетки: $1+2=3$. Количество на 3-й клетке: $4$. Количество на 3-й клетке больше на 1.

• Сумма за первые три клетки: $1+2+4=7$. Количество на 4-й клетке: $8$. Количество на 4-й клетке больше на 1.

• Без подсчётов, используя выявленную закономерность, можно утверждать, что количество зёрен на 11-й клетке будет больше, чем сумма зёрен на первых десяти клетках. Разница составит ровно 1 зерно.

Ответ: количество зёрен на 11-й клетке больше, чем сумма зёрен на первых десяти клетках, на 1.

3) Во сколько раз количество зёрен на 9-й клетке больше числа зёрен на 1-й клетке? на 10-й больше, чем на 2-й? на 11-й больше, чем на 3-й? Можете ли вы ответить на такой вопрос для любой пары «верхней» и «нижней» клеток, не выполняя вычислений?

Чтобы узнать, во сколько раз количество зёрен на клетке $m$ больше, чем на клетке $k$ (где $m>k$), нужно разделить количество зёрен на клетке $m$ ($2^{m-1}$) на количество зёрен на клетке $k$ ($2^{k-1}$).
Отношение равно: $\frac{2^{m-1}}{2^{k-1}} = 2^{(m-1)-(k-1)} = 2^{m-k}$.
Таким образом, отношение зависит только от разницы в номерах клеток.

• На 9-й и 1-й клетках: разница $m-k = 9-1=8$. Отношение: $2^8 = 256$. В 256 раз больше.

• На 10-й и 2-й клетках: разница $m-k = 10-2=8$. Отношение: $2^8 = 256$. В 256 раз больше.

• На 11-й и 3-й клетках: разница $m-k = 11-3=8$. Отношение: $2^8 = 256$. В 256 раз больше.

Да, можно ответить на такой вопрос для любой пары клеток без сложных вычислений. Если разница в номерах клеток равна $d$, то количество зёрен на «верхней» (с большим номером) клетке будет в $2^d$ раз больше, чем на «нижней» (с меньшим номером).

Ответ: в 256 раз; в 256 раз; в 256 раз. Да, можно: если разница в номерах клеток равна $d$, то количество зёрен будет отличаться в $2^d$ раз.